高考數(shù)學(xué) 第九章 第四節(jié) 統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體課件 文 北師大版.ppt

第四節(jié)統(tǒng)計圖表 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 用樣本估計總體 1 統(tǒng)計圖表的含義 1 頻率分布直方圖頻率分布直方圖由一些小矩形來表示 每個小矩形的寬度為 高為 小矩形的面積恰為相應(yīng)的 圖中所有小矩形的面積之和為 xi 分組的寬度 頻率fi 1 求極差 即一組數(shù)據(jù)中 與 的差 決定 與 將數(shù)據(jù) 列 畫 作頻率分布直方圖的步驟 最大值 最小值 分組的寬度 組數(shù) 分組 頻率分布表 頻率分布直方圖 2 頻率折線圖 定義 在頻率分布直方圖中 按照分組原則 再在 和 各加一個區(qū)間 從所加的左邊區(qū)間的 開始 用線段依次連接各個矩形的 直至右邊所加區(qū)間的 就可以得到一條折線 我們稱之為頻率折線圖 作用 可以用它來估計 情況 左邊 右邊 中點 頂端中點 中點 總體的分布 3 莖葉圖 莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點 莖葉圖上 的損失 所有的 都可以從這個莖葉圖中得到 莖葉圖可以隨時記錄 方便 莖葉圖表示數(shù)據(jù)的缺點當(dāng)數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時 莖葉圖就不那么直觀清晰了 沒有信息 原始數(shù)據(jù) 表示與比較 2 樣本的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最 多 位于中間 位 于中間兩數(shù)的平均數(shù) 2 標(biāo)準(zhǔn)差 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離 一般用s表示 s 方差 標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差 s2 其中xn n n 是 n是 是 樣本 數(shù)據(jù) 樣本容量 樣本平均數(shù) 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 平均數(shù) 眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢 2 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù) 3 一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越大 說明這組數(shù)據(jù)的波動越大 4 一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個 那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論 5 從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容 把數(shù)據(jù)表示成直方圖后 原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了 6 莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?右側(cè)的葉按從小到大的順序?qū)?相同的數(shù)據(jù)可以只記一次 7 莖葉圖只能表示有兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù) 解析 1 正確 平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平 眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率 2 錯誤 平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值 3 正確 由標(biāo)準(zhǔn)差的意義知結(jié)論正確 4 錯誤 中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中一定存在且唯一 5 正確 由頻率分布直方圖的意義知結(jié)論正確 6 錯誤 莖葉圖要求不能丟失數(shù)據(jù) 7 錯誤 莖葉圖也能夠記錄有三個或三個以上的有效數(shù)字的數(shù)據(jù) 只不過此時莖葉的選擇要靈活 答案 1 2 3 4 5 6 7 1 一個容量為32的樣本 已知某組樣本的頻率為0 375 則該組樣本的頻數(shù)為 a 4 b 8 c 12 d 16 解析 選c 頻數(shù) 32 0 375 12 2 甲 乙兩位同學(xué)都參加了由學(xué)校舉辦的籃球比賽 他們都參加了全部的7場比賽 平均得分均為16分 標(biāo)準(zhǔn)差分別為5 09和3 72 則甲 乙兩同學(xué)在這次籃球比賽活動中 發(fā)揮得更穩(wěn)定的是 a 甲 b 乙 c 甲 乙相同 d 不能確定 解析 選b 因為甲 乙兩位同學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為5 09和3 72 5 09 3 72 所以乙同學(xué)發(fā)揮得更穩(wěn)定 3 如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖 已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1 2 3 第2小組的頻數(shù)為10 則抽取的學(xué)生人數(shù)為 a 20 b 30 c 40 d 50 解析 選c 前3組的頻率之和等于1 0 0125 0 0375 5 0 75 第2小組的頻率是設(shè)樣本容量為n 則即n 40 4 若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 a 91 5和91 5 b 91 5和92 c 91和91 5 d 92和92 解析 選a 中位數(shù)為 91 92 91 5 平均數(shù)為 87 89 90 91 92 93 94 96 91 5 5 如圖是某賽季甲 乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖 則甲 乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是 解析 甲比賽得分的中位數(shù)為28 乙比賽得分的中位數(shù)為36 所以甲 乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和為28 36 64 答案 64 考向1統(tǒng)計圖表的應(yīng)用 典例1 1 2012 江西高考 小波一星期的總開支分布圖如圖1所示 一星期的食品開支如圖2所示 則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 a 30 b 10 c 3 d 不能確定 2 從甲 乙兩個品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度 單位 mm 結(jié)果如下 甲品種 271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品種 284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356 由以上數(shù)據(jù)設(shè)計了莖葉圖如圖所示 根據(jù)以上莖葉圖 對甲 乙兩個品種棉花的纖維長度作比較 寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論 3 2012 廣東高考改編 某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示 其中成績分組區(qū)間是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 求圖中 的值 根據(jù)頻率分布直方圖 估計這100名學(xué)生語文成績的平均分 若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù) x 與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù) y 之比如下表所示 求數(shù)學(xué)成績在50 90之外的人數(shù) 思路點撥 1 由圖2求出小波一星期的食品開支 再由圖1求出小波一星期的總開支 進而可求雞蛋開支占總開支的百分比 2 從棉花的纖維長度的分布特點和平均長度兩個方面進行比較 3 本小題根據(jù)每個區(qū)間上的矩形的面積和為1 可建立關(guān)于 的方程 解出 的值 由頻率分布直方圖求平均分 每個區(qū)間的中點值乘以區(qū)間上矩形面積的和 本題關(guān)鍵是先把語文成績在50 60 60 70 70 80 80 90的人數(shù)求出來 即根據(jù)每段的頻率求出每段的頻數(shù) 規(guī)范解答 1 選c 由圖2知 小波一星期的食品開支為300元 其中雞蛋開支為30元 而由圖1食品開支占總開支的30 故小波一星期的總開支為所以小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 2 由莖葉圖可以看出甲棉花纖維的長度比較分散 乙棉花纖維的長度比較集中 大部分集中在312到337之間 還可以看出乙的平均長度應(yīng)大于310 而甲的平均長度要小于310等 通過分析可以得到答案 答案 甲棉花纖維的長度比較分散 乙棉花纖維的長度比較集中 甲棉花纖維的長度的平均值小于乙棉花纖維長度的平均值 答案不唯一 3 由頻率分布直方圖知 0 04 0 03 0 02 2 10 1 0 005 55 0 05 65 0 4 75 0 3 85 0 2 95 0 05 73 所以平均分為73 分別求出語文成績在50 60 60 70 70 80 80 90的人數(shù)依次為0 05 100 5 0 4 100 40 0 3 100 30 0 2 100 20 所以數(shù)學(xué)成績在50 60 60 70 70 80 80 90的人數(shù)依次為 5 20 40 25 所以數(shù)學(xué)成績在50 90之外的人數(shù)有100 5 20 40 25 10 人 拓展提升 各種統(tǒng)計圖表的優(yōu)點與不足 變式訓(xùn)練 1 為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況 抽查了該地區(qū)100名年齡為17 5 18歲的男生的體重 kg 得到頻率分布直方圖如下 根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在56 5 64 5kg的學(xué)生人數(shù)是 a 20 b 30 c 40 d 50 解析 選c 體重在56 5 64 5kg的學(xué)生的累計頻率為2 0 03 2 0 05 2 0 05 2 0 07 0 4 則體重在56 5 64 5kg的學(xué)生人數(shù)為0 4 100 40 2 為了調(diào)查甲 乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度 隨機選取了14天 統(tǒng)計上午8 00 10 00各自的點擊量 得到如圖所示的莖葉圖 求 甲網(wǎng)站點擊量在10 40間的頻率是多少 甲 乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎 請說明理由 解析 甲網(wǎng)站點擊量在10 40間的頻率為 甲網(wǎng)站的點擊量集中在莖葉圖的下方 而乙網(wǎng)站的點擊量集中在莖葉圖的上方 從數(shù)據(jù)的分布情況來看 甲網(wǎng)站更受歡迎 考向2數(shù)字特征的應(yīng)用 典例2 1 2012 陜西高考 從甲 乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機 對其銷售額進行統(tǒng)計 統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 如圖所示 設(shè)甲 乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為中位數(shù)分別為m甲 m乙 則 a m甲 m乙 b m甲 m乙 c m甲 m乙 d m甲 m乙 2 某校為了選派一名學(xué)生參加全市實踐活動技能競賽 a b兩位同學(xué)在校實習(xí)基地現(xiàn)場進行加工直徑為20mm的零件測試 他們各加工10個零件的相關(guān)數(shù)據(jù)依次如圖所示 單位 mm 根據(jù)測試的有關(guān)數(shù)據(jù) 試解答下列問題 考慮平均數(shù)與完全符合要求的個數(shù) 你認(rèn)為誰的成績好些 計算出a b兩人的標(biāo)準(zhǔn)差 考慮平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 說明誰的成績好些 考慮圖中折線走勢及競賽加工零件的個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過10個的實際情況 你認(rèn)為派誰去更合適 簡述理由 思路點撥 1 平均數(shù)的大小可以根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布的集中位置進行判斷 或直接根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的計算公式進行計算 2 由圖可以發(fā)現(xiàn) 符合要求的零件個數(shù)b的多于a 計算出sb 再比較兩人的成績 根據(jù)圖 哪個越來越接近標(biāo)準(zhǔn)直徑 則派哪個去 規(guī)范解答 1 選b 方法一 觀察莖葉圖可知甲組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是 18 22 20 乙組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是 27 31 29 m甲 m乙 方法二 41 43 30 30 38 22 25 27 10 10 14 18 18 5 6 8 42 43 48 31 32 34 34 38 20 22 23 23 27 10 12 18 所以又m甲 20 m乙 29 m甲 m乙 故選b 2 因為兩人的平均數(shù)相同 而符合要求的零件個數(shù)b的多于a 所以b的成績好些 0 0894 又sa 0 1612 所以sa sb 在平均數(shù)相同的情況下 b的波動性小 所以b的成績好些 從折線走勢看 a的成績越來越接近20mm 并趨于穩(wěn)定 所以派a去更合適 互動探究 在本例第 2 題的數(shù)據(jù)圖中 將b同學(xué)的數(shù)據(jù)均上移0 1個單位 其他條件不變 求b同學(xué)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 解析 由題意知b同學(xué)的數(shù)據(jù)為20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 方法一 20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 20 1 方法二 因為各數(shù)據(jù)加上0 1后 平均數(shù)比原來多0 1 而標(biāo)準(zhǔn)差不變 故 20 1 sb 0 0894 拓展提升 樣本數(shù)據(jù)的意義及計算公式的推廣 1 意義 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是重要的數(shù)字特征 是對總體的一種簡明地描述 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)描述其集中趨勢 標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小 2 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差公式的推廣 若數(shù)據(jù)x1 x2 xn的平均數(shù)為那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均數(shù)是m a 若數(shù)據(jù)x1 x2 xn的標(biāo)準(zhǔn)差為s 那么 i 數(shù)據(jù)x1 a x2 a xn a的標(biāo)準(zhǔn)差也為s ii 數(shù)據(jù)ax1 ax2 axn的標(biāo)準(zhǔn)差為as 提醒 標(biāo)準(zhǔn)差的簡化計算公式 s 或?qū)懗蓅 即標(biāo)準(zhǔn)差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方后再開平方的值 變式備選 1 樣本中共有五個個體 其值分別為a 0 1 2 3 若該樣本的平均值為1 則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 解析 選c 樣本的平均值為1 所以解得a 1 所以樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為 2 甲 乙兩人在相同的條件下練習(xí)射擊 每人打5發(fā)子彈 命中的環(huán)數(shù)如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 則兩人的射擊成績較穩(wěn)定的是 解析 甲命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)是8環(huán) 乙命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)是8環(huán) 同理 s甲 s乙 甲的射擊成績比乙的穩(wěn)定 答案 甲 考向3頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用 典例3 某地區(qū)遭遇嚴(yán)重干旱 某鄉(xiāng)計劃向上級申請支援 為上報需水量 鄉(xiāng)長事先抽樣調(diào)查了100戶村民的月均用水量 得到這100戶村民月均用水量的頻率分布表如下表 月均用水量的單位 噸 1 請完成該頻率分布表 并畫出相對應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率折線圖 2 估計樣本的中位數(shù)是多少 3 已知上級將按每戶月均用水量向該鄉(xiāng)調(diào)水 若該鄉(xiāng)共有1200戶 請估計上級支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是多少噸 思路點撥 1 由頻率計算公式和各頻率之和為1求解 2 根據(jù)中位數(shù)前頻率之和為0 5求解 3 先求出樣本中的月用水量平均值 再估計上級支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量 規(guī)范解答 1 頻率分布表與相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率折線圖如下 2 設(shè)中位數(shù)為x 因為月用水量在0 5 4 5內(nèi)的頻率是 0 06 0 12 2 0 36 月用水量在0 5 6 5內(nèi)的頻率是 0 06 0 12 0 20 2 0 76 所以x在4 5 6 5內(nèi) 則 x 4 5 0 2 0 5 0 36 解得x 5 2 故中位數(shù)是5 2 3 該鄉(xiāng)每戶月均用水量估計為 1 5 0 12 3 5 0 24 5 5 0 40 7 5 0 18 9 5 0 06 5 14 又5 14 1200 6168 噸 答 上級支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是6168噸 拓展提升 利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 1 中位數(shù) 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等 由此可以估計中位數(shù)的值 2 平均數(shù) 平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和 3 眾數(shù) 在頻率分布直方圖中 眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標(biāo) 變式訓(xùn)練 為了了解高一學(xué)生的體能情況 某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試 將所得數(shù)據(jù)整理后 畫出頻率分布直方圖 如圖 圖中從左到右各小長方形面積之比為2 4 17 15 9 3 第二小組頻數(shù)為12 1 第二小組的頻率是多少 樣本容量是多少 2 若次數(shù)在110以上 含110次 為達標(biāo) 試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標(biāo)率是多少 3 在這次測試中 學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi) 請說明理由 解析 1 由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小 因此第二小組的頻率為 又因為第二小組頻率 所以樣本容量 2 由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達標(biāo)率約為 3 由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6 12 51 45 27 9 所以前三組的頻數(shù)之和為69 前四組的頻數(shù)之和為114 所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi) 易錯誤區(qū) 概念不清導(dǎo)致錯誤 典例 2012 陜西高考 對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計 得到樣本的莖葉圖 如圖所示 則該樣本的中位數(shù) 眾數(shù) 極差分別是 a 464556 b 464553 c 474546 d 454753 誤區(qū)警示 本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面 1 中位數(shù)計算時中間兩數(shù)找不準(zhǔn) 2 極差與標(biāo)準(zhǔn)差概念混淆導(dǎo)致錯誤 規(guī)范解答 選a 莖葉圖中共有30個數(shù)據(jù) 所以中位數(shù)是第15個和第16個數(shù)字的平均數(shù) 即 45 47 46 排除c d 再計算極差 最小數(shù)據(jù)是12 最大數(shù)據(jù)是68 所以68 12 56 故選a 思考點評 1 極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 它反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度 它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感 標(biāo)準(zhǔn)差 是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離 也表示波動幅度 但它與樣本數(shù)據(jù)的單位一致 2 中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān) 某些數(shù)據(jù)的變動一般對中位數(shù)沒有影響 中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中 也可能不在所給數(shù)據(jù)中 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)較大時 可用中位數(shù)描述其集中趨勢 1 2012 湖北高考改編 容量為20的樣本數(shù)據(jù) 分組后的頻數(shù)如下表 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10 40的頻率為 a 0 35 b 0 45 c 0 55 d 0 65 解析 選b 數(shù)據(jù)落在區(qū)間10 40內(nèi)的頻數(shù)為9 樣本容量為20 所求頻率為 2 2012 安徽高考 甲 乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次 兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示 則 a 甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) b 甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) c 甲的成績的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的成績的標(biāo)準(zhǔn)差 d 甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析 選c 甲的平均數(shù)為 4 5 6 7 8 6 乙的平均數(shù)為 5 3 6 9 6 甲的成績的標(biāo)準(zhǔn)差為乙的成績的標(biāo)準(zhǔn)差為所以甲的成績的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的成績的標(biāo)準(zhǔn)差 3 2012 山東高考 在某次測量中得到的a樣本數(shù)據(jù)如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若b樣本數(shù)據(jù)恰好是a樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù) 則a b兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是 a 眾數(shù) b 平均數(shù) c 中位數(shù) d 標(biāo)準(zhǔn)差 解析 選d b樣本數(shù)據(jù)恰好是a樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù) 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)比原來的都多2 而標(biāo)準(zhǔn)差不變 4 2012 江西高考 樣本 x1 x2 xn 的平均數(shù)為樣本 y1 y2 ym 的平均數(shù)為若樣本 x1 x2 xn y1 y2 ym 的平均數(shù)則n m的大小關(guān)系為 a n m b n m c n m d 不能確定 解析 選a 由已知得x1 x2 xn y1 y2 ym 整理得 5 2013 銅川模擬 為了解某校