2019年高考數學復習函數導數及其應用第11節(jié)第3課時導數與函數的綜合問題學案理北師大版.docx

第3課時導數與函數的綜合問題(對應學生用書第40頁)利用導數研究不等式的有關問題角度1證明不等式(2017全國卷)已知函數f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調性；(2)當a0，故f(x)在(0，)上單調遞增若a0；當x時，f(x)0.故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)證明：由(1)知，當a0；當x(1，)時，g(x)0時，g(x)0.從而當a0時，ln10，即f(x)2.角度2解決不等式恒(能)成立問題(2018廣州綜合測試(二)已知函數f(x)axb在點(e，f(e)處的切線方程為yax2e.(1)求實數b的值；(2)若存在xe，e2，滿足f(x)e，求實數a的取值范圍. 【導學號：79140086】解(1)函數f(x)的定義域為(0,1)(1，)因為f(x)axb，所以f(x)a.所以函數f(x)在點(e，f(e)處的切線方程為y(eaeb)a(xe)，即yaxeb.已知函數f(x)在點(e，f(e)處的切線方程為yax2e，比較可得be.所以實數b的值為e.(2)f(x)e，即axee，所以問題轉化為a在e，e2上有解令h(x)(xe，e2)，則h(x).令p(x)ln x2，所以當xe，e2時，有p(x)0.所以函數p(x)在區(qū)間e，e2上單調遞減所以p(x)p(e)ln e20.所以h(x)0，即h(x)在區(qū)間e，e2上單調遞減所以h(x)h(e2).所以實數a的取值范圍為.規(guī)律方法1.利用導數證明含“x”不等式方法，證明：f(x)g(x).法一：移項，f(x)g(x)0，構造函數F(x)f(x)g(x)，轉化證明F(x)min0，利用導數研究F(x)單調性，用上定義域的端點值.法二：轉化證明：f(x)ming(x)max.法三：先對所求證不等式進行變形，分組或整合，再用法一或法二.2.利用導數解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍.(2)也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應求f(x)的最大值.應特別關注等號是否成立問題.跟蹤訓練(2018東北三省三校二聯(lián))已知函數f(x)sin x.(1)當x0時，證明：f(x)1；(2)若當x時，f(x)ax恒成立，求實數a的取值范圍解(1)證明：設g(x)f(x)cos x(x0)，則g(x)sin xx(x0)令M(x)g(x)(x0)，則M(x)1cos x0，g(x)在(0，)上單調遞增g(x)g(0)0.g(x)在(0，)上單調遞增g(x)g(0)0.f(x)1成立(2)當x時，f(x)axsin xtan xax.設h(x)sin xtan xax，則h(x)cos xa.令tcos x，由0x，得0t1.設k(t)t(0t1)，則k(t)10.k(t)在(0,1)上單調遞減k(t)k(1)2.當a2時，h(x)0，h(x)在上單調遞增h(x)h(0)0，即原不等式成立當a2時，關于t的方程ta在(0,1)僅有一根，設根為t0，設cos mt0,0m，則存在唯一m，使得cos mt0.當x(0，m)時，t0cos x1h(x)0，h(x)在(0，m)上單調遞減h(x)h(0)0，這與條件矛盾，a2時不成立綜上所述，a2，即實數a的取值范圍為(，2利用導數研究函數零點、方程的根、極值個數問題(2016北京高考節(jié)選)設函數f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設ab4，若函數f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因為f(0)c，f(0)b，所以曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當ab4時，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，當c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調性知，當且僅當c時，函數f(x)x34x24xc有三個不同零點規(guī)律方法利用導數研究方程根的方法(1)研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等.(2)根據題目要求，畫出函數圖像的走勢規(guī)律，標明函數極(最)值的位置.(3)可以通過數形結合的思想去分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現.跟蹤訓練設函數f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點. 【導學號：79140087】解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(負值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，)，單調遞增區(qū)間是(，)f(x)在x處取得極小值f()無極大值(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke，當ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上單調遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點當ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上單調遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點利用導數研究生活中的優(yōu)化問題某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因為x5時，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x4時，函數f(x)取得極大值，也是最大值，所以，當x4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大規(guī)律方法利用導數解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)設自變量、因變量，建立函數關系式y(tǒng)f(x)，并確定其定義域.(2)求函數的導數f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數在區(qū)間端點和f(x)0的點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實際問題作答.(5)注意f(x)在開區(qū)間(