《高斯公式》PPT課件.ppt

第六節(jié)高斯公式 一 高斯公式二 簡單的應(yīng)用三 物理意義 通量與散度四 小結(jié)思考題 一 高斯公式 格林公式 描述了在閉曲線L上的曲線積分與L所圍閉區(qū)域D上的二重積分之間的關(guān)系 在空間閉曲面 上 可以作曲面積分 在 所圍空間閉區(qū)域 上 可以做三重積分 因此在 上的曲面積分與在 上的三重積分必存在某種聯(lián)系 設(shè) 是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間閉區(qū)域 并假設(shè) 1 用平行于z軸的直線穿越 的內(nèi)部時(shí) 與 的邊界曲面 交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn) 2 取外側(cè) 的形狀如圖所示 取下側(cè) 取上側(cè) 母線平行于z軸的柱面 取外側(cè) 又設(shè)R x y z 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?假設(shè) 1 用平行于z軸的直線穿越 的內(nèi)部時(shí) 與 的邊界曲面 交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn) 2 取外側(cè) 3 R x y z 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 同理 若用平行于x軸和y軸的直線穿越 的內(nèi)部時(shí) 與 的邊界曲面 交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn) P x y z Q x y z 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論 假設(shè)條件 1 用平行于z軸的直線穿越 的內(nèi)部時(shí) 與 的邊界曲面 交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn) 2 取外側(cè) 3 R x y z 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論 說明1 若 不滿足條件 1 則可類似于格林公式的情形進(jìn)行處理 2 三式合并即為 P Q R在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則 定理1 設(shè) 是由分片光滑的有向閉曲面 所圍空間閉區(qū)域 其中 是 的整個(gè)邊界曲面 取外側(cè) 是與 的側(cè)向一致的法向量 的方向余弦 記 則由兩類曲面積分之間的關(guān)系 高斯公式又可寫成 高斯公式是計(jì)算第二類曲面積分的有效工具之一 例1 計(jì)算 取外側(cè) 解 分析 被積函數(shù)都是二次的 求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮?則 例1 計(jì)算 取外側(cè) 解 分析 被積函數(shù)都是二次的 求偏導(dǎo)后變?yōu)橐淮?由對稱性知 例2 計(jì)算 其中 為錐面 介于平面z 0及z h h 0 之間部分的下側(cè) 是與 的側(cè)向一致的法向量的方向余弦 解 應(yīng)用高斯公式時(shí)一定要注意條件 1 是分片光滑閉曲面 2 P Q R在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 補(bǔ)充 上側(cè) 在 可以應(yīng)用高斯公式 例2 計(jì)算 其中 為錐面 介于平面z 0及z h h 0 之間部分的下側(cè) 是與 的側(cè)向一致的法向量的方向余弦 解 例2 計(jì)算 其中 為錐面 介于平面z 0及z h h 0 之間部分的下側(cè) 是與 的側(cè)向一致的法向量的方向余弦 解 例2 計(jì)算 其中 為錐面 介于平面z 0及z h h 0 之間部分的下側(cè) 是與 的側(cè)向一致的法向量的方向余弦 解 本題所用方法俗稱 封口法 例3 計(jì)算 其中 取上側(cè) 解 補(bǔ)充 下側(cè) 例3 計(jì)算 其中 取上側(cè) 解 例4 計(jì)算 其中 取外側(cè) 解 分析 經(jīng)計(jì)算可得 故可考慮用高斯公式 問題 P Q R在 內(nèi)不連續(xù) 以原點(diǎn)為中心作一小球 取內(nèi)側(cè) 在 所圍空間區(qū)域 上 滿足高斯公式的條件 例4 計(jì)算 其中 取外側(cè) 解 分析 經(jīng)計(jì)算可得 例4 計(jì)算 其中 取外側(cè) 解 對于 在 所圍的球上應(yīng)用高斯公式 二 物理意義 通量與散度 1 通量的定義 沿場中某一有向曲面 的第二類曲面積分 稱為該向量場通過曲面 向著指定側(cè)的通量 或流量 設(shè)有向量場 是與 的側(cè)向一致的法向量 的方向余弦 所以 2 散度的定義 設(shè)有向量場 稱 為該向量場的散度 記作 即 高斯公式 這里 取外側(cè) 或 其中 第十章第六節(jié)作業(yè) 習(xí)題10 6 2 3 4 8 1 9 四 小結(jié) 3 應(yīng)用的條件 4