高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)坐標(biāo)系和參數(shù)方程第2節(jié)參數(shù)方程學(xué)案理新人教B版.docx

第2節(jié)參數(shù)方程最新考綱1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.知 識 梳 理1.曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).2.參數(shù)方程與普通方程的互化通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使用x，y的取值范圍保持一致.3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(ab0)(為參數(shù))溫馨提醒直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).()(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量.()(3)方程(為參數(shù))表示以點(0，1)為圓心，以2為半徑的圓.()(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t，點O為原點，則直線OM的斜率為.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材習(xí)題改編)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_.解析消去t，得xy1，即xy10.答案xy103.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos sin )2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標(biāo)為_.解析由(cos sin )2，得xy2.又(t為參數(shù))消去t，得y28x.聯(lián)立，得即交點坐標(biāo)為(2，4).答案(2，4)4.直線yb(x4)與圓(為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_.解析圓的普通方程為(x2)2y23，圓心A(2，0)，半徑r.直線yb(x4)與圓相切，則b23，b.因此tan ，切線的傾斜角為或.答案或5.(2017江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值.解由(t為參數(shù))消去t.得l的普通方程為x2y80，因為點P在曲線C上，設(shè)點P(2s2，2s).則點P到直線l的距離d，當(dāng)s時，d有最小值.考點一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.即實數(shù)a的取值范圍是2，2.規(guī)律方法1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù).2.把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形.【訓(xùn)練1】 (2016江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長.解橢圓C的普通方程為x21.將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x21，得1，即7t216t0，解之得t10，t2.所以|AB|t1t2|.所以線段AB的長為.考點二參數(shù)方程及應(yīng)用【例21】 (2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a1，求C與l的交點坐標(biāo)；(2)若C上的點到l距離的最大值為，求a.解(1)a1時，直線l的普通方程為x4y30.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21，聯(lián)立方程解得或則C與l交點坐標(biāo)是(3，0)和.(2)直線l的普通方程是x4y4a0.設(shè)曲線C上點P(3cos ，sin ).則P到l距離d，其中tan .又點C到直線l距離的最大值為.|5sin()4a|的最大值為17.若a0，則54a17，a8.若a0).(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程；(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和.解(1)由得故曲線M的參數(shù)方程為.(2)由4cos ，得24cos ，x2y24x.將代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直線OA與直線OB的斜率之和為4.3.已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.4.(2018黃山二模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，過點P(1，0)的直線l交曲線C于A，B兩點.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求|PA|PB|的取值范圍.解(1)由得2(1sin2)2.故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.(2)由題意知，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將代入y21.化簡得(cos22sin2)t22tcos 10.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2.則|PA|PB|t1t2|.由于1，|PA|PB|的取值范圍為.5.(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|，求l的斜率.解(1)由xcos ，ysin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為212cos 110.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R).設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率為或.能力提升題組(建議用時：30分鐘)6.(2018湖南長郡中學(xué)聯(lián)考)已知曲線C1： (t為參數(shù))，C2：(為參數(shù)).(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值.解(1)由C1消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為(x4)2(y3)21.同理曲線C2的普通方程為1.C1表示圓心是(4，3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.(2)當(dāng)t時，P(4，4)，又Q(8cos ，3sin )，故M，又C3的普通方程為x2y70，則M到直線C3的距離d|4cos 3sin 13|3sin 4cos 13|5(sin )13|，所以d的最小值為.7.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos 6sin 0，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，點P的坐標(biāo)為(3，3)，求|PA|PB|的值.解(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos 6sin 0，可得22cos 6sin 10，可得x2y22x6y10，曲線C的普通方程：x2y22x6y10.(2)由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).把它代入圓的方程整理得t22t50，t1t22，t1t25，則|PA|t1|，|PB|t2|，|PA|PB|t1|t2|t1t2|2.|PA|PB|的值為2.8.(2018哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin4.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若射線與曲線C交于O，A兩點，與直