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勤研輔導(dǎo)中心學(xué)員資料高考熱點(diǎn)專題系列之一元二次(函數(shù))方程根(零點(diǎn))的分布問題二次方程的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以研究方程的實(shí)根的情況,可從的圖象上進(jìn)行研究一、.若在內(nèi)研究方程的實(shí)根情況只需考察函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào),根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理,由的系數(shù)可判斷出的符號(hào),從而判斷出實(shí)根的情況二、若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來(lái)確定1二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件1)若其中一個(gè)是方程的根,則由韋達(dá)定理可求出另一根2)若不是二次方程的根,二次函數(shù)的圖象有以下幾種可能: (1) (2) (3) (4)由圖象可以看出,在處的值與在處的值符號(hào)總是相反,即;反之,若,的圖象的相對(duì)位置只能是圖中四種情況之一所以得出結(jié)論:若都不是方程的根,記,則有且只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件是 2二次方程兩個(gè)根都屬于的充要條件方程的兩個(gè)實(shí)根都屬于,則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)或相切于點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)或切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于小于,它的圖象有以下幾種情形: (1) (2)(3) (4)可得出結(jié)論:方程的兩個(gè)實(shí)根都屬于區(qū)間的充要條件是:這里 3二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間的兩側(cè)(一根小于,另一根大于)的充要條件是:這里 4二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的右側(cè)的充要條件是:二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的左側(cè)(兩根都小于)的充要條件是:這里三、一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根,有一負(fù)根,其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大,一個(gè)根比零小,或者說(shuō),這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程()的兩個(gè)實(shí)根為,且?!径ɡ?】:,或上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到?!径ɡ?】:,或由二次函數(shù)圖象易知它的正確性?!径ɡ?】【定理4】 ,且;,且。四、一元二次方程的非零分布分布設(shè)一元二次方程()的兩實(shí)根為,且。為常數(shù)。則一元二次方程根的分布(即,相對(duì)于的位置)有以下若干定理。構(gòu)造相應(yīng)二次函數(shù)()【定理1】【定理2】。【定理3】?!径ɡ?】有且僅有(或)【定理5】或此定理可直接由定理4推出?!径ɡ?】或例題選講。1.方程x2+2px+1=0有一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,求p的取值范圍1. 若關(guān)于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩實(shí)根中,一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求實(shí)數(shù)k的取值范圍2. 方程mx2+2(m+1)x+m+3=0僅有一個(gè)負(fù)根,求m的取值范圍3. 若關(guān)于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根,求k的取值范圍5設(shè)關(guān)于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一個(gè)實(shí)根大于-1,另一個(gè)實(shí)根小于-1,則m,n必須滿足什么關(guān)系。 ((m+2)2+(n+2)24) 6關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有兩個(gè)實(shí)根,一根大于1另一個(gè)實(shí)根小于1,求k的取值范圍。 (k0)7實(shí)數(shù)m為何值時(shí)關(guān)于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2滿足0x1x22。 (-2m-1或3m4)8已知方程x2+ (a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 (2a8/3)9關(guān)于x的二次方程2x2+
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