學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式的四個(gè)層次.doc

學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式的四個(gè)層次黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)(163311)畢明黎 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,是數(shù)列部分最重要公式之一,學(xué)習(xí)公式并靈活運(yùn)用公式可分如下四個(gè)層次:1.直接套用公式從公式中,我們可以看到公式中出現(xiàn)了五個(gè)量,包括這些量中已知三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了.從基本量的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式、理解公式、掌握公式這是最低層次要求.例1 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,如果它的前n項(xiàng)和,那么( ).(1992年三南高考試題)(A) (B)(C) (D)解法1 由于且知,選(C).解法2 對(duì)照系數(shù)易知此時(shí)由知故選(C).例2 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知與的等比中項(xiàng)為,與的等差中項(xiàng)為1,求等差數(shù)列的通項(xiàng).(1997年全國(guó)高考文科)解 設(shè)的通項(xiàng)為前n項(xiàng)和為由題意知,即化簡(jiǎn)可得解得或由此可知或經(jīng)檢驗(yàn)均適合題意,故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)為或2.逆向活用公式在公式的學(xué)習(xí)中,不僅要從正向認(rèn)識(shí)公式,而且要善于從反向分析弄清公式的本來(lái)面目.重視逆向地認(rèn)識(shí)公式,逆向運(yùn)用公式,無(wú)疑將大大地提高公式的解題功效,體現(xiàn)了思維的靈活性.例3 設(shè)求證:(1985年全國(guó)高考文科)證明 又又且例4 數(shù)列對(duì)于任意自然數(shù)n均滿足,求證: 是等差數(shù)列. (1994年全國(guó)高考文科)證明 欲證為常數(shù),由及可得推出作差可得因此由遞推性可知: 為常數(shù)),所以命題得證.這是九四年文科全國(guó)高考試題,高考中得分率極低,我們不得不承認(rèn)此為公式教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一個(gè)失誤,倘若能重視逆向地認(rèn)識(shí)公式,理解公式,應(yīng)用公式,還“和”為“項(xiàng)”,結(jié)局還能如此慘重嗎?3.橫向聯(lián)系,巧用公式在公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中,還要從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)公式,從函數(shù)及數(shù)列結(jié)合的角度分析透徹理解公式,公式表明是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0,同時(shí)也可以看出點(diǎn)列均在同一條拋物線上,且此拋物線過(guò)原點(diǎn),體現(xiàn)了思維的廣闊性,請(qǐng)?jiān)倏蠢?.解 設(shè),則可得解得或,所以或從而或y例5 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知指出中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由. (1992年全國(guó)高考試題)x1213解 由于表明點(diǎn)列都在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上,再由易知此等差數(shù)列公差d 3.引參策略恰當(dāng)?shù)卦O(shè)立參數(shù),使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,計(jì)算量減少,這是解題中常用技巧.例4 設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)x,不等式恒成立,求a的取值范圍. (1987年全國(guó)高考試題)解:令,則原不等式可轉(zhuǎn)化為.要使原不等式恒成立,必須有或即解之適當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù),另辟蹊徑解題十分巧妙,請(qǐng)?jiān)倏蠢?.解:原方程等價(jià)于設(shè),則當(dāng)時(shí)又當(dāng)時(shí)又綜上所述可知k的范圍為或4.分類討論分類討論是解決含參變量問(wèn)題的重要手段之一,值得注意的是在分類討論中要準(zhǔn)確地確定分類標(biāo)準(zhǔn)逐級(jí)分類討論.例5 已知自然數(shù)n,實(shí)數(shù)a1,解關(guān)于x的不等式(1991年全國(guó)高考試題)解:原不等式等價(jià)于(1)n為奇數(shù)時(shí)即(2)n為偶數(shù)時(shí)即例6 設(shè),比較與的大小,并證明你的結(jié)論. (1988年全國(guó)高考試題)解:當(dāng)t0時(shí),由均值不等式有,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”號(hào),所以t=1時(shí)=時(shí) 若則若則0),的圖象.由圖象知,由求得交點(diǎn)P橫坐標(biāo)為,(舍)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),由知因a1由圖象知.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由知因a1,由圖象知.仿上方法同理可求解例2,這里從略.步驟:把原不等式(方程)等價(jià)變形為作出與圖象,由求交點(diǎn),由圖象及函數(shù)性質(zhì)確定范圍,從而求解.6.分離參數(shù)(主次轉(zhuǎn)化)更換問(wèn)題中的參變量和變量位置,常常得到新穎簡(jiǎn)潔的解法,請(qǐng)?jiān)倏蠢?.解:將原不等式變形為,又對(duì)于任意,因此必須且只須即解之0a1.所求a的取值范圍為0a0時(shí),則k0,故當(dāng)x0時(shí),則k0,故綜上可知.分離參數(shù)一般步驟為:將含參數(shù)t的關(guān)于x的方程或不等式變形為g(t)與 的等式或不等式,根據(jù)方程或不等式的解(x)的范圍確定函數(shù)的取值范圍D,由D以及g(t)與的相等與不等關(guān)系確定為g(t)的取值范圍,從而