全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽.doc

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題（一）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）2一塊含有角的直角三角形（如圖），它的斜邊AB8cm, 里面空心的各邊與的對(duì)應(yīng)邊平行，且各對(duì)應(yīng)邊的距離都是1cm,那么的周長(zhǎng)是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) (D) 3將長(zhǎng)為15cm的木棒截成長(zhǎng)度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，則不同的截法有( )(A)5種 (B) 6種 (C)7種 (D)8種 4作拋物線A關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是( )(A) (B) (C) (D) 5書(shū)架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊(cè)，在這四冊(cè)教材中隨機(jī)抽取兩冊(cè)，恰好組成一套教材的概率是( )(A) (B) (C) (D) 6如圖，一枚棋子放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)處，現(xiàn)順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)這枚棋子10次，移動(dòng)規(guī)則是：第次依次移動(dòng)個(gè)頂點(diǎn)。如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在頂點(diǎn)B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在頂點(diǎn)D。依這樣的規(guī)則，在這10次移動(dòng)的過(guò)程中，棋子不可能分為兩停到的頂點(diǎn)是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7一元二次方程中，若都是偶數(shù)，C是奇數(shù)，則這個(gè)方程( )(A)有整數(shù)根 (B)沒(méi)有整數(shù)根 (C)沒(méi)有有理數(shù)根 (D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根8如圖所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)形，那么在由個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L形圖案?jìng)€(gè)數(shù)是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空題：(共有6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)9已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm，那么以兩直角邊為直徑的兩圓公共弦的長(zhǎng)為 cm.10將一組數(shù)據(jù)按由小到大(或由大到小)的順序排列，處于最中間位置的數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))，或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)共100個(gè)數(shù)，其中有15個(gè)數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)之間，如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這100個(gè)數(shù)中，那么這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這100個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是 11中，分別是的對(duì)邊，已知，則的值是等于 。12設(shè)直線和直線(是正整數(shù))及軸圍成的三角形面積為，則的值是 。13如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連結(jié)MF，則MF的長(zhǎng)為 。14邊長(zhǎng)為整數(shù)的等腰三角形一腰上的中線將其周長(zhǎng)分為的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是 。 三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分）15(12分)已知都是整數(shù)，且,求的值。16. 做服裝生意的王老板經(jīng)營(yíng)甲、乙兩個(gè)店鋪，每個(gè)店鋪在同一段時(shí)間內(nèi)都能售出A，B兩種款式的服裝合計(jì)30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，甲店鋪獲毛利潤(rùn)分別為30元和40元，乙店鋪獲毛利潤(rùn)分別為27元和36元。某日王老板進(jìn)貨A款式服裝35件，B款式服裝25件。怎樣分配給每個(gè)店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪毛利潤(rùn)不小于950元的前提下，王老板獲取的總毛利潤(rùn)最大？最大的總毛利潤(rùn)是多少？17. 如圖所示，O沿著凸n邊形A1A2A3An-1An的外側(cè)（圓和邊相切）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置。（1）當(dāng)O和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明O自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈；（2）當(dāng)O的周長(zhǎng)是，凸n邊形的周長(zhǎng)是時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)明此時(shí)O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。18. 已知二次函數(shù)。（1）隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P是否都在某條拋物線上？如果是，請(qǐng)求出該拋物線的表達(dá)式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果直線經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P，求此時(shí)m的值。全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題（一）參考答案一、選擇題1答案D解：解方程組，得要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，只需2答案B解：連結(jié)BE，分別過(guò)E，F(xiàn)作AC的平行線 BC于點(diǎn)M和N，則EM=1，BM=，MN= 小三角形的周長(zhǎng)是MN+2MN+MN=6cm3答案C解：能組成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七種4答案：D解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2(x+1)2-1向下平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=2(x-1)2-2，而拋物線y=2(x-1)2-2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線是y=-2(x-1) 2+25答案：A解：四冊(cè)教材任取兩冊(cè)共有6種不同的取法，取出的兩冊(cè)是一套教材的共有4種不同的取法，故所求概率是6答案：A解：經(jīng)實(shí)驗(yàn)或按下 方法可求得頂點(diǎn)C，E和F棋子不可能停到設(shè)頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移動(dòng)了k次后走過(guò)的總格數(shù)是1+2+3+k=，應(yīng)停在第格，這是P是整數(shù)，且使06，分別取k=1，2，3，4，5，6，7時(shí)，=1，3，6，3，1，0，0，發(fā)現(xiàn)第2，4，5格沒(méi)有停棋，若70知y至少為5，即x=126+4=130.所以甲隊(duì)至少有130人. 15.解：右圖給出了一個(gè)符合要求的填法； 共有6種不同填法AEBF CD984137256把填入A,B,C三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為x；D,E,F三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為y；其余三個(gè)圈所填的數(shù)位之和為z.顯然有x+y+z=1+2+9=45 圖中六條邊，每條邊上三個(gè)圈中之?dāng)?shù)的和為18，所以有z+3y+2x=618=108 -,得X+2y=108-45=63 把AB,BC,CA每一邊上三個(gè)圈中的數(shù)的和相加，則可得 2x+y=318=54 聯(lián)立，解得 x=15，y=24，繼而之z=6.在1，2，3，9中三個(gè)數(shù)之和為24的僅為7，8，9，所以在D,E,F三處圈內(nèi)，只能填7，8，9三個(gè)數(shù)，共有6種不同填法.顯然，當(dāng)這三個(gè)圈中指數(shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個(gè)圈內(nèi)指數(shù)也隨之確定，從而的結(jié)論，共有6種不同的填全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（三）參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里。不填、多填或錯(cuò)填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開(kāi)始，每隔4千米經(jīng)過(guò)一個(gè)限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開(kāi)始，每隔9千米經(jīng)過(guò)一個(gè)速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施，那么第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因?yàn)?和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處故選C2已知，且=8，則a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故選C3RtABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，c2）（|c|a|），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊AB上高h(yuǎn)= a2c2=1故選B4一個(gè)正方形紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個(gè)六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過(guò)頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時(shí)，每剪開(kāi)一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360于是，剪過(guò)k次后，可得(k1)個(gè)多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)360因?yàn)檫@(k1)個(gè)多邊形中有34個(gè)六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34(622)180=3460180，其余多邊形有(k1)34= k33(個(gè))，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時(shí)，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個(gè)三角形，得到1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形；再在五邊形上剪下1個(gè)三角形，得到2個(gè)三角形和1個(gè)六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個(gè)三角形和1個(gè)六十二邊形再取33個(gè)三角形，在每個(gè)三角形上剪一刀，又可得到33個(gè)三角形和33個(gè)四邊形，對(duì)這33個(gè)四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個(gè)六十二邊形和3358個(gè)三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故選B（第5題圖）ABCDOQP5如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點(diǎn)Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5題圖）ABCDOQP解：如圖，設(shè)O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=連結(jié)DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故選D二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc的最大值為 答：5013解：由，得 因?yàn)?，a400，所以，12.5x13.5 故x=13，此時(shí)9已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過(guò)x的最大整數(shù))答：6解：因?yàn)?1當(dāng)a1時(shí)， =10分又當(dāng)時(shí)，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡(jiǎn)得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a1且，15分解法二：因?yàn)?，所以，所?又，所以，為一元二次方程 的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故，所以a1當(dāng)a1時(shí)， =10分 另外，當(dāng)時(shí)，由式有 ，即 或 ，解得，或當(dāng)時(shí)，同理可得或所以，a的取值范圍為a1且，15分（第13題）ABCOPEK13如圖，點(diǎn)P為O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B過(guò)點(diǎn)A作PB的平行線，交O于點(diǎn)C連結(jié)PC，交O于點(diǎn)E；連結(jié)AE，并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)K求證：PEAC=CEKB證明：因?yàn)锳CPB，所以KPE=ACE又PA是O的切線，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因?yàn)锳CPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410個(gè)學(xué)生參加n個(gè)課外小組，每一個(gè)小組至多5個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少參加某一個(gè)小組，任意兩個(gè)課外小組，至少可以找到兩個(gè)學(xué)生，他們都不在這兩個(gè)課外小組中求n的最小值解：設(shè)10個(gè)學(xué)生為，n個(gè)課外小組，首先，每個(gè)學(xué)生至少參加兩個(gè)課外小組否則，若有一個(gè)學(xué)生只參加一個(gè)課外小組，設(shè)這個(gè)學(xué)生為，由于每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少在某一個(gè)小組內(nèi)出現(xiàn)過(guò)，所以其它9個(gè)學(xué)生都與他在同一