自考 概率論 與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課堂(1).doc

例如：例一，袋中有8個球，從中任取3個球，求取法有多少種？【答疑編號：10000103針對該題提問】解：任取出三個球與所取3個球順序無關(guān)，故方法數(shù)為組合數(shù)（種）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）從中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種？【答疑編號：10000104針對該題提問】解：第一步在5件正品中取2件，取法有（種）第二步在3件次品中取1件，取法有（種）由乘法原則，取法共有103=30（種）第一章 隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率1.1隨機(jī)事件引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有：上上；上下；下上；下下則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點(diǎn)數(shù)有：1，2，3，4，5，6則出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的事件A，點(diǎn)數(shù)4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機(jī)事件。（一）隨機(jī)事件：在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機(jī)事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機(jī)事件。由于本課程只討論隨機(jī)事件，因此今后我們將隨機(jī)事件簡稱事件。雖然我們不研究在一次試驗(yàn)中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。必然事件：在一次試驗(yàn)中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用表示必然事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。不可能事件：在一次試驗(yàn)中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用表示不可能事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機(jī)）事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機(jī)事件，簡稱基本事件，也叫樣本點(diǎn)，習(xí)慣用表示基本事件。例如，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點(diǎn)。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作，當(dāng)然是必然事件。（三）隨機(jī)事件的關(guān)系（1）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。例如，擲一次骰子，A表示擲出的點(diǎn)數(shù)2，B表示擲出的點(diǎn)數(shù)3。A=1，2，B=1，2，3。所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實(shí)際上是同一事件。（四）事件的運(yùn)算 （1）和事件：事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3則和事件A+B=1，2，3，5顯然有性質(zhì)若，則有A+B=BA+A=A（2）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或AB 例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則AB=1，3顯然有性質(zhì)：若，則有AB=AAA=A（3）差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則A-B=5顯然有性質(zhì)：若，則有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB= （5）對立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。記作例如，擲一次骰子，A=1，3，5，則顯然，對立事件有性質(zhì)：注意：A與B對立，則A與B互不相容，反之不一定成立。例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運(yùn)算，其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運(yùn)算有下面的規(guī)律： （1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生【答疑編號：10010101針對該題提問】（2）A，B，C三事件都發(fā)生【答疑編號：10010102針對該題提問】（3）A，B，C三事件都不發(fā)生【答疑編號：10010103針對該題提問】（4）A，B，C三事件不全發(fā)生【答疑編號：10010104針對該題提問】（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生【答疑編號：10010105針對該題提問】（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生【答疑編號：10010106針對該題提問】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射擊目標(biāo)三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請用A1、A2、A3的運(yùn)算來表示B0、B1、B2、B3【答疑編號：10010107針對該題提問】解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示下列事件。（1）A，B都發(fā)生且C不發(fā)生【答疑編號：10010108針對該題提問】（2）A與B至少有一個發(fā)生而且C不發(fā)生【答疑編號：10010109針對該題提問】（3）A，B，C都發(fā)生或A，B，C都不發(fā)生【答疑編號：10010110針對該題提問】（4）A，B，C中最多有一個發(fā)生【答疑編號：10010111針對該題提問】（5）A，B，C中恰有兩個發(fā)生【答疑編號：10010112針對該題提問】（6）A，B，C中至少有兩個發(fā)生【答疑編號：10010113針對該題提問】（7）A，B，C中最多有兩個發(fā)生【答疑編號：10010114針對該題提問】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）簡記AB+AC+BC（7）簡記例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑編號：10010115針對該題提問】（2）AB；【答疑編號：10010116針對該題提問】（3） ；【答疑編號：10010117針對該題提問】（4）；【答疑編號：10010118針對該題提問】（5）；【答疑編號：10010119針對該題提問】（6）；【答疑編號：10010120針對該題提問】（7），【答疑編號：10010121針對該題提問】（8） ?！敬鹨删幪枺?0010122針對該題提問】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可驗(yàn)算對偶律，=，=正確例5，（1）化簡；【答疑編號：10010123針對該題提問】（2）說明AB與是否互斥【答疑編號：10010124針對該題提問】解：（1）（2）例6.A，B，C為三事件，說明下列表示式的意義。（1）ABC；【答疑編號：10010125針對該題提問】（2）；【答疑編號：10010126針對該題提問】（3）AB；【答疑編號：10010127針對該題提問】（4）【答疑編號：10010128針對該題提問】解：（1）ABC表示事件A，B，C都發(fā)生的事件（2） 表示A，B都發(fā)生且C不發(fā)生的事件（3）AB表示事件A與B都發(fā)生的事件，對C沒有規(guī)定，說明C可發(fā)生，也可不發(fā)生。AB表示至少A與B都發(fā)生的事件（4）所以也可以記AB表示，ABC與 中至少有一個發(fā)生的事件。例7.A，B，C為三事件，說明（AB+BC+AC）與是否相同。【答疑編號：10010129針對該題提問】解：（1）表示至少A，B發(fā)生它表示A，B，C三事件中至少發(fā)生二個的事件。（2）表示A，B，C三事件中，僅僅事件A與事件B發(fā)生的事件表示A，B，C三事件中僅有二個事件發(fā)生的事件。因而它們不相同。1.2隨機(jī)事件的概率（一）頻率：（1）在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A），即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果見下表，用A表示出現(xiàn)正面的事件： 試驗(yàn)人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從上表可見，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n大量增加時，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗(yàn)，正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn（A）的穩(wěn)定值大約是0.5。（二）概率：事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）實(shí)際上，用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的，因?yàn)榍驛發(fā)生的頻率fn（A）的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn)，它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過多次的試驗(yàn)后，給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說，我們可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P（A）有下列性質(zhì)：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A與B互斥，即AB=，則有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，An互斥，則有（三）古典概型：若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)只有有限個不同的結(jié)果；（2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判汀＠?，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有6個，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗(yàn)是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計(jì)算公式：設(shè)是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù)為n，A為隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為r則有公式：例1，擲一次骰子，求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010201針對該題提問】解：樣本空間為=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5n=6,r=3 例2.擲三次硬幣，設(shè)A表示恰有一次出現(xiàn)正面，B表示三次都出現(xiàn)正面，C表示至少出現(xiàn)一次正面，求：（1）P（A）；【答疑編號：10010202針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號：10010203針對該題提問】（3）P（C）【答疑編號：10010204針對該題提問】解：樣本空間=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2）（3） 由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計(jì)算公式只需知道樣本空間中的樣本點(diǎn)的總數(shù)n和事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)r就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。例3，從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取3個數(shù)碼不含0和5的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010205針對該題提問】解：從10個不同數(shù)碼中，任取3個的結(jié)果與順序無關(guān)，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個數(shù)碼中任取3個，所以A中的基本事件 例4，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010206針對該題提問】解：（1）第一次取一個數(shù)字的方法有9種；第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是9種；由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有99=92（種）每一種取法是一個基本事件，所以n=92（2）所取兩個數(shù)字不同時，相當(dāng)于從中任取兩個數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有：也可按（1）的乘法原則求r，第一次的取法有9種，第二次的數(shù)字與第1次不同，所以只有8種，所以取法共有98（種）r=98例5，袋中有5個白球，3個紅球，從中任取2個球，求（1）所取2個球的顏色不同的事件A的概率；【答疑編號：10010207針對該題提問】（2）所取2個球都是白球的事件B的概率；【答疑編號：10010208針對該題提問】（3）所取2個球都是紅球的事件C的概率；【答疑編號：10010209針對該題提問】（4）所取2個球是顏色相同的事件的概率?！敬鹨删幪枺?0010210針對該題提問】解：袋中共的8個球，從中任取2個球結(jié)果與順序無關(guān)，所以取法共有種，每一種取法的結(jié)果是一個基本事件，所以基本事件總數(shù)為（1）分兩步取。第一步，在5個白球中任取一個，方法數(shù)為5；第二步在3個紅球中取一個，方法數(shù)為3，根據(jù)乘法原則，共有53種方法，即有53種結(jié)果。（2）從5個白球中任取2個，結(jié)果與順序無關(guān)取法共有（種）B包含的基本事件共有r2=10 （3）從3個紅球中任取2個的方法為（種）C包含的基本事件數(shù)r3=3 （4）所取2個球顏色相同的有兩類：第一類：2個球都是白球的方法有（種） 第二類：2個球都是紅球的方法有（種）根據(jù)加法原則，所取2個球是顏色相同的方法共有10+3=13種。2個球顏色相同的事件D包含r4=13種基本事件。例6，袋中有10件產(chǎn)品，其中有7件正品，3件次品，從中每次取一件，共取兩次，求:（1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010211針對該題提問】（2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率【答疑編號：10010212針對該題提問】解（1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有10種不放回，第二次取一件產(chǎn)品的方法有9種由乘法原則知，取兩次的方法共有109種也可以用排列數(shù)計(jì)算，因?yàn)榻Y(jié)果與順序有關(guān)，所以取法有（種）基本事件總數(shù)n=109第一次取到正品，第二次取到次品的方法有73種，所以事件A包含的基本事件有：（2）放回抽樣。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種，由乘法原則知抽取方法共有1010=100種，所以基本事件總數(shù)n=1010=100第一次取正品方法有7種，第二次取次品的方法有3種，由乘法原則，事件B包含的基本事件共有 例7，將一套有1,2,3,4,5分冊的5本書隨機(jī)放在書架的一排上，求1，2分冊放在一起的事件A的概率。【答疑編號：10010301針對該題提問】解：（1）基本事件總數(shù)n=54321（種）或者為（2）A包含的基本事件有（種）例8，擲兩次骰子，求點(diǎn)數(shù)和為7的事件A的概率。【答疑編號：10010302針對該題提問】解：（1）基本事件總數(shù)n=66=36（種）（2）A=；A包含的基本事件數(shù)r=6 例9，從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)碼中任取3個，排成三位數(shù)，求（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件A的概率。（2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件B的概率?！敬鹨删幪枺?0010303針對該題提問】解：基本事件總數(shù)（個）（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步：第一步，取一個偶數(shù)放在個位碼位置，取法有3種；第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有種方法。根據(jù)乘法原則，事件A包含的基本事件數(shù)（2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行；第一步，取一個奇數(shù)放在個位碼位置，有4種方法。第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個放在十位碼和百位碼，方法有種。根據(jù)乘法原則，事件B包含的基本事件數(shù)例10，袋中有9個球，分別標(biāo)有號碼1，2，3，4，5，6，7，8，9從中任取3個球，求（1）所取3個球的最小號碼為4的事件A的概率；【答疑編號：10010304針對該題提問】（2）所取3個球的最大號碼為4的事件B的概率；【答疑編號：10010305針對該題提問】解：基本事件總數(shù)（個）（1）最小號碼為4的取法分兩步進(jìn)行第一步，取出4號球，方法只有1種第二步，在5，6，7，8，9這5個球中任取2個，方法數(shù)為A包含的基本事件（2）最大碼為4的取法為：第一步，取出4號球方法只有1種第二步，在1，2，3號球中任取2個，方法數(shù)為B包含的基本事件例11，將兩封信投入4個信箱中，求兩封信在同一信箱的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010306針對該題提問】解：（1）先將第一封信投入信箱，有4種方法再將第二封信投入信箱，也有4種方法根據(jù)乘法原則共有44種方法基本事件總數(shù)n=44（2）將兩封信同時投入一個信箱，方法有4種A包含的基本事件數(shù)r=4例12，袋中有10個球，其中有6個白球，4個紅球，從中任取3個，求：（1）所取的三個球都是白球的事件A的概率【答疑編號：10010307針對該題提問】（2）所取三個球中恰有2個白球一個紅球的事件B的概率【答疑編號：10010308針對該題提問】（3）所取3個球中最多有一個白球的事件C的概率【答疑編號：10010309針對該題提問】（4）所取3個球顏色相同的事件D的概率【答疑編號：10010310針對該題提問】解：基本事件總數(shù)（1）A包含的基本事件數(shù)（2）B包含的基本事件數(shù)（3）C的基本事件包含兩類：第一類，一個白球，二個紅球的取法有第二類，0個白球，三個紅球取法有種事件C包含的基本事件數(shù)（4）事件D包含的基本事件有兩類：第一類，三個球都是白球的取法有種第二類，三個球都是紅球的取法有種事件D包含的基本事件數(shù)（種）（四）概率的加法公式請先看下面引例：擲一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3請求：（1）P（A）；【答疑編號：10010311針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號：10010312針對該題提問】（3）P（A+B）；【答疑編號：10010313針對該題提問】（4）P（AB）【答疑編號：10010314針對該題提問】解：（1） （2）（3） （4） 由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的結(jié)果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式：特別情形： （1）如果A與B互斥，即AB=則P（AB）=0這時（2）因?yàn)锳與有性質(zhì)所以 當(dāng)上面等式中左邊的概率P（A）不易求得，而且A的對立事件的概率則較易計(jì)算時，便可以通過容易計(jì)算的求難計(jì)算的概率P（A）。例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）【答疑編號：10010315針對該題提問】解：因?yàn)镻（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品，從只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率?！敬鹨删幪枺?0010316針對該題提問】解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三類事件，計(jì)算比較復(fù)雜。而對立事件 則表示沒有次品，即都是正品的事件，比較簡單。因?yàn)榛臼录倲?shù)事件 包含的基本事件加法公式可推廣如下：例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。【答疑編號：10010317針對該題提問】解： （五）概率的減法公式 因?yàn)?，而，而BA與明顯不相容。特別地，若，則有AB=A所以當(dāng)例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 【答疑編號：10010318針對該題提問】解：例2，若A與B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求【答疑編號：10010319針對該題提問】解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根據(jù)對偶公式所以 1.3條件概率（一）條件概率和乘法公式 符號叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，叫條件概率，需要指出的是條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。 例1，某廠有200名職工，男、女各占一半，男職工中有10人是優(yōu)秀職工，女職工中有20人是優(yōu)秀職工，從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀，B表示所選職工是男職工。求（1）P（A）；【答疑編號：10010401針對該題提問】（2）P（B）；【答疑編號：10010402針對該題提問】（3）P（AB）；【答疑編號：10010403針對該題提問】（4）；【答疑編號：10010404針對該題提問】解：（1）（2）（3）AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工 （4）表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時n=100,r=10 由本例可以看出事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即 由本例還可看出,事件AB與事件也不相同，事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工，這時基本事件總數(shù)n1=200，r=10。而事件 則表示已知所選職工是男職工，所以基本事件總數(shù)n2=100，r=10，所以雖然P（AB）與不相同，但它們有關(guān)系，由本例可以看出本例的結(jié)果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式：顯然有：若P（A）0則有將上面的結(jié)果改寫為整式有 公式叫概率的乘法公式。 例2，在10件產(chǎn)品中，有7件正品，3件次品，從中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；【答疑編號：10010405針對該題提問】（2）；【答疑編號：10010406針對該題提問】（3）P（AB）【答疑編號：10010407針對該題提問】解（1）（2）（3） = 例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求【答疑編號：10010408針對該題提問】解： 例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，求?！敬鹨删幪枺?0010409針對該題提問】解：（1）（2）例5，某人壽命為70歲的概率為0.8，壽命為80歲的概率為0.7，若該人現(xiàn)已70歲時，問他能活到80歲的概率是多少？【答疑編號：10010410針對該題提問】解：用A表示某人壽命為70歲，B表示某人壽命為80歲。已知P（A）=0.8，P（B）=0.7由于因?yàn)樗裕呀?jīng)活到70歲的人能活到80歲的概率為0.875乘法公式可以推廣為：例6，袋中有三件正品，二件次品（）從中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。【答疑編號：10010411針對該題提問】解：用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品則用古典概型計(jì)算P（A1），這時n1=5，r1=3再用古典概型計(jì)算，這時n2=4，r2=2再用古典概型計(jì)算，這時n3=3，r3=2（二）全概公式 定義：若事件組滿足條件（1）互不相容（2）在一次試驗(yàn)中，事件組中至少發(fā)生一個，即 就說事件組是樣本空間的一個劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)，A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)，A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)，A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組A1，A2，A3滿足：（1）（2）所以事件組A1，A2，A3是樣本空間的一個劃分。下面介紹全概公式 設(shè)是樣本空間的一個劃分，B是一個事件，則有：【答疑編號：10010412針對該題提問】證： 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改寫為特別地（1）若是的一個劃分，則有（2）是的一個劃分，所以全概公式的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)P（B）不易求而且條件概率容易計(jì)算時，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5個球，其中有3個紅球，2個白球，從中每次取出一個球（不放回）用A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，求（1）P（A）；【答疑編號：10010413針對該題提問】（2）P（B）【答疑編號：10010414針對該題提問】解：（1）用古典概型n=5,r=3（2）直接求P（B）很困難，因?yàn)锽發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關(guān)，用古典概型容易求得：所以可用全概公式計(jì)算可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。當(dāng)在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少？【答疑編號：10010415針對該題提問】解：用B表示該人是色盲者，A表示該人是男人.直接求P（B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關(guān)，但已知例3，甲乙兩臺車床加工同一產(chǎn)品，甲車床的次品率為0.03，乙車床的次品率為0.02，又知甲車床的產(chǎn)量是乙車床產(chǎn)量的兩倍，現(xiàn)將兩臺車床的產(chǎn)品放在一起，從中任取一件，求該產(chǎn)品是次品的概率?！敬鹨删幪枺?0010416針對該題提問】解：用B表示該產(chǎn)品是次品，A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn)已知 例4，二門導(dǎo)彈射擊敵機(jī)，敵機(jī)未被擊中的概率為0.25，被擊中一彈的概率為0.5,被擊中二彈的概率為0.25，若敵機(jī)中一彈時被擊落的概率為0.7，敵機(jī)中二彈時，被擊落的概率為0.9。求敵機(jī)被擊落的概率。【答疑編號：10010417針對該題提問】解：用AK表示敵機(jī)的被擊中K彈，K=0,1,2；B表示敵機(jī)被擊落已知顯然有其中A0,A1,A2是的一個劃分（三）逆概公式（貝葉斯公式）由 可得公式叫逆概公式（貝葉斯公式）當(dāng)P（A）,P（B），已知時，可反過來求。例5，某地七月份下暴雨的概率為0.7，當(dāng)下暴雨時，有水量的概率為0.2；當(dāng)不下暴雨時，有水量的概率為0.05，求：（1）該地七月份有水災(zāi)的概率.【答疑編號：10010501針對該題提問】（2）當(dāng)該地七月份已發(fā)生水災(zāi)時，下暴雨的概率.【答疑編號：10010502針對該題提問】解：用B表示該地七月有水災(zāi)；A表示該地七月下暴雨已知（1）（2）例6，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50%，次品率為0.01，乙廠產(chǎn)量占30%，次品率為0.02，丙廠產(chǎn)量占20%，次品率為0.05，求：（1）該產(chǎn)品的次品率【答疑編號：10010503針對該題提問】（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率?！敬鹨删幪枺?0010504針對該題提問】解：用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品；（1）（2）可見，若該產(chǎn)品是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。例7，甲袋中有3個白球，2個紅球，乙袋中有2個白球，3個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求：（1）從乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑編號：10010505針對該題提問】（2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？【答疑編號：10010506針對該題提問】解：用B表示從乙袋中取出白球；A表示從甲袋中取出白球，所以表示從甲袋中取出紅球。已知 （1）（2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。例8，已知，求（1）P（AB）；【答疑編號：10010507針對該題提問】（2）【答疑編號：10010508針對該題提問】解：（1）（2）例9，若；求（1）P（B）；【答疑編號：10010509針對該題提問】（2）P（A+B）【答疑編號：10010510針對該題提問】解：（1）（2）（3） 例10，已知；求【答疑編號：10010511針對該題提問】解：（1）（2）（3） 1.4事件的獨(dú)立性（一）事件的獨(dú)立性（1）定義：若P（AB）=P（A）P（B），就說事件A與事件B相互獨(dú)立。（2）A與B獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)一，若A與B獨(dú)立，則 而若A與B獨(dú)立，則證：A與B獨(dú)立，P（AB）=P（A）P（B）（1）當(dāng)P（A）0時，（2）當(dāng)P（B）0時，性質(zhì)一說明A與B相互獨(dú)立時，A發(fā)生與否，對B發(fā)生的概率沒有影響，而且，B發(fā)生與否也對A發(fā)生的概率沒有影響。 性質(zhì)二，若A與B獨(dú)立，則有（1）與獨(dú)立（2）與B獨(dú)立（3）A與獨(dú)立 證：用獨(dú)立性定義：（1）A與B獨(dú)立，P（AB）=P（A）P（B）由對偶公式與獨(dú)立（2） 與B相互獨(dú)立（3）A與相互獨(dú)立由A與B獨(dú)立這一定義可推廣有下