七章第六節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開及應用.doc

7.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開及應用一 教學目的與要求、 熟練掌握初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開、 理解用冪級數(shù)的逼近及誤差估計二重點與難點初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開三 教學過程由于冪級數(shù)的特殊形式，如果函數(shù)能表為冪級數(shù)的形式，無論是理論上還是應用中都是很有意義的。本節(jié)將討論函數(shù)能展為冪級數(shù)的條件、稀疏的確定、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開及有關應用舉例。7.6.1 函數(shù)的冪級數(shù)展開回顧第三章討論過的泰勒公式：若函數(shù)在點的某鄰域內有階導數(shù)，則可表示為（6.1）其中 介于與之間如果在點的某鄰域內是無窮次連續(xù)可微的，自然會想到，是否可展為如下的冪級數(shù)（6.2）人們稱冪級數(shù)（6.2）是函數(shù)在點出的泰勒級數(shù)。特別，當時，稱冪級數(shù)為的馬克勞林級數(shù)。自然，人們希望級數(shù)（6.2）在附近收斂，并且收斂域。此時，我們稱函數(shù)能（或可）展成冪級數(shù)（6.2）。從式（6.1），這實際上取決于。于是我們有下面的結果。定理6.1 設函數(shù)在點某鄰域內具有任意階導數(shù)，則它的泰勒級數(shù)（6.2）在內收斂于得充分必要條件是：。在上述定理的條件不成立的范圍內，函數(shù)的泰勒級數(shù)（6.2）即使收斂，也不收斂到，例如 由于（見上冊，第68頁，第9題），所以，函數(shù)的馬克勞林級數(shù)（6.3）的各項系數(shù)均為零，顯然它在整個數(shù)軸上一致收斂到零。但除外，均不收斂到。這是因為，除原點外，都不以零為極限。 定理6.2 （冪級數(shù)展開式的惟一性）若函數(shù)在的某鄰域內可展為冪級數(shù) （6.4）則其系數(shù)這里規(guī)定。證明 由于冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可逐項積分，于是 即 7.6.2 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開現(xiàn)在我們來展開一些常見的函數(shù)。例6.1 將函數(shù)展為的冪級數(shù)。解 因為泰勒公式的余項介于與之間，它滿足不等式對任一確定的，式（6.5）的余項以零為極限，所以，在上恒有又，故。于是例6.2 求和的展式。解 由的泰勒公式知，它的泰勒級數(shù)為 其收斂半徑為對收斂區(qū)間內的任一點，有從而得到展開式 （6.7）對式（6.7）兩端求導，由展開的惟一性，得 （6.8）例6.3有上節(jié)5.4(1)及函數(shù)展開為冪級數(shù)的惟 （6.9）其中。例6.4 將函數(shù)展為的冪級數(shù)，其中為任意實數(shù)。 解 如果是非負數(shù)，則根本是一多項式。因此，我們只考慮不是非負整數(shù)的情形。此時，在為階導數(shù)為 因此，其泰勒級數(shù)為其收斂半徑為 所以的泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間是。在處，對不同的，斂散性不同。 為了避免討論余項的極限，設在內它的和函數(shù)為，即設下面證明。由逐項積分兩邊同乘以后，右邊方括號內的系數(shù)為于是，有微分方程滿足條件。由分離變量法，得 故有展開式 （6.10）其中。 式（6.10）稱為牛頓二項展開式，當為正正數(shù)時，式（6.10）便是代數(shù)中的二項公式。當時，依次有展開式 （6.11） （6.12） 例6.5 求的馬克勞林展開式解 由于 令，則逐項積分，得 7.6.3 冪級數(shù)的應用舉例 有了函數(shù)的冪級數(shù)展開式，就可以方便地解決函數(shù)的多項式逼近和函數(shù)的緝私計算問題。同時，因冪級數(shù)可以表達一些非初等函數(shù)，使一些積分和微分方程問題得到完滿的解決。下面通過一些例子來說明。例6.6 計算的值，精確到小數(shù)點后第四位（即誤差）。解 因為 所以，當時，有 若取前項近似計算，其截斷誤差要使，只需取。于是 例6.7 計算的近似值，精確到。解 我們知道，函數(shù)的原函數(shù)盡管存在，但不是初等函數(shù)。有了函數(shù)的冪級數(shù)的展開理論，我們可以把原函數(shù)表示成級數(shù)形式。 因為 所以 其中，由于，所以是通常的定積分（不是廣義積分） 令上限，得這是一個交錯級數(shù)，若取前三項作為近似值，其截斷誤差 故 例6.8 求初值問題解 設所求的解為 由初始條件知，所以將其代入方程，得恒等式比較兩邊的同次冪的稀疏，得于是所求之解為 下面的例子是利用冪級數(shù)求數(shù)值級數(shù)的和。例6.9 求數(shù)值級數(shù)的和。解 這個數(shù)值級數(shù)是冪級數(shù)在時對應的級數(shù)。顯然，這個冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。先求此冪級數(shù)的和函數(shù)。因為從而有 最后討論對數(shù)的近似計算。式（6.9）給出了函數(shù)的馬克老林展開，但應用式（6.9）計算自然對數(shù)的近似值有兩個缺點：一是的變換范圍太小；二是收斂速度太慢，因此他沒有使用價值。為此，在式（6.9）的基礎上構造一個新的級數(shù)，既擴大的變化范圍，又提高收斂速度。具體做法如下。 在式（6.9）中，以替代，有 （6.13）將式（6.9）與式（6.13）的等號兩端分別相減，有或 （6.14）令 ，有 將代入式（6.9）中，有 或 （6.15）由級數(shù)（6.15）可知：一方面，應用遞推方法，能求出任意自然數(shù)的自然對數(shù)；另一方面，提高了級數(shù)收斂的速度，即取很少項的部分和就能達到