高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六概率與隨機(jī)變量及其分布第2講隨機(jī)變量及其分布列課件

第2講隨機(jī)變量及其分布列 高考定位概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 相互獨(dú)立事件 互斥事件及對(duì)立事件等 對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的 熱點(diǎn) 多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn) ?？疾楠?dú)立事件的概率 超幾何分布和二項(xiàng)分布的期望等 真題感悟 2016 全國 卷 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器 該種機(jī)器使用三年后即被淘汰 機(jī)器有一易損零件 在購進(jìn)機(jī)器時(shí) 可以額外購買這種零件作為備件 每個(gè)200元 在機(jī)器使用期間 如果備件不足再購買 則每個(gè)500元 現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件 為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù) 得下面柱狀圖 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率 記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù) n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù) 1 求X的分布列 2 若要求P X n 0 5 確定n的最小值 3 以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù) 在n 19與n 20之中選其一 應(yīng)選用哪個(gè) 解 1 由柱狀圖并以頻率代替概率可得 一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8 9 10 11的概率分別為0 2 0 4 0 2 0 2 從而P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 所以X的分布列為 2 由 1 知P X 18 0 44 P X 19 0 68 故n的最小值為19 3 記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用 單位 元 當(dāng)n 19時(shí) E Y 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 當(dāng)n 20時(shí) E Y 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知當(dāng)n 19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n 20時(shí)所需費(fèi)用的期望值 故應(yīng)選n 19 考點(diǎn)整合 1 條件概率 2 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P AB P A P B 3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 4 超幾何分布 5 離散型隨機(jī)變量的分布列 為離散型隨機(jī)變量 的分布列 2 離散型隨機(jī)變量 的分布列具有兩個(gè)性質(zhì) pi 0 p1 p2 pi 1 i 1 2 3 3 E x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望或均值 D x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xi E 2 pi xn E 2 pn叫做隨機(jī)變量 的方差 4 性質(zhì) E a b aE b D a b a2D X B n p 則E X np D X np 1 p X服從兩點(diǎn)分布 則E X p D X p 1 p 熱點(diǎn)一相互獨(dú)立事件 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型 微題型1 相互獨(dú)立事件的概率 1 獲賠的概率 2 獲賠金額 單位 元 的分布列 綜上知 的分布列為 探究提高對(duì)于復(fù)雜事件的概率 要先辨析事件的構(gòu)成 理清各事件之間的關(guān)系 并依據(jù)互斥事件概率的和 或者相互獨(dú)立事件概率的積的公式列出關(guān)系式 含 至多 至少 類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率求解 并注意正難則反思想的應(yīng)用 即題目較難的也可從對(duì)立事件的角度考慮 微題型2 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 1 若走L1路線 求最多遇到1次紅燈的概率 2 若走L2路線 求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望 3 按照 遇到紅燈的平均次數(shù)最少 的要求 請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線 并說明理由 探究提高在解題時(shí)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征 1 在每次試驗(yàn)中 試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況 2 在每次試驗(yàn)中 事件發(fā)生的概率相同 1 求甲在4局以內(nèi) 含4局 贏得比賽的概率 2 記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù) 求X的分布列和均值 數(shù)學(xué)期望 熱點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列 微題型1 利用相互獨(dú)立事件 互斥事件的概率求分布列 1 小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率 2 兩次回球結(jié)束后 小明得分之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望 可得隨機(jī)變量X的分布列為 探究提高解答這類問題使用簡(jiǎn)潔 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答得分的根本保證 引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確 或者用表格描述 使得問題描述有條理 不會(huì)有遺漏 也不會(huì)重復(fù) 分析清楚隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)的事件是求解分布列的關(guān)鍵 微題型2 二項(xiàng)分布 1 若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng) 小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng) 記他們的累計(jì)得分為X 求X 3的概率 2 若小明 小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng) 問 他們選擇何種方案抽獎(jiǎng) 累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大 2 設(shè)小明 小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1 都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2 則X1 X2的分布列如下 微題型3 超幾何分布 例2 3 2016 合肥二模 為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加 現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名 其中種子選手2名 乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名 其中種子選手3名 從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽 1 設(shè)A為事件 選出的4人中恰有2名種子選手 且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì) 求事件A發(fā)生的概率 2 設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù) 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 探究提高抽取的4人中 運(yùn)動(dòng)員可能為種子選手或一般運(yùn)動(dòng)員 并且只能是這兩種情況之一 符合超幾何概型的特征 故可利用超幾何分布求概率 訓(xùn)練2 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站 過去50年的水文資料顯示 水庫年入流量X 年入流量 一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 單位 億立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超過120的年份有35年 超過120的年份有5年 將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率 并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 1 求未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概率 2 水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行 但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制 并有如下關(guān)系 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行 則該臺(tái)年利潤為5000萬元 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行 則該臺(tái)年虧損800萬元 欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大 應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái) 所以 E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 依題意 當(dāng)40120時(shí) 三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行 此時(shí)Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以 E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 綜上 欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大 應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái) 1 概率P A B 與P AB 的區(qū)別 1 發(fā)生時(shí)間不同 在P A B 中 事件A B的發(fā)生有時(shí)間上的差異 B先A后 在P AB 中 事件A B同時(shí)發(fā)生 2 樣本空間不同 在P A B 中 事件B成為樣本空間 在P AB 中 樣本空間仍為總的樣本空間 因而有P A B P AB 2 求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為 第一步是 判斷取值 即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值 以及取每個(gè)值所表示的意義 第二步是 探求概率 即利用排列組合 枚舉法 概率公式 常見的有古典概型公式 幾何概型公式 互斥事件的概率和公式 獨(dú)立事件的概率積公式 以及對(duì)立事件的概率公式等 求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率 第三步是 寫分布列 即按規(guī)范形式寫出分布列 并注意用分布列的