知識(shí)講解_平面向量應(yīng)用舉例_基礎(chǔ).doc

平面向量應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題2.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.3體會(huì)用向量方法解決實(shí)際問題的過程，知道向量是一種處理幾何、物理等問題的工具，提高運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)用到向量減法的意義（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：（或x1y2x2y1=0）（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式（5）向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題要點(diǎn)詮釋：用向量知識(shí)證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個(gè)方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了要點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決常見解析幾何問題及應(yīng)對(duì)方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程（3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件（4）夾角問題：利用公式要點(diǎn)三：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識(shí)來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：力、速度、位移都是向量；力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論【典型例題】類型一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例1用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角已知：如下圖，AB是O的直徑，點(diǎn)P是O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：APB90證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，即APB90【總結(jié)升華】解決垂直問題，一般的思路是將目標(biāo)線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運(yùn)用向量運(yùn)算，將目標(biāo)向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運(yùn)算式使問題獲解，如本題便是將向量，由基底，線性表示當(dāng)然基底的選取應(yīng)以方便運(yùn)算為準(zhǔn)，即它們的夾角是明確的，且長度易知舉一反三：【變式1】P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】D【變式2】已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_.【解析】=1= = = （F是E點(diǎn)在上的投影） 當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)，上式取到等號(hào)例2如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PFCE是矩形，證明：.【思路點(diǎn)撥】如果我們能用坐標(biāo)表示與，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可.因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點(diǎn)A、B、E、F的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證.【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則，于是，.舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（2，1）（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長；（2）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足，求t的值【答案】（1），（2）【解析】 （1）由題設(shè)知，則，所以，故所求的兩條對(duì)角線長分別為，（2）由題設(shè)知，由，得(3+2t，5+t)(2，1)=0，從而5t=11，所以類型二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例3已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4及定點(diǎn)A（1，1），M為圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA上，且 ，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量條件確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用M為圓C上任意一點(diǎn)，即可求得結(jié)論 【答案】x2+y2=1【解析】設(shè)N（x，y），M（x0，y0），則由得（1x0，1y0）=2（x1，y1），即代入(x3)2+(y3)2=4，得x2+y2=1【總結(jié)升華】本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量條件確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題舉一反三：【變式1】已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，4），B（4，0），C（6，2），點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)（1）求直線DE、EF、FD的方程；（2）求AB邊上的高CH所在直線的方程【答案】（1）xy+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0【解析】 （1）由已知得點(diǎn)D（1，1），E（3，1），F(xiàn)（2，2），設(shè)M（x，y）是直線DE上任意一點(diǎn)，則，(2)(x+1)(2)(y1)=0，即xy+2=0為直線DE的方程同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x+5y+8=0，x+y=0（2）設(shè)點(diǎn)N（x，y）是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則又，4(x+6)+4(y2)=0，即x+y+4=0為所求直線CH的方程【總結(jié)升華】（1）利用向量法來解決解析幾何問題，首先要將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算（2）要掌握向量的常用知識(shí)：共線；垂直；模；夾角；向量相等則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等 類型三：向量在物理學(xué)中“功”的應(yīng)用例4一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45的方向移動(dòng)了8 m，其中|F1|=2 N，方向?yàn)楸逼珫|30；|F2|=4 N，方向?yàn)楸逼珫|60；|F3|=6 N，方向?yàn)楸逼?0，求合力F所做的功【答案】【解析】 以物體的重心O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系如圖，則，則又位移，合力F所做的功為（J）合力F所做的功為J【總結(jié)升華】用向量的方法解決相關(guān)的物理問題，要將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來，再根據(jù)它的物理意義建立數(shù)學(xué)模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解，最后將數(shù)學(xué)問題還原為物理問題 舉一反三：【變式1】已知一物體在共點(diǎn)力的作用下產(chǎn)生位移，則共點(diǎn)力對(duì)物體所做的功為（ ）A、4 B、3 C、7 D、2【答案】C【解析】對(duì)于合力，其所做的功為.因此選C.類型四：向量在力學(xué)中的應(yīng)用例5如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析F1的大小與夾角的關(guān)系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求的取值范圍【答案】（1）增大時(shí)，|F1|也增大（2）（3）0，120【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，設(shè)F1，F(xiàn)2的合力為F，則F=G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，0，180，由于函數(shù)y=cos在0，180上為減函數(shù)，逐漸增大時(shí)，逐漸減小，即逐漸增大，增大時(shí)，|F1|也增大（2）由上述可知，當(dāng)=0時(shí)，|F1|有最小值為（3）由題意，即由于y=cos在0，180上為減函數(shù)，0，120為所求【總結(jié)升華】生活中“兩人共提一桶水，夾角越大越費(fèi)力”，“在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小就越省力”等物理現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)推理與分析得到了詮釋舉一反三：【變式1】兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力，當(dāng)它們間夾角為時(shí)，合力的大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為時(shí)，合力的大小為（ ）A、40N B、 C、 D、【思路點(diǎn)撥】力的合成關(guān)鍵是依平行四邊形法則，求出力的大小，然后再結(jié)合平行四邊形法則求出新的合力.【解析】對(duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力，當(dāng)它們間夾角為時(shí)，合力的大小為20N時(shí)，這二個(gè)力的大小都是N，對(duì)于它們的夾角為時(shí)，由三角形法則，可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為N. 正確答案為B.【總結(jié)升華】力的合成可用平行四邊形法則，也可用三角形法則，各有優(yōu)點(diǎn)，但實(shí)質(zhì)是相通的，關(guān)鍵是要靈活掌握；對(duì)于第一個(gè)平行四邊形法則的應(yīng)用易造成的錯(cuò)解是，這樣就會(huì)錯(cuò)選答案D.類型五：向量在速度中的應(yīng)用例6在風(fēng)速為km / h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150 km / h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向【思路點(diǎn)撥】這是航行中的速度問題，速度的合成與分解相當(dāng)于向量的加法與減法，處理的方法和原則是三角形法則或平行四邊形法則.【答案】，北偏西60【解析】設(shè)風(fēng)速為，飛機(jī)向西北方向飛行的速度為va，無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度為vb，則如圖，vb=va，設(shè)，過A點(diǎn)作ADBC，過C作CDAD于D，過B作BEAD于E，則BAD=45，所以，從而，CAD=30所以沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為km / h，航向?yàn)楸逼?0【總結(jié)升華】本題主要考查向量在物理學(xué)中的應(yīng)用此類問題