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第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)自我校對 _指數(shù)、對數(shù)的運算1.指數(shù)、對數(shù)的運算應遵循的原則指數(shù)式的運算首先注意化簡順序,一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式,換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧2對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡,常用的方法:(1)“收”,將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差)【精彩點撥】按照指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)進行計算,但應注意乘法公式的應用 再練一題1計算80.25()6log32log2(log327)的值為_【答案】111三種初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的前提和基礎,它較形象直觀地反映了函數(shù)的一切性質(zhì)教材對冪、指、對三個函數(shù)的性質(zhì)的研究也正好體現(xiàn)了由圖象到性質(zhì),由具體到抽象的過程,突出了函數(shù)圖象在研究相應函數(shù)性質(zhì)時的作用(1)若函數(shù)f (x)log2的定義域為(,1),則a_.(2)若函數(shù)f (x)log2在(,1上有意義,則a的取值范圍是_【精彩點撥】分別將兩個問題轉(zhuǎn)化為求定義域問題和恒成立問題,然后求解【規(guī)范解答】(1)因為x1,所以2x0,令t2x,則t(0,2),由題知yat2t1開口向下,且t2是方程at2t10的根,所以4a210,所以a.(2)原問題等價于a4x2x10,對任意x(,1恒成立因為4x0,所以a在(,1上恒成立令g(x),x(,1由yx與yx在(,1上均為增函數(shù),可知g(x)在(,1上也是增函數(shù),所以g(x)maxg(1).因為a在(,1上恒成立,所以a應大于g(x)的最大值,即a.故所求a的取值范圍為.【答案】(1)(2)再練一題2已知f (x)log2 (x1)log2 (1x),(1)求f (x)的定義域,并求f 的值;(2)判斷f (x)的奇偶性;(3)判斷f (x)的單調(diào)性【解】(1)由題知,令解得1x1,f (x)的定義域為x|1x1,f log2log2 log2log21.(2)f (x)log2(x1)log2(1x)f (x),又f (x)的定義域為x|1x1故f (x)為偶函數(shù)(3)f (x)log2 (x1)(1x)log2 (1x2),設u(x)1x2,則u(x)是開口向下的二次函數(shù),在(1,0)上,u(x)單調(diào)遞增,在(0,1)上,u(x)單調(diào)遞減,又ylog2 u是增函數(shù),f (x)在(1,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減.比較大小利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小是本章一個主要題型,數(shù)的大小比較常用的方法:(1)比較兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型,主要考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用及差值比較法與商值比較法的應用常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法(2)當需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時,可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較(3)比較多個數(shù)的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即先將它們分為“小于0”,“大于等于0,小于等于1”,“大于1”三部分,然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小比較下列各組數(shù)的大?。骸揪庶c撥】(1)采用“媒介法”引入0,1,把三個數(shù)與0,1相比較得結(jié)論;(2)真數(shù)相同,底數(shù)不同,可用圖象法或換底法比較大?。?3)利用冪函數(shù)的性質(zhì)求解【自主解答】(1)因為00.65.11,log0.65.10.65.1log0.65.1.(2)法一:在同一坐標系中作出函數(shù)ylog7x與ylog8x的圖象:由底數(shù)變化對圖象位置的影響知:log712log812.法二:log781.log8120,log712log812. 再練一題3比較大?。汉瘮?shù)的零點與方程的根的關(guān)系及應用根據(jù)函數(shù)零點的定義,函數(shù)yf (x)的零點就是方程f (x)0的根,判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程f (x)0是否有根,有幾個根從圖形上說,函數(shù)的零點就是函數(shù)yf (x)的圖象與x軸的交點的橫坐標,函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系,利用它們之間的關(guān)系,可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題從高考題型上看,這類題目,既有填空題,也可以出現(xiàn)解答題,解題時應注意通過數(shù)與形的相互結(jié)合,將三者進行相互轉(zhuǎn)化(1)函數(shù)f (x)log3 log2(42x)的零點為_(2)函數(shù)g(x)lg x與f (x)x26x9的圖象的交點個數(shù)為_,設最右側(cè)交點的橫坐標x0,則存在n0N*,使x0(n0,n01),則n0_.【精彩點撥】(1)可通過解方程來求零點(2)通過圖象和零點存在性定理來解【規(guī)范解答】(1)f (x)0時,log3log2(42x)0,則log2(42x)1,42x2,2x2,x1.(2)同一個坐標系中做出f (x)和g(x)的圖象,如圖,易知交點個數(shù)有2個,設h(x)g(x)f (x),h(3)lg 30,h(4)lg 410符合題意,m的值為3.分類討論思想本章中,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)均與a的范圍有較大的關(guān)系,因此在應用二者的性質(zhì)時我們應該注意分類討論思想的應用已知偶函數(shù)f (x)在0,)上是增函數(shù),f 0,求不等式f (loga x)0(a0,且a1)的解集【精彩點撥】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),將f (loga x)0轉(zhuǎn)化為loga x與和的大小關(guān)系,然后分類討論求解不等式【規(guī)范解答】f (x)是偶函數(shù),且f (x)在0,)上是增函數(shù),又f 0,f (x)在(,0)上是減函數(shù),f 0.故若f (loga x)0,則有l(wèi)oga x或loga x1時,由loga x或loga x或0x.當0a或loga x,得0x.綜上可知,當a1時,f (loga x)0的解集為(,);當0a0的解集為(0,).再練一題5將例題中“偶函數(shù)f (x)在0,)上為增函數(shù)”改為“奇函數(shù)f (x)在0,)上為增函數(shù)”應如何解答【解】f (x)是奇函數(shù),且f (x)在0,)上單調(diào)遞增,f 0,f (x)在(,0)上也是增函數(shù),且f 0.f 0可轉(zhuǎn)化為loga x或loga x1時,上述兩不等式的解為x和x1,原不等式的解集為.當0a1時,上述兩不等式的解為0x和1x1時,不等式的解集為;當0a1時,不等式的解集為 .【答案】bac2已知函數(shù)f (x)|lnx|,g(x)則方程|f (x)g(x)|1實根的個數(shù)為_【解析】當0x1時,方程為lnx1,解得x.當1x2時,f (x)g(x)lnx2x2單調(diào)遞減,值域為(ln22,1),方程f (x)g(x)1無解,方程f (x)g(x)1恰有一解當x2時,f (x)g(x)lnxx26單調(diào)遞增,值域為ln22,),方程 f (x)g(x)1恰有一解,方程f (x)g(x)1恰有一解綜上所述,原方程有4個實根【答案】43lg 2lg 21_.【解析】lg 2lg 21lg 5lg 22lg 22(lg 5lg 2)2121.【答案】14設函數(shù)f (x)f (2)f (log212)_.【解析】21,f
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