【1987-2017】歷年考研數(shù)學(xué)一真題(答案+解析)

歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2017（答案+解析）（經(jīng)典珍藏版）最近三年+回顧過去最近三年篇（2015-2017）2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點個數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】對于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存在從圖上可以看出有兩個二階導(dǎo)數(shù)等于零的點，以及一個二階導(dǎo)數(shù)不存在的點但對于這三個點，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對應(yīng)的點不是拐點而另外兩個點的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是異號的，對應(yīng)的點才是拐點，所以應(yīng)該選（C）2設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則 （A） （B）（C） （D）【詳解】線性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個實根如果不是特征方程的實根，則對應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個零次多項式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個實根，這樣由韋達(dá)定理可得，同時是原來方程的一個解，代入可得應(yīng)該選（A）若級數(shù)條件收斂，則依次為級數(shù)的（）收斂點，收斂點 （）收斂點，發(fā)散點(）發(fā)散點，收斂點 （）發(fā)散點，發(fā)散點【詳解】注意條件級數(shù)條件收斂等價于冪級數(shù)在處條件收斂，也就是這個冪級數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對收斂域為，顯然依次為收斂點、發(fā)散點，應(yīng)該選（B）設(shè)D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（ ） （）（）（）（）【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）5設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組無窮解的充分必要條件是，也就是同時成立，當(dāng)然應(yīng)該選（D）6設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A） （B）（C） （D） 【詳解】，所以故選擇（A）7若為任意兩個隨機(jī)事件，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選擇（C）8設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10 【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分為零，所以11若函數(shù)是由方程確定，則 【詳解】設(shè)，則且當(dāng)時，所以也就得到12設(shè)是由平面和三個坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則 【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個變量具有輪換對稱性，也就是13階行列式 【詳解】按照第一行展開，得，有由于，得14設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨立則三、解答題15（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時為等價無窮小，求常數(shù)的取值【詳解】當(dāng)時，把函數(shù)展開到三階的馬克勞林公式，得由于當(dāng)時，是等價無窮小，則有，解得，16（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式【詳解】在點處的切線方程為令，得曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線方程為17（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù)【詳解】顯然在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個可能的極值點，進(jìn)行比較，可得，在點或處，方向?qū)?shù)取到最大，為18（本題滿分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式【詳解】（1）證明：設(shè)由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）19（本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點為，終點為，計算曲線積分【詳解】曲線L的參數(shù)方程為起點對應(yīng)，終點為對應(yīng)20（本題滿分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當(dāng)為何值時，存在非零向量，使得在基和基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因為，且顯然線性無關(guān)，所以是線性無關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組存在非零解從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線性無關(guān)，所以，也就是此時方程組化為，由于線性無關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)所以滿足條件的其中為任意不為零的常數(shù)21（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對角矩陣【詳解】（1）因為兩個矩陣相似，所以有，也就是（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對X進(jìn)行獨立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為次數(shù)求的分布函數(shù)；（1） 求的概率分布；（2） 求數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）X進(jìn)行獨立重復(fù)的觀測，得到觀測值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且（2）設(shè)23（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，是來自總體的簡單樣本（1）求參數(shù)的矩估計量；（2）求參數(shù)的最大似然估計量【詳解】（1）總體的數(shù)學(xué)期望為令，解得參數(shù)的矩估計量：（2）似然函數(shù)為顯然是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù)的最大似然估計量為2016年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若反常積分收斂，則（）。A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而當(dāng)時收斂，而此時不影響，而當(dāng)時收斂，此時不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個原函數(shù)是（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】對函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個解，則=（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個式子相加可得：兩個式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（）。A. 是的第一類間斷點B. 是的第二類間斷點C. 在處連續(xù)但不可導(dǎo)D. 在處可導(dǎo)【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，而，而，因此，而左右兩邊的極限均為1，因此，故在可導(dǎo)，選擇D.（5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯誤的是（）。A. 與相似B. 與相似C. 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因為與相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此，而C選項中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為（）。A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D.柱面【答案】B【解析】二次型對應(yīng)的矩陣，根據(jù)可以求得特征值為，因此二次型的規(guī)范形為，故可得，即，因此對應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7）設(shè)隨機(jī)變量，記，則（）。A. 隨著的增加而增加B. 隨著的增加而增加C. 隨著的增加而減少D. 隨著的增加而減少【答案】B【解析】，因此選擇B，隨著的增加而增加.（8）隨機(jī)試驗有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗獨立重復(fù)做2次，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗發(fā)生的次數(shù)，則于的相關(guān)系數(shù)為（）。A.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答疑紙指定位置上.（9）_.【答案】【解析】（10）向量場的旋度_.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則_.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)可得：，。將代入原式可得，因此將代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此，代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此有，故可得.（12）設(shè)函數(shù)，且，則_.【答案】【解析】根據(jù)，可得：，然后求二階導(dǎo)數(shù)為：此時（存疑）（13）行列式_.【答案】【解析】.（14）設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)知心區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為_.【答案】【解析】，因為，所以，因此可得，故可得置信區(qū)間為.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（）證明：反常積分收斂；（）若，求的值.【答案】（）；（）【解析】（）特征方程為，由可知，特征方程有兩個不同的實根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點到點的光滑曲線，計算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無關(guān)故因為，所以，令可得而，因此，因此當(dāng)有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個坐標(biāo)平面圍成，為整個表面的外側(cè)，計算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，且.設(shè)數(shù)列滿足，證明：（）級數(shù)絕對收斂；（）存在，且.【答案】利用絕對收斂定義證明即可?！窘馕觥浚ǎ┳C：，因此有顯然收斂，因此絕對收斂.（）記，因此得，因為級數(shù)收斂，因此存在，因此存在，不妨設(shè)，由可得，兩邊取極限可得，即若，這與矛盾，若，與矛盾，因此可得，即.（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣.當(dāng)為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時，求解此方程.【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時，有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當(dāng)即且時，有唯一解；設(shè)，代入，解得當(dāng)代入設(shè)，因此可得，這兩個式子是矛盾的，因此方程組無解；當(dāng)代入，此時方程組有無窮多解，將代入可得，解得，不妨設(shè)為自由未知量，則可得（21）（本題滿分11分）已知矩陣（）求；（）設(shè)3階矩陣滿足.記，將分別表示成的線性組合.【答案】（）（）【解析】（）利用相似對角化，由得到特征值為，當(dāng)時，代入中，求解方程組的解就是特征向量，即同理得到其他的兩個特征向量分別為：對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為，設(shè)，則有，因此可得，根據(jù)矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（），因此可得、，所以因此有（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（）寫出的概率密度；（）問與是否相互獨立？并說明理解；（）求的分布函數(shù).【答案】（）（）與不獨立，因為（）的分布函數(shù)為：【解析】（）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布，因此有（）與不獨立因此，故不獨立.（）因此可得（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的簡單隨機(jī)抽樣，令.（）求的概率密度；（）確定，使得為的無偏估計.【答案】（）的概率密度：（）【解析】（）根據(jù)題意，獨立同分布，因此可得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，因此可得概率密度函數(shù)為：（），根據(jù)題意，如果為的無偏估計，則有，因此可得.2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若函數(shù)在連續(xù)，則（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而，因此可得，故選擇A。（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，則有，故單調(diào)遞增，則，即，即，故選擇C。（3）函數(shù)在點處沿向量的方向?qū)?shù)為（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，則有。（4）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知。（5）設(shè)為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，則（）。A. 不可逆B. 不可逆C. 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因為的特征值為0（n-1重）和1，所以的特征值為1（n-1重）和0，故不可逆。（6）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所依A可對角化，B不可，因此選擇B。（7）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，若，且的充分必要條件是（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。（8）設(shè)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（）。A. 服從分布B. 服從分布C. 服從分布D. 服從分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B錯誤，由可得，則有，因此。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）已知函數(shù)，則=_?！敬鸢浮?【解析】，因此，代入可得。（10）微分方程的通解為=_?！敬鸢浮?【解析】由，所以，因此，因此通解為：。（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，則=_?！敬鸢浮?【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得。（12）冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_?！敬鸢浮俊窘馕觥?。（13）設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的3維向量，則向量組的秩為_?！敬鸢浮?【解析】因為，而，因此，所以向量組的秩2。（14）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則=_?！敬鸢浮?【解析】因此可得。三、解答題： 1523小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求?！敬鸢浮浚窘馕觥恳驗?，所以，因此因此得：（16）（本題滿分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，然后計算定積分，（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值?！敬鸢浮繕O大值為，極小值為?！窘馕觥繉﹃P(guān)于求導(dǎo)得：，令得，因此，當(dāng)時，當(dāng)時，。對關(guān)于再次求導(dǎo)得：，將代入可得當(dāng)時，時，代入可得，當(dāng)時，時，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為。（18）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實根；（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮浚ǎ┳C：因為，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點存在定理可知，存在，使得。（）構(gòu)造函數(shù)，因此，因為，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根據(jù)零點定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個不同實根?！窘馕觥柯裕?9）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體時圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，（）求在平面上的投影曲線的方程；（）求的質(zhì)量?！敬鸢浮浚ǎ?；（）64?！窘馕觥浚ǎ┑姆匠虨?，投影到平面上為（），因此有。（20）（本題滿分11分）三階行列式有3個不同的特征值，且，（）證明；（）如果，求方程組的通解?！敬鸢浮浚ǎ┞裕唬ǎ??！窘馕觥浚ǎ┳C：因為有三個不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。（）因為，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個解向量為。因為，故的特解為，因此的通解為。（21）（本題滿分11分）設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個正交矩陣?！敬鸢浮?，正交矩陣【解析】二次型對應(yīng)的矩陣為，因為標(biāo)準(zhǔn)型為，所以，從而，即，代入得，解得；當(dāng)時，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；從而正交矩陣。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為（）求；（）求的概率密度?！敬鸢浮浚ǎǎ窘馕觥浚ǎ┯蓴?shù)字特征的計算公式可知：，則（）先求的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知：。由于為離散型隨機(jī)變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數(shù)：）（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計（）求的概率密度；（）利用一階矩求的矩估計量；（）求的最大似然估計量?！敬鸢浮浚ǎǎǎ窘馕觥浚ǎ┮驗?，所以，對應(yīng)的概率密度為，設(shè)的分布函數(shù)為，對應(yīng)的概率密度為；當(dāng)時，；當(dāng)時，；則的概率密度為；（）因為，所以，從而的矩估計量為；（）由題可知對應(yīng)的似然函數(shù)為，取對數(shù)得：，所以，令，得，所以的最大似然估計量為?；仡欉^去篇（1987-2014）1987年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)當(dāng)=_時,函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_.(3)與兩直線及都平行且過原點的平面方程為_.(4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且(B)取得極大值(C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和(B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于(D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂(D)散斂性與的取值有關(guān) (4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A)(B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù). 七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于 八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個使得九、（本題滿分8分）問為何值時,現(xiàn)線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在一次實驗中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨立試驗,則至少發(fā)生一次的概率為_;而事件至多發(fā)生一次的概率為_.(2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球, 第2個箱子有4個白球,4個紅球.現(xiàn)從第1個箱子中隨機(jī)地取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為_.已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為_.(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為_,的方差為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為 , , 求的概率密度函數(shù).1988年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級數(shù)的收斂域.(2)設(shè)且,求及其定義域.(3)設(shè)為曲面的外側(cè),計算曲面積分二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上)(1)若則= _.(2)設(shè)連續(xù)且則=_.(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為 ,則的傅里葉級數(shù)在處收斂于_.(4)設(shè)4階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式= _.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)可導(dǎo)且則時在處的微分是(A)與等價的無窮小(B)與同階的無窮小(C)比低階的無窮小(D)比高階的無窮小(2)設(shè)是方程的一個解且則函數(shù)在點處(A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域則(A) (B)(C)(D) (4)設(shè)冪級數(shù)在處收斂,則此級數(shù)在處(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定 (5)維向量組線性無關(guān)的充要條件是(A)存在一組不全為零的數(shù)使(B)中任意兩個向量均線性無關(guān)(C)中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個向量都不能用其余向量線性表示四、(本題滿分6分)設(shè)其中函數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)滿足微分方程其圖形在點處的切線與曲線在該點處的切線重合,求函數(shù)六、（本題滿分9分）設(shè)位于點的質(zhì)點對質(zhì)點的引力大小為為常數(shù)為質(zhì)點與之間的距離),質(zhì)點沿直線自運動到求在此運動過程中質(zhì)點對質(zhì)點的引力所作的功.七、（本題滿分6分）已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個滿足的可逆陣九、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且在內(nèi)有證明:在內(nèi)存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面圖形面積是曲線與兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在三次獨立試驗中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率是_.(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于”的概率為_.(3)設(shè)隨機(jī)變量服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布,已知則落在區(qū)間內(nèi)的概率為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則= _.(2)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則=_.(3)設(shè)平面曲線為下半圓周則曲線積分=_.(4)向量場在點處的散度=_.(5)設(shè)矩陣則矩陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時,曲線(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線(2)已知曲面上點處的切平面平行于平面則點的坐標(biāo)是(A) (B) (C)(D) (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是(A)(B)(C)(D) (4)設(shè)函數(shù)而其中則等于(A)(B) (C)(D) (5)設(shè)是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)設(shè)其中函數(shù)二階可導(dǎo)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求(2)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計算的值.(3)計算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數(shù)展為的冪級數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個不同實根.七、（本題滿分6分）問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設(shè)為階可逆矩陣的一個特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分）設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上,問當(dāng)為何值時,球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率及條件概率則和事件的概率=_.(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為_.(3)若隨機(jī)變量在上服從均勻分布,則方程有實根的概率是_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨立,且服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為的正態(tài)分布,而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)過點且與直線垂直的平面方程是_. (2)設(shè)為非零常數(shù),則=_.(3)設(shè)函數(shù) ,則=_.(4)積分的值等于_.(5)已知向量組則該向量組的秩是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則等于(A)(B)(C)(D) (2)已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時的階導(dǎo)數(shù)是(A) (B) (C)(D) (3)設(shè)為常數(shù),則級數(shù)(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與的取值有關(guān) (4)已知在的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值(D)取得極小值 (5)已知、是非齊次線性方程組的兩個不同的解、是對應(yīng)其次線性方程組的基礎(chǔ)解析、為任意常數(shù),則方程組的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求(3)求微分方程的通解(一般解).四、(本題滿分6分)求冪級數(shù)的收斂域,并求其和函數(shù).五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側(cè)在的部分.六、（本題滿分7分）設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)至少存在一點使得七、（本題滿分6分）設(shè)四階矩陣且矩陣滿足關(guān)系式其中為四階單位矩陣表示的逆矩陣表示的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡并求矩陣八、（本題滿分8分）求一個正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型.九、（本題滿分8分）質(zhì)點沿著以為直徑的半圓周,從點運動到點的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點與原點之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于求變力對質(zhì)點所作的功.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)則的概率分布函數(shù)=_.(2)設(shè)隨機(jī)事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對立事件,那么積事件的概率=_.(3)已知離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松分布,即則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量的方差1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設(shè) ,則=_.(2)由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分=_.(3)已知兩條直線的方程是則過且平行于的平面方程是_.(4)已知當(dāng)時與是等價無窮小,則常數(shù)=_.(5)設(shè)4階方陣則的逆陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)曲線(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線 (C)僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (2)若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式則等于(A) (B) (C)(D) (3)已知級數(shù)則級數(shù)等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)設(shè)是平面上以、和為頂點的三角形區(qū)域是在第一象限的部分,則等于(A)(B) (C)(D)0 (5)設(shè)階方陣、滿足關(guān)系式其中是階單位陣,則必有(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)是曲面在點處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).(3)其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍城的立體.四、(本題滿分6分)過點和的曲線族中,求一條曲線使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分)將函數(shù)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù),并由此求級數(shù)的和.六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)存在一點使七、（本題滿分8分）已知及(1)、為何值時不能表示成的線性組合?(2)、為何值時有的唯一的線性表示式?寫出該表示式.八、（本題滿分6分）設(shè)是階正定陣是階單位陣,證明的行列式大于1.九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(shù)(是法線與軸的交點),且曲線在點處的切線與軸平行.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)若隨機(jī)變量服從均值為2、方差為的正態(tài)分布,且則=_.(2)隨機(jī)地向半圓為正常數(shù))內(nèi)擲一點,點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求隨機(jī)變量的分布函數(shù).1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設(shè)函數(shù)由方程確定,則=_.(2)函數(shù)在點處的梯度=_.(3)設(shè) ,則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點處收斂于_.(4)微分方程的通解為=_.(5)設(shè)其中則矩陣的秩=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時,函數(shù)的極限(A)等于2(B)等于0(C)為(D)不存在但不為(2)級數(shù)常數(shù)(A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關(guān) (3)在曲線的所有切線中,與平面平行的切線(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在(4)設(shè)則使存在的最高階數(shù)為(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求(3)設(shè) ,求四、(本題滿分6分)求微分方程的通解.五、(本題滿分8分)計算曲面積分其中為上半球面的上側(cè).六、（本題滿分7分）設(shè)證明對任何有七、（本題滿分8分）在變力的作用下,質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點問當(dāng)、取何值時,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、（本題滿分7分）設(shè)向量組線性相關(guān),向量組線性無關(guān),問:(1)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.(2)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.九、（本題滿分7分）設(shè)3階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量依次為又向量(1)將用線性表出.(2)求為自然數(shù)).十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則事件、全不發(fā)生的概率為_.(2)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則數(shù)學(xué)期望=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨立服從正態(tài)分布服從上的均勻分布,試求的概率分布密度(計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示,其中.1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為_.(2)由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為_.(3)設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為則其中系數(shù)的值為_.(4)設(shè)數(shù)量場則=_.(5)設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為則線性方程組的通解為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則當(dāng)時是的(A)等價無窮小(B)同價但非等價的無窮小(C)高階無窮小(D)低價無窮小(2)雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為(A)(B)(C)(D)(3)設(shè)有直線與 則與的夾角為(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則等于(A)(B) (C)(D) (5)已知為三階非零矩陣,且滿足則(A)時的秩必為1(B)時的秩必為2 (C)時的秩必為1(D)時的秩必為2 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)求(3)求微分方程滿足初始條件的特解.四、(本題滿分6分)計算其中是由曲面與所圍立體的表面外側(cè).五、(本題滿分7分)求級數(shù)的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明在內(nèi)有且僅有一個零點.(2)設(shè)證明七、（本題滿分8分）已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.八、（本題滿分6分）設(shè)是矩陣是矩陣,其中是階單位矩陣,若證明的列向量組線性無關(guān).九、（本題滿分6分）設(shè)物體從點出發(fā),以速度大小為常數(shù)沿軸正向運動.物體從點與同時出發(fā),其速度大小為方向始終指向試建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_.(2)設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布,則隨機(jī)變量在內(nèi)的概率分布密度=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為(1)求的數(shù)學(xué)期望和方差(2)求與的協(xié)方差,并問與是否不相關(guān)?(3)問與是否相互獨立?為什么?1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)= _.(2)曲面在點處的切平面方程為_.(3)設(shè)則在點處的值為_.(4)設(shè)區(qū)域為則=