一元一次方程等量關(guān)系.docx

一元一次方程等量關(guān)系方法一：根據(jù)常見(jiàn)的公式尋找等量關(guān)系1、 工作問(wèn)題和工程問(wèn)題（1） 單人工作：工作總量工作效率工作時(shí)間（2） 多人合作：甲的工作總量+乙的工作總量+。工作總量【例】某工作甲單獨(dú)做4天完成，乙單獨(dú)做8天完成?，F(xiàn)甲先做1天，然后和乙共同完成余下工作。問(wèn)甲一共做了幾天？甲單獨(dú)一天可以完成總量的1/4，乙單獨(dú)一天完成1/8;甲干1天后剩余：1-1*1/4=3/4設(shè)甲乙共同完成余下的需要X天則X*(1/4+1/8)=3/4解得X=2天所以甲一共干了：1+2=3天【例】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要120天完成，如果甲隊(duì)先做10天，乙隊(duì)再做5天，就可以完成這項(xiàng)工程的，乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要多少天？解：設(shè)乙隊(duì)的工作效率為X，得：5X+10/120=5/24解得X=1/40答：乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要40天2、 行程問(wèn)題 路程速度時(shí)間（特別注意：兩地的距離不變）（1）追擊問(wèn)題： 同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離追者走的路程前者走的時(shí)間追者走的路程同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程追者走的路程前者走的時(shí)間追者走的時(shí)間+等待時(shí)間【例】甲乙兩地路程為180千米,一人騎自行車(chē)從甲地出發(fā)每小時(shí)走15千米,另一人騎摩托車(chē)從乙地出發(fā)。已知，摩托車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，若兩人同向而行，騎自行車(chē)在先且出發(fā)2小時(shí)，問(wèn)摩托車(chē)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間追上自行車(chē)？解：設(shè)摩托車(chē)經(jīng)過(guò)時(shí)間x追上自行車(chē)自行車(chē)行駛的路程：S自=15*（x+2）摩托車(chē)行駛的路程：S摩=15*3x由于S自=S摩+180，代入數(shù)據(jù)，得x=7答：摩托車(chē)7小時(shí)追上【例】甲乙兩人都以不變的速度在400米環(huán)形跑道上跑步，兩人在同一地方同時(shí)出發(fā)同向而行，甲的速度為100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后兩人首次相遇？第二次相遇呢？首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：100*3/2=150m/min設(shè)第一次相遇經(jīng)過(guò)時(shí)間為X150X-100X=400X=8設(shè)第二次相遇經(jīng)過(guò)時(shí)間為Y150Y-100Y=400*2Y=16（2）相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程兩地間的距離【例】甲乙兩站之間相距360千米，上午9點(diǎn)1刻，一輛慢車(chē)和一輛快車(chē)分別分別從兩站相向開(kāi)往對(duì)方車(chē)站，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇，已知快車(chē)速度是慢車(chē)的1.5倍，問(wèn)兩車(chē)在什么時(shí)刻相距90千米？設(shè)慢車(chē)速度為V，則快車(chē)速度為1.5V，相約90千米所用時(shí)間為t列方程1。vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢車(chē)速度V=120km/h列方程2。vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t為兩車(chē)運(yùn)行時(shí)間） 求得時(shí)間t=5/6小時(shí)【例】上午8時(shí)，甲乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，上午9時(shí)，兩人相距54km，兩人繼續(xù)前進(jìn)，到上午11時(shí)，兩人又相距54km，已知甲每小時(shí)比乙多走3km，求A、B兩地的距離。分析如下：兩地距離不變，據(jù)此可列等式。9時(shí)的時(shí)候，甲走的距離加乙走得距離加54就等于兩地的距離11時(shí)的時(shí)候，根據(jù)題意，甲乙已經(jīng)相遇了一次，兩人走得距離相加比兩地距離還多了一個(gè)54.解：設(shè)乙速度Xkm/小時(shí)，則甲速度（X+3）km/小時(shí).根據(jù)題意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54解得X=25.5所以?xún)傻鼐嚯x為X+(X+3)+54=108km（3）航行問(wèn)題：順風(fēng)（水）速度靜風(fēng)（水）中的速度+風(fēng)（水）速度逆風(fēng)（水）速度靜風(fēng)（水）中的速度-風(fēng)（水）速度引申：在靜風(fēng)（水）中的速度12（順風(fēng)（水）速度+逆風(fēng)（水）速度）風(fēng)（水）中的速度12（順風(fēng)（水）速度-逆風(fēng)（水）速度）【例】3、利潤(rùn)問(wèn)題銷(xiāo)售毛利率=（銷(xiāo)售收入-營(yíng)業(yè)成本）/銷(xiāo)售收入*100%（1）商品利潤(rùn)商品售價(jià)商品成本價(jià)（進(jìn)價(jià)） 商品的成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）商品利潤(rùn)率（2）商品利潤(rùn)率商品利潤(rùn)/商品成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）100%（3）商品銷(xiāo)售額商品銷(xiāo)售價(jià)商品銷(xiāo)售量（4）商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售價(jià)成本價(jià)）銷(xiāo)售量（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售【例】某商品的進(jìn)價(jià)是250元，標(biāo)價(jià)為320元，商店要求保持利潤(rùn)率15.2%的售價(jià)打折出售，則可以打幾折出售此商品？設(shè)打折x銷(xiāo)售，則320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288320x=0.9【例】一種商品的買(mǎi)入單價(jià)為1500元，如果出售一件商品獲得的毛利潤(rùn)是賣(mài)出單價(jià)的15，那么這種商品出售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（精確到1元）這種商品出售單價(jià)應(yīng)定為x元,0.15x=x-1500x=1764.711765【例】某商場(chǎng)計(jì)劃投入一筆資金采購(gòu)一批緊俏商品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果月初出售,可獲利15%,并可用本和利再投資其他商品,到月末又可獲利10%;如果月末出售可獲利30%,但要付出倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用700元.請(qǐng)問(wèn)根據(jù)商場(chǎng)的資金狀況,如何購(gòu)銷(xiāo)獲利最多？設(shè)商場(chǎng)的資金為x元 月初出售，獲利為：x*（1+15%）（1+10%）-x=0265x 月末出售，獲利為：x*03-700=03x-700 令0265x=03x-700 解得 x=20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金為20000元時(shí)，月初出售和月末出售獲利一樣多 令0265x03x-700 解得 x20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金少于20000元時(shí)，月初出售獲利多 令0265x03x-700 解得 x20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金多于20000元時(shí)，月末出售獲利多【例】某商店有一套運(yùn)動(dòng)服，按標(biāo)價(jià)的8折出售仍可獲利20元，已知這套運(yùn)動(dòng)服的成本價(jià)為100元，問(wèn)這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是多少元？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：銷(xiāo)售問(wèn)題分析：設(shè)這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是x元此題中的等量關(guān)系：按標(biāo)價(jià)的8折出售仍可獲利20元，即標(biāo)價(jià)的8折-成本價(jià)=20元解答：解：設(shè)這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是x元根據(jù)題意得：0.8x-100=20，解得：x=150答：這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)為150元點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解【例】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為400元，銷(xiāo)售價(jià)為510元，本季度銷(xiāo)售了m件，為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，該企業(yè)決定在降低銷(xiāo)售價(jià)的同時(shí)降低成本，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，預(yù)測(cè)下季度這種產(chǎn)品每件銷(xiāo)售價(jià)降低4%，銷(xiāo)售將提高10%，要使銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)-成本價(jià)）保持不變，該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低多少元？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：應(yīng)用題；經(jīng)濟(jì)問(wèn)題分析：此題文字?jǐn)⑹隽看?，要審清題目，找到等量關(guān)系：銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)-成本價(jià)）保持不變，設(shè)該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低x元，則每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為510（1-4%）元，銷(xiāo)售了（1+10%）m件，新銷(xiāo)售利潤(rùn)為510（1-4%）-（400-x）（1+10%）m元，原銷(xiāo)售利潤(rùn)為（510-400）m元，列方程即可解得解答：解：設(shè)該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低x元，則根據(jù)題意得510（1-4%）-（400-x）m（1+10%）=m（510-400），解這個(gè)方程得x=10.4答：該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低10.4元4、利息問(wèn)題利息本金利率期數(shù)本息和本金+利息稅后利息利息-利息利息稅率【例】小華將勤工儉學(xué)掙得的100元錢(qián)按一年定期存入銀行，到期后取出50元來(lái)購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的年利率又下調(diào)到原來(lái)的一半，這樣到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率（不計(jì)利息稅）考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：應(yīng)用題；增長(zhǎng)率問(wèn)題分析：要求存款的年利率先設(shè)出未知數(shù)，再通過(guò)等量關(guān)系就是兩年的本金加上利息減去夠買(mǎi)學(xué)習(xí)用品的錢(qián)等于最后的本息之和解答：解：設(shè)第一次存款的年利率為x，則第二次存款的年利率為 x2，第一次的本息和為（100+100x）元由題意，得（100+100x-50） x2+50+100x=63，解得x=0.1或x= -135（舍去）答：第一次存款的年利率為10%點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵要理解題的大意，特別是第二次到期的本息為50+100x，很多同學(xué)都會(huì)忽略100x，根據(jù)題目給出的條件【例】某小店老板從面包廠購(gòu)進(jìn)面包的價(jià)格是每個(gè)0.6元，按每個(gè)面包1.0元的價(jià)格出售，賣(mài)不完的以每個(gè)0.2元于當(dāng)天返還廠家，在一個(gè)月（30天）里，小店有20天平均每天賣(mài)出面包80個(gè)，其余10天平均每天賣(mài)出面包50個(gè)，這樣小店老板獲純利600元，如果小店老板每天從面包廠購(gòu)進(jìn)相同數(shù)量的面包，求這個(gè)數(shù)量是多少？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：經(jīng)濟(jì)問(wèn)題分析：由題意得，他進(jìn)的包子數(shù)量應(yīng)在50-80之間；等量關(guān)系為：（20進(jìn)貨量+1050）每個(gè)的利潤(rùn)-（進(jìn)貨量-50）10每個(gè)賠的錢(qián)=600；據(jù)此列出方程解可得答案解答：解：設(shè)這個(gè)數(shù)量是x個(gè)由題意得：（20x+500）（1-0.6）-（x-50）10（0.6-0.2）=600，解得：x=50故這個(gè)數(shù)量是50個(gè)方法二：抓住數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)找等量關(guān)系1、和差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系常用“一共有”、“比多”、“比少”、“是的幾倍”等術(shù)語(yǔ)表示，增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率 現(xiàn)在量原有量增長(zhǎng)量。在解題時(shí)可抓住這些術(shù)語(yǔ)去找等量關(guān)系，按敘述順序來(lái)列方程?！纠?009年北京市生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水的3倍還多0.6億立方米，問(wèn)生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水各多少億立方米？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：應(yīng)用題分析：等量關(guān)系為：居民家庭用水=生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水的3倍+0.6解答：解：設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水x億立方米，則居民家庭用水（5.8-x）億立方米依題意，得5.8-x=3x+0.6，解得：x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5答：生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系本題也可根據(jù)“生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米”來(lái)列等量關(guān)系【例】小剛在商場(chǎng)發(fā)現(xiàn)他喜歡的隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，并且隨身聽(tīng)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元求小剛喜歡的隨身聽(tīng)和書(shū)包的單價(jià)考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：應(yīng)用題；經(jīng)濟(jì)問(wèn)題分析：本題的關(guān)鍵語(yǔ)“隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，并且隨身聽(tīng)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元”，即隨身聽(tīng)的單價(jià)=書(shū)包單價(jià)4-8依此等量關(guān)系列方程求解解答：解：設(shè)隨身聽(tīng)單價(jià)為x元，則書(shū)包的單價(jià)為（452-x）元，列方程得：x=4（452-x）-8，解得：x=360當(dāng)x=360時(shí)，452-x=92【例】有一火車(chē)以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng)解：設(shè)第一鐵橋的長(zhǎng)為x米，那么第二鐵橋的長(zhǎng)為（2x-50）米，過(guò)完第一鐵橋所需的時(shí)間為 分 過(guò)完第二鐵橋所需的時(shí)間為 分 依題意，可列出方程 + = 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一鐵橋長(zhǎng)100米，第二鐵橋長(zhǎng)150米【例】一千零一夜中有這樣一個(gè)段文字：有一群鴿子，其中有一部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食，樹(shù)上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿子群的三分之一；若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子一樣多”。你知道樹(shù)上樹(shù)下各有多少鴿子嗎？解：設(shè)樹(shù)上有x只，樹(shù)下有y只. y-1/x+y=1/3 x-1/y+1=1 解得x=7;y=5即樹(shù)上有7只，樹(shù)下有5只。【例】2008年北京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)運(yùn)動(dòng)員獲得金、銀、銅牌共100枚，金牌數(shù)位列世界第一其中金牌比銀牌與銅牌之和多2枚，銀牌比銅牌少7枚問(wèn)金、銀、銅牌各多少枚？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用分析：可設(shè)銀牌數(shù)為x枚，則銅牌為（x+7）枚金牌數(shù)為x+（x+7）+2，根據(jù)獲得金、銀、銅牌共100枚列出方程求解即可解答：解：設(shè)銀牌數(shù)為x枚，則銅牌為（x+7）枚金牌數(shù)為x+（x+7）+2，（1分）依題意得x+（x+7）+x+（x+7）+2=100（3分）解得x=21，（5分）所以x+7=21+7=28；21+28+2=51答：金、銀、銅牌分別為51枚、21枚、28枚（6分）點(diǎn)評(píng)：考查一元一次方程的應(yīng)用；得到各個(gè)獎(jiǎng)牌數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)2、數(shù)字問(wèn)題一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為X，十位及百位、千位等數(shù)字用各位數(shù)字表示。100百位數(shù)字+10十位數(shù)字+各位數(shù)字表是這個(gè)數(shù)，然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程。【例】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原來(lái)兩位數(shù)大36，求原兩位數(shù)。解：設(shè)原十位數(shù)為X，個(gè)位數(shù)為2X，原兩位數(shù)為（10X+2X）。(2X*10+X)-（10X+2X）=36(20X+X)-（10X+2X）=3621X-12X=369X=36X=4原兩位數(shù)=10X+2X=104+24=48答：原來(lái)的兩位數(shù)是48。3、得分問(wèn)題對(duì)的得分+錯(cuò)的得分總分勝的得分+平的得分+負(fù)的得分總分例: 我?！按褐暋睆V播室小記者譚艷同學(xué)為了及時(shí)報(bào)道學(xué)校參加全市中學(xué)生籃球比賽情況，她從領(lǐng)隊(duì)韋老師那里了解到校隊(duì)共參加了16場(chǎng)比賽，積分28分按規(guī)定贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分可是小譚忘記了輸贏各多少場(chǎng)了，請(qǐng)你根據(jù)上面提供的信息分別求出輸、贏各多少場(chǎng)？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：應(yīng)用題；比賽問(wèn)題分析：球隊(duì)贏球后得分加上輸球得分應(yīng)該等于總得分，即可列方程解應(yīng)用題解答：解：設(shè)球隊(duì)贏了x場(chǎng)，則輸了（16-x）場(chǎng)，由題可得：2x+（16-x）1=28解得：x=12，答：球隊(duì)贏了12場(chǎng)，輸了4場(chǎng)4、分段問(wèn)題第一段+第二段+第三段. 總額注意段界，進(jìn)行驗(yàn)證【例】從甲地到乙地的路有一段平路與一段上坡路如果騎自行車(chē)保持平路每小時(shí)行15km，上坡路每小時(shí)行10km，下坡路每小時(shí)行18km，那么從甲地到乙地需29min，從乙地到甲地需25min從甲地到乙地的路程是多少？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專(zhuān)題：行程問(wèn)題分析：本題首先依據(jù)題意得出等量關(guān)系即甲地到乙地的路程是不變的，進(jìn)而列出方程為10（ 2960-x）=18（ 2560-x），從而解出方程并作答解答：解：設(shè)平路所用時(shí)間為x小時(shí)，29分= 2960小時(shí)，25分= 2560，則依據(jù)題意得：10（ 2960-x）=18（ 2560-x），解得：x= 13，則甲地到乙地的路程是15 13+10（ 2960-13）=6.5km，【例】某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi) （1）某戶(hù)八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a（2）若該用戶(hù)九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費(fèi)是多少元？解：（1）由題意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得a=60 （2）設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，則 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得x=90 所以0.3690=32.40（元） 答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元方法三：從變化的關(guān)系中尋找不變的量，并利用不變的量來(lái)尋找相等關(guān)系1、年齡問(wèn)題大小兩個(gè)年齡差不會(huì)變 年齡增長(zhǎng)一歲一年【例】兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x 由題意，得2（9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18 x=-3 答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍 （點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒(méi)有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）【例】王老師對(duì)小強(qiáng)說(shuō)：“我像你這么大的時(shí)候你才2歲，到你長(zhǎng)到我這般年齡時(shí)，我已經(jīng)44歲了?！?求王老師和小明的現(xiàn)在年齡。設(shè)，王老師的年齡為：X歲。則，小強(qiáng)的年齡為：X-（44-X）歲。根據(jù)王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系相等可得：我像你這么大時(shí)，你才2歲；有王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系： X-（44-X）-2 當(dāng)你像我這么大時(shí)，我就44歲啦。有王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系：44-X 44-X=X-（44-X）-2 X=30， 小強(qiáng)的年齡為：X-（44-X）歲=16.2、分法問(wèn)題第一種分法的總量第二種分法的總量【例】例某校組織師生春游，若單獨(dú)租45座客車(chē)若干輛，則剛好坐滿(mǎn)；若單獨(dú)租60座客車(chē)，則可少租1輛，且余30個(gè)空位。（1）求該校參加春游的人數(shù)；（2）該校決定這次春游同時(shí)租用這兩種車(chē)，其中