多變量卡諾圖及其在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用.doc

多變量卡諾圖及其在邏輯函數(shù)中的應(yīng)用摘要：卡諾圖是在數(shù)字電路中十分有用的工具，本文介紹了多變量卡諾圖在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：卡諾圖、邏輯函數(shù)、化簡Multi-variable Karnaugh Map and the Application of it in Logic FunctionAbstract：Karnaugh map is very useful in the study of digital design, in this article; we have introduce the application of multi-variable Karnaugh map in simplification of logic functions.Key words：Karnaugh map, simplification, logic function.卡諾圖（Karnaugh map）是由美國科學(xué)家卡諾首先提出的。在數(shù)字電子技術(shù)中，卡諾圖是邏輯函數(shù)真值表的一種圖形表示，即用圖形表示輸入變量與函數(shù)之間的邏輯關(guān)系。就n個(gè)變量的卡諾圖來說，它是由 個(gè)小方格組成，每一小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。在卡諾圖中，幾何位置相鄰（這里的幾何位置相鄰包括邊緣、四角）的小方格在邏輯上也是相鄰的，卡諾圖用幾何位置上的相鄰, 形象地表示了組成邏輯函數(shù)的各個(gè)最小項(xiàng)之間在邏輯上的相鄰性。在數(shù)字電路原理與實(shí)踐課程中，我們常常將卡諾圖作為化簡邏輯函數(shù)的工具。利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或圖形化簡法?；啎r(shí)依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，以此消去不同的因子。由于在卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，因而我們能夠從卡諾圖上直觀地找出那些具有相鄰性的最小項(xiàng)并將其合并、化簡。利用卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)則如下：如果兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰，那么二者可以合并成為一項(xiàng)并消去一對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。如果四個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰并且排列成一個(gè)矩形組，那么它們可以合并成為一項(xiàng)并且消去兩對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。如果八個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰并且排列成一個(gè)矩形組，那么它們可以合并為一項(xiàng)并且消去三對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。事實(shí)上，我們可以總結(jié)出，在卡諾圖中，可以圈起個(gè)“1”單元的矩形集，矩形的定義包括圖的邊緣。相應(yīng)乘積項(xiàng)的變量可以直接從卡諾圖中確定，每個(gè)變量可確定如下：如果圈只覆蓋圖中變量為0的區(qū)域，那么變量在乘積項(xiàng)中求反；如果圈只覆蓋圖中變量為1的區(qū)域，那么變量在乘積項(xiàng)中不求反；如果圈同時(shí)覆蓋圖中變量為1、0的區(qū)域，那么變量不在乘積項(xiàng)中出現(xiàn)。每次的圈中必須有新的“1”或“0”。單獨(dú)存在的“1”或“0”也必須圈起來。如果圈“0”，那么變量求反原則反之。需要注意的是，在卡諾圖中，邏輯相鄰并不僅僅包括位置相鄰。下面我們給出較為常用的三變量、四變量卡諾圖，方格中的數(shù)字相鄰表示其幾何上也是相鄰的（本文中作主要討論的多變量卡諾圖可由三、四變量卡諾圖進(jìn)行拓展得到）：三變量卡諾圖ABC000111100026411375四變量卡諾圖ABCD00011110000412801151391137151110261410下面用例題來討論卡諾圖和邏輯函數(shù)的互相轉(zhuǎn)換，為多變量卡諾圖的化簡作基礎(chǔ)：例1：用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 解：首先將Y化為最小項(xiàng)之和的形式 畫出四變量最小項(xiàng)的卡諾圖，在對應(yīng)于函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如圖所示的Y的卡諾圖。ABCD00011110000101011001110011100101例2：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下，試寫出該函數(shù)的邏輯式。ABC000111100011110011解：因?yàn)楹瘮?shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和，圈出所有的1,所以有用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)直觀、簡捷方便、易于掌握，但傳統(tǒng)的卡諾圖化簡方法, 只適用于四變量及其四變量以下邏輯函數(shù)的化簡。五變量及五變量以上邏輯函數(shù)的卡諾圖不再是平面圖而是三維立體圖形, 所以用卡諾圖來化簡在操作性、可行性上就存在著一定的困難。因此，當(dāng)我們需要對五變量及五變量以上的邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡時(shí), 我們可以采用一定的方法對多變量邏輯函數(shù)卡諾圖進(jìn)行變形，使之適合傳統(tǒng)的卡諾圖化簡方法。通過對多變量邏輯函數(shù)卡諾圖的改進(jìn)和拓展, 結(jié)合我們非常熟悉的四變量卡諾圖化簡方法，最終實(shí)現(xiàn)用卡諾圖來化簡五變量及五變量以上的邏輯函數(shù)。下面以一個(gè)例題來講解：例3：設(shè)有函數(shù) , 則其卡諾圖如下所示：WXYZ0001111000011110000000110001011000111101100011V=0 V=11000000000那么依據(jù)四變量卡諾圖的化簡規(guī)則，當(dāng)V=0時(shí)，有，當(dāng)V=1時(shí)，有，那么，則有。由此，五變量邏輯函數(shù)得到化簡。上述例子中，我們首先選中五個(gè)變量中的一個(gè)變量，由于該變量一定只有兩種取值0或1，所以我們可以將這兩種情況分裂為兩個(gè)四變量的卡諾圖。由此，我們已經(jīng)對原來的五變量卡諾圖進(jìn)行了降維，使之成為四變量卡諾圖，然后我們再按照一般方法對卡諾圖進(jìn)行圈1、化簡。由此可見, 如果我們對于一個(gè) n變量的邏輯函數(shù), 分離出一個(gè)變量作為引入變量填入到 n-1 個(gè)變量的卡諾圖中, 就會(huì)使卡諾圖的格數(shù)減少二分之一。那么，利用此方法就可用四變量的卡諾圖表示五變量及以上的邏輯函數(shù)的邏輯關(guān)系, 從而使五變量及以上的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡過程得以簡化。因此，多變量卡諾圖在邏輯函數(shù)化簡中應(yīng)用的核心思想就是降維。結(jié)語：事實(shí)上，我們還可以利用多變量卡諾圖對邏輯函數(shù)進(jìn)行各種與或非運(yùn)算，或者簡化數(shù)字電路設(shè)計(jì)中的分析