§4.4三角函數(shù)式的求值、化簡與證明.doc

4.4 三角函數(shù)式的求值、化簡與證明【一線名師精講】基礎(chǔ)知識要點三角函數(shù)的恒等變形主要包括求值、化簡與證明三方面，這部分內(nèi)容是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，所以要求能熟練地運用公式進行計算.1、 求值: 主要有三類求值問題(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.(3)“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.2、 化簡: 對三角和式,基本思路是降次、消項和逆用公式；對三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，還可用切割化弦、變量代換、角度歸一等方法.三角函數(shù)式的化簡要求通過對三角函數(shù)式的恒等變形(或結(jié)合給定條件而進行的恒等變形),使最后所得到的結(jié)果中:(1)所含函數(shù)和角的名類或種類最少;(2)各項的次數(shù)盡可能地低;(3)出現(xiàn)的項數(shù)最少;(4)一般應(yīng)使分母和根號下不含三角函數(shù)式;(5)能求具體數(shù)值的要求出值.3、 三角等式的證明可分為三角恒等式的證明與三角條件等式的證明兩種(1)證明三角恒等式的方法觀察等式兩邊的差異(角、函數(shù)、運算的差異)，從解決某一差異入手（同時消除其他差異）決定從該等式的哪邊證明（也可兩邊同時化簡）.當從解決差異不易入手時,可采用轉(zhuǎn)換命題法或用分析法、數(shù)學(xué)歸納法等.(2)證明三角條件等式的方法首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決某一差異入手,確定從結(jié)論開始通過變換將已知表達式代入得出結(jié)論, 或通過變換已知條件得出結(jié)論, 如果這兩種方法都證不出來,可采用分析法;如果已知條件含參數(shù),可采用消去參數(shù)法;如果已知條件是連比的式子,可用換元法,等等.三角等式的證明要求利用已知三角公式通過恒等變形(或結(jié)合給定條件運用三角公式), 論證所給等式左、右相等，要求過程清晰、步驟完整.4、 三角函數(shù)式的求值、化簡、證明的核心是進行三角函數(shù)恒等變形，而三角函數(shù)恒等變形的實質(zhì)就是：變換角；變換函數(shù)名稱；變換解析式結(jié)構(gòu). 要注意湊配變異求同，即湊角、湊名、湊常數(shù)，以達到理想結(jié)構(gòu)變異目標.要重視常規(guī)解法的練習(xí),注意靈活運用角的變形和公式的變形,注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響,注意角的范圍的討論.高考中，三角函數(shù)式的化簡與證明已不多見，出現(xiàn)與之有關(guān)的題目是化簡某一三角函數(shù),綜合考查這一函數(shù)的其他性質(zhì).但凡是與三角函數(shù)有關(guān)的問題,都以恒等變形、條件變形為研究手段，因此本學(xué)點內(nèi)容的工具性作用不可小視.基本題型指要關(guān)于三角函數(shù)的求值問題，是每年高考的必考考點之一，它不僅考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，更重要的體現(xiàn)了學(xué)生的靈活應(yīng)變能力，這與新教材的改革方針是一致的.因此，在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重點掌握，通過精練，多分析，從中去理解公式，掌握基本的應(yīng)用技能是很有必要的.尤其是對基礎(chǔ)的三角函數(shù)及的定義域進一步限制時，怎樣去求值問題.題型一：給值求值【例I】設(shè)，求的值.思路: 先化簡,再求值.解析：又, 原式=點評: (1)當已知與求值的兩式之間的關(guān)系不明顯時,常常通過化簡,使其關(guān)系顯露出來.(2)注意“，等變換.題型二：給值求角【例2】設(shè)、是一元二次方程的兩根，且，則（ ）(A) (B) （C）或 （D）或錯解: 、是方程的兩根， 、 或，故選（C）錯因：審題不仔細，其實兩根，隱含著負根這個條件，沒有挖掘出來，導(dǎo)致錯選（C）.正解：，是方程的兩根，從而，故、 ,故選（A）題型三：三角函數(shù)式的化簡【例3】化簡.思路：化簡結(jié)果究竟是什么，我們不清楚，但化繁為簡卻是我們的不變目標。本題中分子是一完全平方式，分母中這兩大特征應(yīng)成為我們解題的功入點.解析：原式=點評:化簡題一定要找準解題的切入點，其中的降次、消元和變角是常用的化簡技巧.題型四：三角恒等式的證明【例4】求證：思路：觀察左、右兩邊式子間的差異，若選擇“從左證到右”，則“切化弦”的方法勢在必行；若選擇“從右證到左”，則倍角公式應(yīng)是必用公式。解析1：左邊=解析2：右邊=左邊點評：在三角變形中，1的變換作用不小，上例就用到換1為的“常量代換”技巧.題型五：三角條件等式的證明【例5】若、成等差數(shù)列，、成等比數(shù)列，求證：.思路：待證式中不含，故應(yīng)想到須從已知式中消去解析：由題意得 ，兩邊平方得，即 又由、cos成等比數(shù)列， 由、得點評：觀察所給條件和欲證結(jié)構(gòu)間形式上的、結(jié)構(gòu)上的異同點，通過“化異為同”、“求同存異”的變換，就有希望達到我們的解題目的.【閱卷老師評題】【例6】（2004年北京高考理）在中，求的值和的面積.命題目的：主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.考情分析：絕大多數(shù)的考生都能入手解題，不致束手無策。但部分考生因數(shù)值計算出差錯，三角函數(shù)值的符號判斷錯誤導(dǎo)致失分.解析1： ， 又，解析2： ， +得-得（以下同解析1）【好題優(yōu)化訓(xùn)練】A 、基礎(chǔ)鞏固1、 下列式子中，不正確的是（ ）（A）（B） （C）（D）答案：（B）解析：由三角函數(shù)公式易知選（B）2、 （2002年北京高考）若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（A）解析：由得3、 已知，且是第二象限的角，那么的值是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（D）解析：由，是第二象限角，得， 故選（D）4、（2004年北京春季高考）的值為 . 答案:1解析: 利用兩角和與差的正弦公式將原式展開即得.5、 已知, 答案:8解析: B、技能培訓(xùn)6.、 化簡的結(jié)果為( )(A) (B) (C) (D)答案: (A)解析: 原式=7、 的值等于( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)16答案: (A)解析: 同理得,故選(A)8、 若,是方程的兩根,和是方程的兩根, 那么有( )(A) (B) (C) (D)答案: (B)解析: ,同理 故.9、已知,則的值是( )(A)1 (B) (C) (D)答案: (D)解析: 又 由2+2得: 10、 已知,是方程的兩實根, 則 .答案: 3解析: , 原式=11、(2002年上海春季高考)已知, 若,則可化簡為 答案: 解析: 12、 求值:(1)(2)答案: (1) (2)解析: (1)原式= (2)原式 .13、化簡下列各式:(1)(2)答案: (1) 1 (2)解析: (1)原