《高數(shù)上期中復(fù)習(xí)》PPT課件.ppt

高等數(shù)學(xué) 上 期中復(fù)習(xí) 基本概念 基本定理 基本方法 1 概念羅列函數(shù) 有確定對(duì)應(yīng)規(guī)則 自變量 定義域及求法 有 上 下 界 無(wú)界 奇 偶函數(shù) 單調(diào) 增 減 函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù) 關(guān)于y x對(duì)稱(chēng) 基本初等函數(shù)及對(duì)應(yīng)圖形 初等函數(shù) 極限 左右極限 單側(cè)極限 無(wú)窮大與無(wú)窮小 無(wú)窮小的階 高階 低階 同階 數(shù)量階 等價(jià)無(wú)窮小 連續(xù) 3定義 間斷 間斷點(diǎn)分類(lèi) 導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 微分 線(xiàn)性主部 極值 駐點(diǎn) 最值 極值與最值區(qū)別 7種自變量的變化 1 自變量n 雙側(cè) 雙側(cè) 單側(cè) 單側(cè) 2 極限定義 7種自變量變化的精準(zhǔn)定義 1 自變量n 2 自變量x x0 3 自變量x x0 0 4 自變量x x0 0 6 自變量x 5 自變量x 7 自變量x 5種函數(shù)的變化 5種函數(shù)變化的精準(zhǔn)定義 1 函數(shù)f x A 2 無(wú)窮小 3 f x 無(wú)窮大 4 f x 正無(wú)窮大 5 f x 負(fù)無(wú)窮大 極限的7個(gè)定義及無(wú)窮大與無(wú)窮小的相應(yīng)定義組合的例子 設(shè)f x 在 x 充分大時(shí)有定義 如果 對(duì)于X 0 當(dāng) x X時(shí) 恒有 設(shè)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于當(dāng)時(shí) 有 或 設(shè)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于當(dāng)時(shí) 有 或 1 用倒推法導(dǎo)出希望的條件 不是結(jié)果或事實(shí) 證極限是從出發(fā)導(dǎo)出N 或 或X 技巧是放大 證 是從出發(fā)導(dǎo)出N 或 或X 技巧是縮小 2 套定義復(fù)述 即 用定義證極限 或 的步驟 當(dāng)時(shí) 有 共35個(gè)可能 例 設(shè) 用定義證明 2 1 3 基本定理極限及無(wú)窮小的性質(zhì) 無(wú)窮小與極限的關(guān)系 極限性質(zhì) 惟一 有界 保號(hào) 局部服從全體 極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算性質(zhì) 參與的變量極限一定要存在 連續(xù)函數(shù)經(jīng) 與復(fù)合運(yùn)算后仍連續(xù) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 兩類(lèi) 性質(zhì) 有界 介值 可導(dǎo)必連續(xù) 連續(xù)不一定可導(dǎo) 左右極限 左右連續(xù) 左右導(dǎo)數(shù) 可導(dǎo)充要條件是可微 dy y dx 4個(gè)微分中值定理 4 極限的求法 若函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 四則運(yùn)算 有理函數(shù)在的計(jì)算公式 去0因子 及有理化 變量代換 有界與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小 無(wú)窮大與無(wú)窮小 除0外 互為倒數(shù)關(guān)系 兩準(zhǔn)則 兩極限 等價(jià)無(wú)窮小替換 注 只用于乘除 加減不能用 洛必達(dá)法則 5 導(dǎo)數(shù)的求法定義 導(dǎo)數(shù)是切線(xiàn)斜率 多用于抽象函數(shù)或分段函數(shù)在固定點(diǎn) 初等函數(shù)求導(dǎo) 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 求導(dǎo) 運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 反函數(shù)求導(dǎo)公式 隱函數(shù)求導(dǎo)方法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 參數(shù)方程求導(dǎo)公式 高階導(dǎo)數(shù)公式 隱函數(shù)求導(dǎo)要點(diǎn) 方程兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo) 遇到y(tǒng)時(shí) 將y當(dāng)作中間變量 先對(duì)y求導(dǎo) 然后 馬上乘以y 最后解出y 對(duì)數(shù)求導(dǎo)注意點(diǎn) 要充分地使用對(duì)數(shù)性質(zhì) 將對(duì)數(shù)性質(zhì)發(fā)揮至極致 適用于 1 冪指函數(shù) 2 多因子乘積 參數(shù)方程求導(dǎo)注意點(diǎn) y y 是t的函數(shù) 對(duì)t求導(dǎo)后一定要及時(shí)除以xt 3 萊布尼茨 Leibniz 公式 高階導(dǎo)數(shù)公式 求高階導(dǎo)數(shù)的方法小結(jié) 抽象函數(shù)關(guān)于某一點(diǎn)或分段函數(shù)在分段點(diǎn)求 高階 導(dǎo)數(shù) 多用定義求得 具體函數(shù)的低階導(dǎo)數(shù)要由一階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)數(shù) 依序算出 簡(jiǎn)單函數(shù)類(lèi)的高階導(dǎo)數(shù)求至3 4階后 盡量把它們變換成同一形式 用不完全歸納法得一般規(guī)律 或套公式 1 做 簡(jiǎn)單函數(shù)類(lèi)指f x xa ex ax sinx cosx Lnx等和中間變量為線(xiàn)性的函數(shù)復(fù)合而成 不太復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 先化成簡(jiǎn)單函數(shù)類(lèi)的線(xiàn)性組合 而后用高階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性運(yùn)算法則即公式 2 做 尤其是多項(xiàng)式和簡(jiǎn)單函數(shù)類(lèi)乘積的高階導(dǎo)數(shù) 用Leibniz公式 6 微分中值定理 條件 滿(mǎn)足 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 在開(kāi)區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 3 結(jié)論 在開(kāi)區(qū)間 a b 內(nèi)至少有一點(diǎn) 使 微分中值定理的特點(diǎn) 羅爾中值定理適用于有關(guān)方程的根 牽涉到一個(gè)函數(shù) 拉格朗日中值定理的適用于有關(guān)函數(shù)的改變量 拉格朗日中值定理的推論 導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是常數(shù) 適用于恒等式 柯西中值定理適用于方程的根 牽涉到兩個(gè)函數(shù) 泰勒中值定理涉及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 例設(shè)f x 在 0 1 上連續(xù) 0 1 內(nèi)可導(dǎo) f 0 1 f 1 0 證明 至少存在一點(diǎn) 0 1 使得 此類(lèi) 輔助函數(shù)F x x f x 例設(shè)f x 可導(dǎo) 證明f x 的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間一定有的零點(diǎn) 此類(lèi) 輔助函數(shù)F x ekxf x 7 洛必達(dá)法則 24個(gè) 使用說(shuō)明 1 可反復(fù)使用 但每次使用前