線性代數(shù) 線性方程組習(xí)題課 - ppt課件.ppt

線性代數(shù) 向量線性方程組典型例題 線性方程組習(xí)題課 2 任一n維向量都是Rn的基本單位向量組的線性組合 1 是的線性組合 可由線性表示 有解 組合系數(shù)就是方程組的一個(gè)解 3 一 向量 有非零解 無 只有零解 r n r n 5 線性相關(guān) 4 重要結(jié)論 行變換不改變列向量間的線性關(guān)系 可否由線性表示 豎排行變換 放末列 是否線性相關(guān) 豎排行變換 線性無關(guān) 任一向量都不能由其余向量線性表示 定理3 部分相關(guān) 則整體相關(guān) 整體無關(guān) 則部分無關(guān) 定理4 短無關(guān) 則長(zhǎng)無關(guān) 長(zhǎng)相關(guān) 則短相關(guān) 定理1 n個(gè)n維向量線性相關(guān) 線性無關(guān) 不為0 定理2 向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù) 其排成的行列式值為0 向量組線性相關(guān) 定理8 向量組與其極大無關(guān)組等價(jià) 推論向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià) 定理7 向量組 I 可由 II II 可由 線性表示 向量組 I 可由 線性表示 定理9向量組可由線性表示 若t s 則向量組線性相關(guān) 定理10 推論 等價(jià)的向量組秩相等 可由線性表示 推論2等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)相等 推論3向量組的所有極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等 定理11矩陣A的行秩 列秩 秩 重要結(jié)論 行變換不改變列向量間的線性關(guān)系 定理1設(shè)非齊次方程組Am nX b 則 返回 有解判定定理 二 線性方程組 推論1當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)m 未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí) 必有非零解 定理2設(shè)齊次方程組Am nX O r A r 則 1 r n 原方程組有唯一零解 2 r n 原方程組有非零解 有無窮多組解 推論2若齊次方程組An nX O系數(shù)行列式 A 0 則必有非零解 齊次線性方程組有非零解 解的判定定理 1 齊次線性方程組解的性質(zhì) 1 兩解之和仍是解 2 常數(shù)乘以解仍是解 一般地 解的線性組合仍是解 導(dǎo)出組 2 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 1 1 的兩解之差是其導(dǎo)出組的解 2 1 的一解與其導(dǎo)出組的一解之和仍是 1 的解 解的性質(zhì)定理 1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定義 齊次線性方程組解向量組的一個(gè)極大無關(guān)組稱作齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 定理3對(duì)齊次線性方程組 2 若r A r n 則基礎(chǔ)解系存在 且均含n r個(gè)解 齊次線性方程組 2 當(dāng)不存在基礎(chǔ)解系 r A n時(shí)只有零解 當(dāng)r A r n時(shí) 有 解的結(jié)構(gòu)定理 2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理2若是非齊次線性方程組 1 的一個(gè)解 是其導(dǎo)出組 2 的全部解 則方程組 1 的全部解 通解 一般解 為 k1 k2 kn r為任意常數(shù) 三 典型問題剖析 例1設(shè)A是m n矩陣 則線性方程組AX 0只有零解的充要條件是A的 A 行向量組線性無關(guān) B 行向量組線性相關(guān) C 列向量組線性無關(guān) D 列向量組線性相關(guān) 若 例2設(shè)矩陣A的伴隨矩陣不為零 是非齊次線性方程組AX b的互不相等的解 則對(duì)應(yīng)的齊次方程組AX O的基礎(chǔ)解系 A 僅含一個(gè)非零解向量 B 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量 C 不存在 D 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量 練習(xí)卷P23第二題第3題 練習(xí)卷P23第二題第5題 例3 94考研 設(shè)向量組 求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 向量組的秩 并寫出其余向量用該極大無關(guān)組的線性表達(dá)式 r 3 答案 例4 95考研 已知向量組 I II III 如果各向量組的秩分別為r I r II 3 r III 4 證明向量組的秩為4 線性無關(guān) 線性相關(guān) 可由線性表示 證 設(shè) 練習(xí)卷P25第四題第6題 線性無關(guān) k1 k2 k3 k4 0 線性無關(guān) 請(qǐng)思考本題的其他解法 例5設(shè)為非齊次線性方程組AX b的一個(gè)解 是其導(dǎo)出組AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 證明 線性無關(guān) 練習(xí)卷P25第四題第4題 思考 練習(xí)卷P28第六題 例6設(shè) 證明 向量組與等價(jià) 思考 設(shè)是齊次線性方程組AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 證明 也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 練習(xí)卷P25第四題第5題 練習(xí)卷P25第四題第2題 例7a取何值時(shí) 下列線性方程組無解 有唯一解 有無窮多解 在方程組有解時(shí) 求出它的解 練習(xí)卷P23第三題第2題 例8已知向量組與的秩相等