山東省冠縣武訓(xùn)高級中學(xué)高二數(shù)學(xué) 第六章《不等式》同步輔導(dǎo)教材.doc

第六章 不等式小結(jié)一、 本章主要內(nèi)容 知識(shí)結(jié)構(gòu) （二）不等式的性質(zhì) 1、基本性質(zhì)：（1）可加性（移項(xiàng)法則）；（2）可乘性（變號法則）；（3）冪及方根性質(zhì)；（4）倒數(shù)性質(zhì)等。不等式的性質(zhì)是證明不等式及解不等式的依據(jù)。對于不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握其成立的條件及不等號的方向。應(yīng)注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將條件不滿足的不等式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為不等式的性質(zhì)，如兩個(gè)不等式兩邊均為負(fù)數(shù)，其乘法法則如何。 （三）不等式的證明 1、不等式證明的依據(jù)：（1）不等式的性質(zhì)；（2）基本不等式：a2+b22ab（a、br），（a0，b0，c0）；（3）實(shí)數(shù)性質(zhì)，如a20（ar）等。在運(yùn)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意公式的變形使用，如由得ab，由a2+b22ab得ab。2、不等式證明的方法（1） 常規(guī)方法：比較法（比差、比商），綜合法、分析法。 （2）特殊方法：換元法（三角換元、差值換元、均值換元）、放縮法（單調(diào)性）、反證法、判別式法。對于較復(fù)雜的不等式的證明，通常用分析法去想，以綜合法去寫。不等式證明方法選擇的一般規(guī)律是：先考慮能否用綜合法，其必要條件有：元素是否為正實(shí)數(shù)，式子結(jié)構(gòu)是否為和或積的形式等，其次考慮比較法，特別是不等式兩邊都是整式或分式時(shí)，再次考慮用分析法，最后根據(jù)題設(shè)特征，選用特殊方法，總之在選擇方法時(shí)，應(yīng)緊扣不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及不等號方向。對于表達(dá)形式過于復(fù)雜的題目，也可先等價(jià)變形（化簡），再去證明。 （四）不等式的解法解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，在這一點(diǎn)上，與證明不等式有本質(zhì)區(qū)別。一元一次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式、高次不等式及分式不等式均可向其轉(zhuǎn)化。解含字母的不等式應(yīng)注意分類討論。解一元二次不等式過程中，應(yīng)充分聯(lián)系二次函數(shù)及二次方程。 （五）絕對值不等能利用三角形不等式|a|-|b|ab|a|+|b|及絕對值的基本性質(zhì)如|a|0，|a|a，|a|-a，ar及運(yùn)算性質(zhì)（乘、除）證明含絕對值的不等式。 （六）作為基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)用基本不等式求二元或二元以上函數(shù)及高次函數(shù)的最值，體會(huì)等與不等的辯證關(guān)系。 二、典型例題 例1、求函數(shù)的定義域和值域。解題思路分析：求定義域，就是解關(guān)于x的不等式：0；根據(jù)分式函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮用基本不等式性質(zhì)求最值。 0 0得該分式不等式的解為，或x0 函數(shù)定義域?yàn)?)0,+)在定義域的基礎(chǔ)上，先求函數(shù)的值域。當(dāng)x=0時(shí)，y=0當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，2；當(dāng)時(shí)，在（，-1上遞增，在-1，）上遞減，x=-1時(shí)，=-2；或時(shí)，=3 -2 5，或1 0t，或t2 0y，或y 函數(shù)值域?yàn)?，+）例2、設(shè)f(x)=，是否存在正數(shù)a，使得f(x)在（0，3上是減函數(shù)，在3，+）上是增函數(shù)？如果在，求出所有這樣的a；如果不存在，說明理由。解題思路分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義即比差法尋找a。該題目的結(jié)論未定（通常稱這一類題目為開放性或探索型問題），其處理方法一般是肯定結(jié)論存在，然后根據(jù)有關(guān)條件求出a，最后檢驗(yàn)a是否滿足題目所有條件（顯性的及隱性的）。假設(shè)f(x)在（0，3上是減函數(shù)，則當(dāng)0x10 f(x1)-f(x2)=x1+ = 0x1x2 x1-x20 x1x2-ax1x2上式對（0，3上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2均成立 a(x1x2)max x1，x23，x1x2 x1x20 32n-1-x0 x(32n-1-x)22n-1 x0 x2-3x2n-1+22n-10 x0 2n-1x2n 2n-1x2n f(n)=2n-2n-1+1=2n-1+1其次求sn： sn=(20+21+2n-1)+n=+n=2n+n-1再次對sn與pn用比差法比較大小 sb-pn=2n+n-1-()令=t，則 sn-pn=t2-t+1=(t-)(t-2) nn* t=0 當(dāng)t2，即n=1時(shí)，t-20 sn2，即a3時(shí)，t-20 snpn例4、已知a0，b0，a+2b=1，求的最小值。解題思路分析：思路一：這是二元函數(shù)最值問題，可直接利用基本不等式。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí) 思路二：通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)途徑一：代入消元法由a+2b=1得a=1-2b a0 1-2b0 0b 令t=1-b則 0t0，b0，a+2b=1 令a=cos2，2b=sin2，（0，） sec2+2csc2=1+tan2+2(1+cot2)=3+(tan2+2cot2)當(dāng)且僅當(dāng)tan2=2ccot2，tan2=時(shí)等號成立 注：本題最常見的錯(cuò)誤解法是：由a+2b，a+2b=1得1，2，。其原因是兩次運(yùn)用基本不等式的等號成立條件不一樣。在a+2b中等號成立的條件是a=2b；在中，等號成立的條件是a=b，當(dāng)時(shí)，a=b=0，與已知值矛盾。例5、已知a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)求證：4解題思路分析：根據(jù)不等式左邊和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及不等號的方向，自左向右縮小。途徑一：左=當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d時(shí)等號成立途徑二：左當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立例6、設(shè)f(x)=，其中ar，nn，n2（1） 如果x(-，1，f(x)有意義，求a的取值范圍；（2） 如果a(0，1，證明當(dāng)x0時(shí)，2f(x)f(x)，其等價(jià)命題為a(f(x)max f(x)在（-，1上遞增 當(dāng)x=1時(shí)，(f(x)max= （2） 對欲證不等式恒等變形得 可以構(gòu)造輔導(dǎo)不等式：(a1+a2+an)2n(a12+an2)，其中a1，a2，an均為實(shí)數(shù)（此不等式實(shí)際上為柯西不等式的特例），用基本不等式可以證明。 又a(0，1 a2a 2f(x)0），方程f(x)-x=0的兩個(gè)根分別為x1,x2，且滿足0x1x2，當(dāng)x（0，x1）時(shí)，證明xf(x)x1。解題思路分析：用比較法證明令f(x)=f(x)-x，則f(x)=a(x-x1)(x-x2)當(dāng)x（0，x1）時(shí)，x-x10，x1-x20 f(x)-x0，即f(x)x又 x1-f(x)=x1-x+f(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)a(x-x2)+1 a(x-x2)+1=1+