(理論物理導(dǎo)論)李衛(wèi)-修訂版.doc

理工類可用量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理習(xí)題解答第一章1. 一維運(yùn)動(dòng)粒子處于的狀態(tài)，式中l(wèi)0，求（1）歸一化因子A；（2）粒子的幾率密度；（3）粒子出現(xiàn)在何處的幾率最大？ 解：（1） 令 ，則 由歸一化的定義 得 （2）粒子的幾率密度 （3）在極值點(diǎn)，由一階導(dǎo)數(shù) 可得方程 而方程的根 ； 即為極值點(diǎn)。幾率密度在極值點(diǎn)的值 ；由于P(x)在區(qū)間(0，1/l)的一階導(dǎo)數(shù)大于零，是升函數(shù)；在區(qū)間(1/l，)的一階導(dǎo)數(shù)小于零，是減函數(shù)，故幾率密度的最大值為，出現(xiàn)在處。2. 一維線性諧振子處于狀態(tài) （1）求歸一化因子A； （2）求諧振子坐標(biāo)小的平均值； （3）求諧振子勢(shì)能的平均值。 解：（1） 由歸一化的定義 得 （2） 因被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間上積分應(yīng)為0，故 （3）將、代入，可得 是總能量的一半，由能量守恒定律可知?jiǎng)幽芷骄岛蛣?shì)能平均值相等，也是總能量的一半。3設(shè)把寬為的一維無(wú)限深勢(shì)阱的坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢(shì)阱中點(diǎn)，有試通過(guò)具體解定態(tài)薛定諤方程，證明勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為粒子的能量為證明：勢(shì)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。由于是無(wú)限深勢(shì)阱，粒子不可能到達(dá)阱外，因此在阱外在阱內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程上式可變形為令，則方程化為該方程的通解為在邊界上，波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性條件，即將通解代入有由此可得A和B不能同時(shí)為零，否則解無(wú)意義。，則必有，則必有由此可得方程的解為由歸一化條件可知解得故在阱內(nèi)的波函數(shù)為粒子的能量波函數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式還可統(tǒng)一為一個(gè)表達(dá)式書中例題與習(xí)題的不同是將坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢(shì)阱的左邊界上，其解為因此只要作坐標(biāo)平移代換，將坐標(biāo)原點(diǎn)移到勢(shì)阱中心，立即可得到習(xí)題的結(jié)果。4帶電荷q的一維諧振子在外電場(chǎng)E作用下運(yùn)動(dòng)，試證明粒子的能量和波函數(shù)分別為證明：勢(shì)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。定態(tài)薛定諤方程為上式可改寫為即作代換，則方程化為標(biāo)準(zhǔn)的一維諧振子方程其解為能量為代換回去得能量波函數(shù)我們看一下諧振子所受的力由F=0可知諧振子的平衡點(diǎn)不再是而是平移到作代換，無(wú)非是將坐標(biāo)原點(diǎn)移到新的平衡點(diǎn)，移到新的平衡點(diǎn)后，與標(biāo)準(zhǔn)諧振子的力函數(shù)表達(dá)式完全相同。5有一維勢(shì)壘如下圖所示，自由粒子沿方向向勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)，求粒子的透射系數(shù)D。提示：寫出表達(dá)式；令，解出積分限b；利用（2-104）式得D，并注意簡(jiǎn)化運(yùn)算。U0U(x)0axbE解：由可得故6粒子在三維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求粒子的波函數(shù)和能量。解：勢(shì)能不含時(shí)間是定態(tài)問(wèn)題。在阱外，波函數(shù)在阱內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程令，則方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式令代入方程有除以XYZ，可得要使上式成立，必然有即由波函數(shù)的連續(xù)性可知在邊界上由方程和邊界條件可得由歸一化條件可得；或波函數(shù) 能量第四章1試證為和的共同本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。證明： 滿足的本征方程，是的本征函數(shù)，本征值是。 滿足的本征方程，也是的本征函數(shù)，本征值是。故為和的共同本征函數(shù)。2設(shè)粒子在被限制在半徑為的球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能函數(shù)為求粒子角動(dòng)量為零時(shí)的波函數(shù)和能量。提示：利用（4-50）式，注意到，令。解：在球外，波函數(shù)在球內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程因角動(dòng)量為零，即，方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠躺鲜娇筛膶憺榱?，代入得進(jìn)一步改寫為令，代入得標(biāo)準(zhǔn)二階常微分方程方程的通解為在球心，由波函數(shù)有限性可知（注意），即得在邊界上，由波函數(shù)連續(xù)性可知 即得波函數(shù)由歸一化條件可得波函數(shù)能量 在球心處，波函數(shù)3氫原子處于基態(tài)，求電子出現(xiàn)在距離氫核二倍玻爾軌道半徑以外的幾率。解： 4分別求出氫原子處于2s態(tài)和2p態(tài)時(shí),電子徑向分布幾率取最大值時(shí)的r值。這兩個(gè)r值是否等于相應(yīng)的波爾軌道半徑?解：2s態(tài)徑向分布幾率 令 即 得因所以、和不是最大點(diǎn)。因和是極大值點(diǎn)，但，所以是最大值點(diǎn)。5求出氫原子p態(tài)電子（l=1）當(dāng)m=1時(shí)的角分布幾率，所得結(jié)果與舊量子論關(guān)于電子沿確定軌道運(yùn)動(dòng)的概念是否一致？解： 若電子沿確定軌道運(yùn)動(dòng)，即沿確定空間曲線運(yùn)動(dòng)，則電子只應(yīng)出現(xiàn)在該曲線上。但上式表明角分布幾率與無(wú)關(guān)，電子不是分布在曲線上，而是分布在空間一個(gè)相當(dāng)寬的區(qū)域。故電子不是沿確定軌道運(yùn)動(dòng)，與舊量子論概念不一致。第五章1. 一維非線性諧振子處于勢(shì)場(chǎng)，求該非線性諧振子基態(tài)的一級(jí)近似能量。解：無(wú)微擾項(xiàng)為線性諧振子，其基態(tài)波函數(shù)微擾項(xiàng) 基態(tài)的一級(jí)近似能量 因被積函數(shù)是奇函數(shù)，第一項(xiàng)積分因被積函數(shù)是偶函數(shù)，第二項(xiàng)積分即3. 有兩個(gè)諧振子組成的耦合諧振子，其能量算符式中為兩諧振子的相互作用能量，可視為。試證：（1）此耦合諧振子的零級(jí)近似能量（2）此耦合諧振子第一激發(fā)態(tài)（N = 1）能量的一級(jí)修正證明：（1） 微擾項(xiàng) 無(wú)微擾項(xiàng) 無(wú)微擾時(shí)的定態(tài)薛定諤方程因算符僅與x1有關(guān)、僅與x2有關(guān)，可分離變量，令則前述方程可分離為兩個(gè)獨(dú)立的方程 每一個(gè)獨(dú)立的方程描述了一獨(dú)立的一維諧振子，其能量 總能量（2）N =1時(shí)，耦合諧振子有兩種狀態(tài)，即諧振子1處于第一激發(fā)態(tài)，諧振子2處于基態(tài)諧振子2處于第一激發(fā)態(tài)，諧振子1處于基態(tài)兩種狀態(tài)具有同樣的能量，是簡(jiǎn)并的。微擾矩陣元 由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間上積分為0，故 同理 積分 故 同理 代入久期方程有即 解得 5一體系的能級(jí)為二度兼并，對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為、，試證此體系有微擾作用時(shí)，體系能量的一級(jí)修正并寫出各的表達(dá)式。證明：由久期方程