高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章第一節(jié) 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件 理.ppt

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 1 分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有n 種不同的方法 2 分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 那么完成這件事共有n 種不同的方法 m n m n 1 區(qū)分 分類 和 分步 的依據(jù)是什么 提示 能否獨(dú)立完成這件事是區(qū)分 分類 還是 分步 的依據(jù) 2 在解題過程中如何判定是用分類加法計(jì)數(shù)原理還是用分步乘法計(jì)數(shù)原理 提示 如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事 應(yīng)該用分類加法計(jì)數(shù)原理 如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分 就用分步乘法計(jì)數(shù)原理 1 教材改編題 在所有的兩位數(shù)中 個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有 a 50個(gè)b 45個(gè)c 36個(gè)d 35個(gè) 解析 根據(jù)題意 十位數(shù)上的數(shù)字分別是1 2 3 4 5 6 7 8的情況分成8類 在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個(gè) 7個(gè) 6個(gè) 5個(gè) 4個(gè) 3個(gè) 2個(gè) 1個(gè) 由分類加法計(jì)數(shù)原理知 符合題意的兩位數(shù)共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 個(gè) 答案 c 2 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組 每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組 則不同的報(bào)名方法有 a 10種b 20種c 25種d 32種 解析 分5步完成 每一步有兩種不同的方法 故不同的報(bào)名方法有25 32 種 答案 d 3 書架上原來并排著5本不同的書 現(xiàn)要再插入3本不同的書 那么不同的插法共有 a 336種b 120種c 24種d 18種 解析 分三步完成 第一步插入第1本書 有6種插法 第二步 插入第2本書有7種方法 第三步插入第3本書 有8種方法 所以不同的插法有6 7 8 336 種 答案 a 4 直線方程ax by 0 若從1 2 3 6 7 8這六個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為a b的值 則表示不同直線的條數(shù)是 解析 先不考慮重合的直線 共有6 5 30條直線 其中當(dāng)a 1 b 2和a 3 b 6 a 2 b 1和a 6 b 3 a 1 b 3和a 2 b 6 a 3 b 1和a 6 b 2時(shí) 兩直線重合 故不重合的直線有30 4 26 條 答案 26 2012 揭陽調(diào)研 在某種信息傳輸過程中 用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列 數(shù)字允許重復(fù) 表示一個(gè)信息 不同排列表示不同信息 若所用數(shù)字只有0和1 則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為 a 10b 11c 12d 15 思路點(diǎn)撥 分三類 有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同 有1個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同或有0個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同 分類加法計(jì)數(shù)原理 答案 b 1 分類時(shí) 首先根據(jù)問題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn) 然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類 應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類 并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法 2 分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在 重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素 關(guān)鍵位置 如本例以有幾個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同為標(biāo)準(zhǔn)分類 在1到20這20個(gè)整數(shù)中 任取兩個(gè)相減 差大于10 共有幾種取法 解 由題意知 被減數(shù)可以是12 13 14 15 16 17 18 19 20共9種情況 當(dāng)被減數(shù)依次取12 13 20時(shí) 減數(shù)分別有1 2 3 9種情況 由分類加法計(jì)數(shù)原理知 共有9 8 7 1 45種不同的取法 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的點(diǎn) a b m 問 1 p可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn) 2 p可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn) 3 p可表示多少個(gè)不在直線y x上的點(diǎn) 思路點(diǎn)撥 確定點(diǎn)p 這件事需要依次確定橫 縱坐標(biāo) 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解 分步乘法計(jì)數(shù)原理 嘗試解答 1 確定平面上的點(diǎn)p a b 可分兩步完成 第一步確定a的值 共有6種確定方法 第二步確定b的值 也有6種確定方法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 得到平面上的點(diǎn)共有6 6 36個(gè) 2 確定第二象限的點(diǎn) 可分兩步完成 第一步確定a 由于a 0 所以有3種確定方法 第二步確定b 由于b 0 所以有2種確定方法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理 得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3 2 6 3 點(diǎn)p a b 在直線y x上的充要條件是a b 因此a和b必須在集合m中取同一元素 共有6種取法 即在直線y x上的點(diǎn)有6個(gè) 結(jié)合 1 得不在直線y x上的點(diǎn)共有36 6 30 個(gè) 1 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步 即分步是有先后順序的 并且也要確定分步的標(biāo)準(zhǔn) 分步必須滿足 完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的 只有各個(gè)步驟都完成了 才算完成這件事 2 分步必須滿足兩個(gè)條件 1 步驟互相獨(dú)立 互不干擾 2 步與步確保連續(xù) 已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b c m 則 1 y ax2 bx c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù) 2 y ax2 bx c可以表示多少個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù) 解 1 a的取值有5種情況 b的取值有6種情況 c的取值有6種情況 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180個(gè)不同的二次函數(shù) 2 y ax2 bx c的開口向上時(shí) a的取值有2種情況 b c的取值均有6種情況 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù) 如圖10 1 1所示 用四種不同顏色給圖中的a b c d e f六個(gè)點(diǎn)涂色 要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色 且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色 則不同的涂色方法共有 a 288種b 264種c 240種d 168種 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 思路點(diǎn)撥 解答本題應(yīng)注意兩點(diǎn) 1 每一個(gè)點(diǎn)都有可以和它同色的兩個(gè)點(diǎn) 2 涂色的順序不同影響解題的難度 可先涂a d e 再分類涂b f c 嘗試解答 分兩類 第一類 涂三種顏色 先涂點(diǎn)a d e有a種方法 再涂點(diǎn)b c f有2種方法 故有a 2 48 種 方法 第二類 涂四種顏色 先涂點(diǎn)a d e有a種方法 再涂點(diǎn)b c f有3c種方法 故共有a 3c 216 種 方法 由分類加法計(jì)數(shù)原理 共有48 216 264 種 不同的涂法 答案 b 1 給b c f涂色時(shí) 在每一類下又有兩種情況 應(yīng)切實(shí)掌握好分類的標(biāo)準(zhǔn) 分清哪些可以同色 哪些不同色 2 用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí) 關(guān)鍵是明確需要分類還是分步 1 分類要做到 不重不漏 分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù) 最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和 得到總數(shù) 2 分步要做到 步驟完整 只有完成了所有步驟 才完成任務(wù) 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 把完成每一步的方法數(shù)相乘 得到總數(shù) 用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色 如圖10 1 2中 要求在a b c d四個(gè)區(qū)域中相鄰 有公共邊的 區(qū)域不用同一種顏色 1 若n 6 為 著色時(shí)共有多少種不同的方法 2 若為 著色時(shí)共有120種不同的方法 求n 解 1 分四步 第1步涂a有6種方法 第2步涂b有5種方法 第3步涂c有4種方法 第4步涂d有4種方法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 共有6 5 4 4 480種方法 2 由題意 得n n 1 n 2 n 3 120 注意到n n 可得n 5 從近兩年的高考試題來看 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是考查的熱點(diǎn) 題型為客觀題 屬中檔題 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理較少單獨(dú)考查 一般與排列 組合的知識(shí)結(jié)合命題 預(yù)測2013年高考 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理仍是考查的重點(diǎn) 同時(shí)應(yīng)特別重視分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 它體現(xiàn)了分類討論的思想 2011 北京高考 用數(shù)字2 3組成四位數(shù) 且數(shù)字2 3至少都出現(xiàn)一次 這樣的四位數(shù)共有 個(gè) 用數(shù)字作答 解析 法一數(shù)字2 3至少都出現(xiàn)一次 包括以下情況 2 出現(xiàn)1次 3 出現(xiàn)3次 共可組成c 4 個(gè) 四位數(shù) 2 出現(xiàn)2次 3 出現(xiàn)2次 共可組成c 6 個(gè) 四位數(shù) 2 出現(xiàn)3次 3 出現(xiàn)1次 共可組成c 4 個(gè) 四位數(shù) 綜上所述 共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù) 思想方法之十六用 正難則反 的思想解決計(jì)數(shù)問題 法二因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)數(shù)位上都有兩種可能性 其中四個(gè)數(shù)字全是2或3的情況不合題意 所以適合題意的四位數(shù)有24 2 14 個(gè) 答案 14 易錯(cuò)提示 1 不能選擇合理的分類標(biāo)準(zhǔn) 造成重復(fù)或遺漏 2 2 3至少都出現(xiàn)一次 理解出現(xiàn)偏差 導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤 防范措施 1 在處理具體問題時(shí) 首先弄清楚 分類 還是 分步 其次要清楚 分類 或 分步 的標(biāo)準(zhǔn)是什么 避免計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏 2 如果正面