高中數(shù)學(xué) 1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)課件 新人教A版選修23.ppt

1 3 2 楊輝三角 與二項式系數(shù)的性質(zhì) 1 了解楊輝三角 并能由它解決簡單的二項式系數(shù)問題 2 了解二項式系數(shù)的性質(zhì)并能簡單應(yīng)用 3 掌握 賦值法 并會靈活應(yīng)用 本節(jié)重點(diǎn)是二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用本節(jié)難點(diǎn)是楊輝三角的特點(diǎn) 1 楊輝三角的特點(diǎn) 1 在同一行中 每行兩端都是1 與這兩個1等距離的項的系數(shù) 2 在相鄰的兩行中 除1以外的每一個數(shù)都等于它 肩上 兩個數(shù)的 即 相等 和 2 二項式系數(shù)的性質(zhì) 增大 減小 在 a b n展開式中 與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等 即 當(dāng)k 時 二項式系數(shù)是逐漸 的 當(dāng)k 時 二項式系數(shù)是逐漸 的 當(dāng)n為偶數(shù)時 中間的一項 取得最大 當(dāng)n為奇數(shù)時 中間的兩項 相等 且同時取得最大值 1 觀察楊輝三角 歸納猜想出第幾行的各個數(shù)字都是奇數(shù) 提示 從表中可看出第一行 第二行 第四行 第八行 都是奇數(shù) 歸納得出第2n 1行 n 1 2 3 都是奇數(shù) 2 1 x 10的展開式中二項式系數(shù)之和為 解析 a b n展開式的二項式系數(shù)之和為2n 只與n有關(guān) 故二項式系數(shù)之和為210 答案 210 3 1 x 10的展開式中各項系數(shù)之和為 解析 令x 1即可得到各項系數(shù)之和為0 答案 0 1 關(guān)于 楊輝三角 的規(guī)律拓展 1 楊輝三角的第2n 1行各個數(shù)都是奇數(shù) 2 如圖 1 第n條橫線與第n 1條橫線數(shù)字之和等于第n 2條橫線上數(shù)字之和 3 如圖 2 每一斜行任取n個數(shù)字之和都等于第n個數(shù)字右下 腳 的數(shù)字 2 對二項式系數(shù)性質(zhì)的深層理解 1 對稱性 源于組合數(shù)的性質(zhì) 基礎(chǔ)是 然后從左右向中間靠攏 便有 2 最大值 當(dāng)n是偶數(shù)時 a b n的展開式共n 1項 n 1是奇數(shù) 這時展開式的形式是中間一項是第 1項 它的二項式系數(shù)是 它是所有二項式系數(shù)中的最大值 當(dāng)n是奇數(shù)時 a b n的展開式共有n 1項 n 1是偶數(shù) 這時展開式的形式是中間兩項是第項 它們的二項式系數(shù)是 這兩個系數(shù)相等 并且是所有二項式系數(shù)中的最大值 楊輝三角的有關(guān)問題 技法點(diǎn)撥 楊輝三角問題解決的一般方法觀察 分析 實驗 猜想 結(jié)論 證明 要得到楊輝三角中蘊(yùn)含的諸多規(guī)律 取決于我們的觀察能力 觀察能力有 橫看 豎看 斜看 連續(xù)看 隔行看 從多角度觀察 如表所示 表達(dá) 規(guī)律 觀察 結(jié)論 對數(shù)據(jù)要橫看 豎看 斜看 連續(xù)看 隔行看 多角度觀察 通過觀察找出每一行的數(shù)之間 行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律 將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá) 由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論 典例訓(xùn)練 1 如圖所示 滿足 第n行首尾兩數(shù)均為n 表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角 則第n行 n 2 的第2個數(shù)是 2 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1 偶數(shù)換成0 得到如圖所示的0 1三角數(shù)表 從上往下數(shù) 第1次全行的數(shù)都為1的是第1行 第2次全行的數(shù)都為1的是第3行 第n次全行的數(shù)都為1的是第 行 第61行中1的個數(shù)是 解析 1 由圖中數(shù)字規(guī)律可知 第n行的第2個數(shù)是 1 2 3 n 1 1 答案 2 觀察可得第1行 第3行 第7行 第15行 全行都為1 故第n次全行的數(shù)都為1的是第2n 1行 n 6 26 1 63 故第63行共有64個1 逆推知第62行共有32個1 第61行共有32個1 答案 2n 132 變式訓(xùn)練 如圖所示 在楊輝三角中 斜線ab上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列 1 2 3 3 6 4 10 記這個數(shù)列的前n項和為sn 求s19 解析 由題干圖知 數(shù)列中的首項是 第2項是 第3項是 第4項是 第17項是 第18項是 第19項是 s19 有關(guān)二項式及系數(shù)和的問題 技法點(diǎn)撥 1 解決二項式系數(shù)和問題思維流程 求二項式系數(shù)的和 切入點(diǎn) 思考點(diǎn) 思維流程 對式子中的x賦值 目的是將二項式的系數(shù)分離出來 怎么對x賦值 展開式的常數(shù)項和最高次項系數(shù)如何求出 如何得到所求值的代數(shù)關(guān)系 對x賦值 變形 結(jié)論 2 賦值法 1 賦值法 是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法 注意取值要有利于問題的解決 可以取一個值或幾個值 也可以取幾組值 解決問題時要避免漏項等情況 2 一般地 二項展開式f x 的各項系數(shù)和為f 1 奇次項系數(shù)和為 f 1 f 1 偶次項系數(shù)和為 f 1 f 1 典例訓(xùn)練 展開式中不含x4項的系數(shù)的和為 a 1 b 0 c 1 d 22 在的展開式中 所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為1024 則中間項系數(shù)是 3 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 解析 1 選b 令 a0 a1x a8x4 令x 1 得a0 a1 a8 含x4項的系數(shù)為 所以不含x4的項的系數(shù)和為1 1 0 2 二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為2n 而所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等 故由題意知2n 1 1024 n 11 展開式共12項 中間項為第六項 第七項 其系數(shù)為答案 462 3 1 令x 0 則a0 1 令x 1 則a7 a6 a1 a0 27 128 a1 a2 a7 129 2 令x 1 則 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 4 7 由 得a1 a3 a5 a7 128 4 7 8256 3 由 得a0 a2 a4 a6 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 128 4 7 8128 互動探究 題1的條件不變 求不含常數(shù)項的系數(shù)和為多少 解題指南 先求出常數(shù)項 再結(jié)合所有系數(shù)和求解 解析 常數(shù)項為28 256 所以不含常數(shù)項的系數(shù)和為1 256 255 思考 解決題1 2的關(guān)鍵點(diǎn)及解決題3的方法是什么 提示 1 解決題1 2的關(guān)鍵是采用賦值法逆向求解 2 形如題3常見的方法是賦值法 變式訓(xùn)練 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a7 解析 1 當(dāng)x 1時 1 2x 7 1 2 7 1 展開式右邊為a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 1 當(dāng)x 0時 a0 1 a1 a2 a7 1 1 2 2 令x 1 a0 a1 a2 a7 1 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 得 2 a1 a3 a5 a7 1 37 a1 a3 a5 a7 3 由展開式知 a1 a3 a5 a7均為負(fù) a0 a2 a4 a6均為正 由 2 中 得 2 a0 a2 a4 a6 1 37 a0 a2 a4 a6 a0 a1 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 37 利用二項式系數(shù)的性質(zhì)解相關(guān)問題 技法點(diǎn)撥 二項式系數(shù)的最大項與展開式中系數(shù)的最大項的求法 1 求二項式系數(shù)的最大項 可根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì) 當(dāng)n為奇數(shù)時 中間兩項的二項式系數(shù)最大 當(dāng)n為偶數(shù)時 中間一項的二項式系數(shù)最大 2 求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的 需要根據(jù)各項系數(shù)的正 負(fù)變化情況 一般采用列不等式組 解不等式組求范圍的方法求得 典例訓(xùn)練 1 x 2y 7展開式中系數(shù)最大的項為 2 在 x y 11的展開式中 解答下列問題 1 通項tr 1 2 二項式系數(shù)最大的項 3 項的系數(shù)絕對值最大的項 4 項的系數(shù)最大的項 5 項的系數(shù)最小的項 6 二項式系數(shù)的和 7 各項系數(shù)的和 解析 1 展開式中共有8項 系數(shù)最大項必為正項 即在第一 三 五 七這四項中取得 又因 x 2y 7括號內(nèi)兩項中后項系數(shù)絕對值大于前項系數(shù)的絕對值 故系數(shù)最大項必在中間或偏右 故只需要比較t5和t7兩項系數(shù)大小即可 系數(shù)最大的項是第五項 2 1 2 二項式系數(shù)最大的項為中間兩項 3 項的系數(shù)絕對值最大的項也是中間兩項 4 因為中間兩項系數(shù)的絕對值相等 一正一負(fù) 第7項為正 故項的系數(shù)最大的項為 5 項的系數(shù)最小的項為 6 二項式系數(shù)的和為 7 各項系數(shù)和為 1 1 11 0 互動探究 若將題1改為 x 2y 7 如何求解 解題指南 求展開式中的二項式系數(shù)最大的項 首先要分清n的奇偶 才能把握最大項是一項還是兩項 一般是列出不等式組 假設(shè)第r 1項系數(shù)最大 則第r 1項的系數(shù)就大于等于它前面所有項的系數(shù) 同時又大于等于它后面所有項的系數(shù)即可 解析 設(shè)r 1項系數(shù)最大 則有即又 0 r 7 r 5 系數(shù)最大的項為 想一想 解決題2的關(guān)鍵點(diǎn)和注意事項是什么 提示 1 讀清題意是解決題2的關(guān)鍵 注意 系數(shù)絕對值最大 二項式系數(shù)最大 系數(shù)最大 系數(shù)最小 等幾個關(guān)鍵詞 靈活選取方法 2 借助前問解題 如 4 5 兩問 只需將 3 問進(jìn)行簡單分析即可 在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)加以重視 變式訓(xùn)練 2012 梅州高二檢測 1 在的二項展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為512 求展開式的所有有理項 指數(shù)為整數(shù) 2 求 1 x 3 1 x 4 1 x n展開式中x2項的系數(shù) 解析 1 n 1 9 n 10 z r 0 6 所以有理項為 2 x2項的系數(shù)為 易錯誤區(qū) 審題疏忽導(dǎo)致計算錯誤 典例 已知 2x 1 n二項展開式中 奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38 則的值為 a 28 b 28 1 c 27 d 27 1 解題指導(dǎo) 解析 選b 設(shè) 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 且奇次項的系數(shù)和為a 偶次項的系數(shù)和為b 則a a1 a3 a5 b a0 a2 a4 a6 由已知可知 b a 38 令x 1 得 a0 a1 a2 a3 an 1 n 3 n 即 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 3 n 即 b a 3 n 3 n 38 3 8 n 8 由二項式系數(shù)性質(zhì)可得 閱卷人點(diǎn)撥 通過閱卷后分析 對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結(jié)如下 即時訓(xùn)練 2012 武威高二檢測 若展開式的各項系數(shù)之和為32 其展開式中的常數(shù)項為 用數(shù)字作答 解析 令x 1得展開式的各項系數(shù)之和為2n 由題意知2n 32 故n 5 展開式的通項式是令10 5r 0得r 2 因此展開式中的常數(shù)項為答案 10 1 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 則a8 a 180 b 180 c 45 d 45 解析 選a 2 1 x 13展開式中系數(shù)最小的項為 a 第六項 b 第七項 c 第八項 d 第九項 解析 選c 展開式共有14項 中間兩項 第七 八項 的二項式系數(shù)最大 由于二項展開式中二項式系數(shù)和項的系數(shù)滿足 奇數(shù)項相等 偶數(shù)項互為相反數(shù) 所以系數(shù)最小的項為第八項 系數(shù)最大的項為第七項 3 2x 6y 20的各項系數(shù)和為 解析 令x