【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.6空間向量的坐標(biāo)運算（第2課時）課件 理 （廣西專版）.ppt

第九章直線 平面 簡單幾何體 空間向量的坐標(biāo)運算 第講 6 第二課時 1 如圖 已知兩個正四棱錐p abcd與q abcd的高分別為1和2 ab 4 1 求直線pq與平面adq所成的角 2 求異面直線aq與pb所成的角 題型4空間角的計算 解 1 連結(jié)ac bd 設(shè)其交點為o 則po 平面abcd qo 平面abcd 從而p o q三點共線 分別以直線ca db qp為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則由已知可得a 0 0 q 0 0 2 d 0 0 p 0 0 1 所以 0 0 3 0 2 0 2 設(shè)n x y z 是平面adq的一個法向量 由 得取x 1 則z y 1 所以n 1 1 設(shè)直線pq與平面adq所成的角為 則sin cos n 所以 故直線pq與平面adq所成的角為 2 因為b 0 0 所以 0 1 又 0 2 所以cos 故異面直線aq與pb所成的角為arccos 點評 兩向量的夾角公式可直接用來求兩直線的夾角 而線面角可轉(zhuǎn)化為直線對應(yīng)的向量與平面的法向量所成的角 二面角可轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量所成的角 另外還需注意所求角與兩向量夾角之間的關(guān)系 2 長方體abcd a1b1c1d1中 ab 4 ad 6 aa1 4 m是a1c1的中點 p在線段bc上 且cp 2 q是dd1的中點 求 1 點m到直線pq的距離 2 點m到平面ab1p的距離 解 1 如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系b xyz 則a 4 0 0 m 2 3 4 p 0 4 0 q 4 6 2 題型5空間距離的計算 因為 2 3 2 4 2 2 所以在上的射影長為故點m到pq的距離為 2 設(shè)n x y z 是平面ab1p的法向量 則n n 因為 4 0 4 4 4 0 所以因此可取n 1 1 1 由于 2 3 4 那么點m到平面ab1p的距離為 點評 利用求向量的長度可求兩點間的距離 而點到直線的距離或點到平面的距離可轉(zhuǎn)化為向量的投影長度問題 在四棱錐p abcd中 底面abcd為矩形 側(cè)棱pa 底面abcd ab bc 1 pa 2 e為pd的中點 1 在側(cè)面pab內(nèi)找一點n 使ne 平面pac 并求出點n到ab和ap的距離 2 求 1 中的點n到平面pac的距離 解 1 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則a b c d p e的坐標(biāo)分別是a 0 0 0 b 0 0 c 1 0 d 0 1 0 p 0 0 2 e 0 1 依題意設(shè)n x 0 z 則 x 1 z 由于 平面pac 所以 則 即解得 即點n的坐標(biāo)為 0 1 從而點n到ab ap的距離分別為1 2 設(shè)點n到平面pac的距離為d 則 1 運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題時 一般步驟為 1 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 例如 底面是矩形的直四棱柱 以底面其中一個頂點為原點建立空間直角坐標(biāo)系 底面是菱形的直四棱柱 往往以底面對角線的交點為原點建立空間直角坐標(biāo)系 2 求出相關(guān)點的坐標(biāo) 3 寫出向量的坐標(biāo) 4 結(jié)合公式進(jìn)行論證 計算 5 轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論 建立空間直角坐標(biāo)系 必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線 要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線 因此 要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系 即線線垂直 線面垂直 面面垂直 同時要注意 所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系 2 求空間角和距離有如下一些基本原理 1 平面的法向量的求法 設(shè)n x y z 利用n與平面 內(nèi)的兩個不共線向量a b垂直 其數(shù)量積為零 列出兩個三元一次方程 聯(lián)立后取一組解 如圖1 2 線面角的求法 設(shè)n是平面 的法向量 是直線l的方向向量 則直線l與平面 所成的角為 如圖2 3 二面角的求法 ab cd分別是二面角 l 的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線 則二面角的大小為 如圖3 設(shè)n1 n2是二面角 l 的兩個平面 的法向量 則就是二面角的平面角或其補角 如圖4 4 異面直線間的距離的求法 l1 l2是兩條異面直線 n是l1 l2的公垂線段ab的方向向量 又c d分別是l1 l2上的任意兩