微分幾何試題庫(kù).doc

微分幾何一、判斷題1 、兩個(gè)向量函數(shù)之和的極限等于極限的和（ ）2、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線(xiàn). （ ）3、若和均在a,b連續(xù)，則他們的和也在該區(qū)間連續(xù)（ ）4、向量函數(shù)具有固定長(zhǎng)的充要條件是對(duì)于t的每一個(gè)值，的微商與平行（ ）5、等距變換一定是保角變換.（ ）6、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線(xiàn)段中，測(cè)地線(xiàn)一定是最短的.（ ）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋線(xiàn)x=cost,y=sint,z=t在點(diǎn)（1，0，0）的切線(xiàn)為X=Y=Z（ ）9、對(duì)于曲線(xiàn)s=上一點(diǎn)（t=t0）,若其微商是零，則這一點(diǎn)為曲線(xiàn)的正常點(diǎn)（ ）10、曲線(xiàn)上的正常點(diǎn)的切向量是存在的（ ）11、曲線(xiàn)的法面垂直于過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)（ ）12、單位切向量的模是1（ ）13、每一個(gè)保角變換一定是等距變換 （ ）14、空間曲線(xiàn)的形狀由曲率與撓率唯一確定.（ ）15、坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量.（ ）二、填空題16、曲面上的一個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)，其中一族是測(cè)地線(xiàn)17、螺旋線(xiàn)x=2cost,y=2sint,z=2t,在點(diǎn)（1，0，0）的法平面是_ y+z=0, .18.設(shè)給出類(lèi)曲線(xiàn):,則其弧長(zhǎng)可表示為19、已知，則， ， ，。20、曲面的在曲線(xiàn)，如果它上面每一點(diǎn)的切點(diǎn)方向都是漸近方向，則稱(chēng)為漸進(jìn)曲線(xiàn)。21、旋轉(zhuǎn)面r=,他的坐標(biāo)網(wǎng)是否為正交的?_是_(填“是”或“不是”).22、過(guò)點(diǎn)平行于法方向的直線(xiàn)叫做曲面在該點(diǎn)的_法線(xiàn)_線(xiàn).23.任何兩個(gè)向量的數(shù)量積24、保持曲面上任意曲線(xiàn)的長(zhǎng)度不便的變稱(chēng)為_(kāi)等距(保長(zhǎng))變換_.25、圓柱螺線(xiàn)的曲率和撓率都是_常數(shù)_數(shù)(填“常數(shù)”或“非常數(shù)”).26.若曲線(xiàn)(c)用自然參數(shù)表示,則曲線(xiàn)(c)在點(diǎn)的密切平面的方程是27.曲線(xiàn)的基本三棱形由三個(gè)基本向量和密切平面、法平面、從切平面28.杜邦指標(biāo)線(xiàn)的方程為29、已知曲面，則它的第一基本形式為 ，第二基本形式為 ，高斯曲率 ，平均曲率 0 ，點(diǎn)處沿方向的法曲率 ，點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率分別為 。30、（Cohn-Voeeen定理）兩個(gè)卵形面之間如果存在一個(gè)保長(zhǎng)映射，則這個(gè)映射一定是R中的合同或?qū)ΨQ(chēng)。31、球面上正規(guī)閉曲線(xiàn)的全撓率等于零。32.一個(gè)曲面為可展曲面的充分必要條件為此曲面為單參數(shù)平面族的包絡(luò)三、綜合題33求曲線(xiàn)在原點(diǎn)的密切平面，法平面，切線(xiàn)方程。解：在原點(diǎn)處 在原點(diǎn)處切平面的方程為:即 法平面的方程為:即 切線(xiàn)方程為即 34、求曲面的漸近曲線(xiàn)。解 設(shè)則， 因漸近曲線(xiàn)的微分方程為即或漸近曲線(xiàn)為或 35.求雙曲拋物面的第一基本形式解: ,36.計(jì)算球面的第二基本形式.解:由此得到 =又由于所以 因而得到37.如果曲面的第一基本形式計(jì)算第二類(lèi)克力斯托費(fèi)爾符號(hào).解:因?yàn)? , 所以所以,38、已知曲面的第一基本形式為，求坐標(biāo)曲線(xiàn)的測(cè)地曲率。解 ， u-線(xiàn)的測(cè)地曲率 v-線(xiàn)的測(cè)地曲率 39、問(wèn)曲面上曲線(xiàn)的切向量沿曲線(xiàn)本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn)嗎？為什么？答：曲面上曲線(xiàn)的切向量沿曲線(xiàn)本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn). 事實(shí)上，設(shè)，則的切向量為 記，則曲線(xiàn)的切向量沿平行移動(dòng)為測(cè)地線(xiàn) 40.求證在正螺面上有一族漸近線(xiàn)是直線(xiàn),另一族是螺旋線(xiàn).解:因?yàn)?由于所以,正螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng),則一族漸近線(xiàn)是這是螺旋線(xiàn),另一族漸近線(xiàn)是這是直線(xiàn).41、設(shè)空間兩條曲線(xiàn)和的曲率處處不為零，若曲線(xiàn)和可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線(xiàn)互相平行，求證曲線(xiàn)和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)夾固定角.證設(shè)，則由知，從而，即這表明曲線(xiàn)和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)夾固定角. 42、證明具有固定方向的充要條件是證明:必要性 設(shè)(為常單位向量),則所以 充分性: (為單位向量函數(shù)),則,因?yàn)?當(dāng),從而有即,因?yàn)?根據(jù)),因此即為常向量,所以有固定方向43、給出曲面上一條曲率線(xiàn)，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角. 求證是一條平面曲線(xiàn).證設(shè)，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導(dǎo)，得， 由為曲率線(xiàn)知，即， 因此 . 若，則為平面曲線(xiàn)； 若，則因?yàn)榍嫔系囊粭l曲率線(xiàn)， 故. 而，所以，即為常向量. 于是為平面曲線(xiàn). 44、求圓柱螺線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程。解 時(shí)，有所以切線(xiàn)的方程為 即 如果用坐標(biāo)表示，則得切線(xiàn)方程為 即45、求雙曲螺線(xiàn)從t=0起計(jì)算的弧長(zhǎng)。解：從t=0起計(jì)算的弧長(zhǎng)為 =46、求球面 解：由 由此得到曲面的第一類(lèi)基本量 因而 47、曲面上一點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲面在點(diǎn)所有方向在法曲率中的最大值和最小值。證明 設(shè)于是 因此 同樣又可以得到 由此 即 這就是說(shuō)，主曲率是法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式為 。求證：（1）u-曲線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn)； （2）v-曲線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)證明：得到 所以 代入劉維爾公式得因此得到。（2）若曲線(xiàn)為測(cè)地線(xiàn)，由 ，即 49、中全體合同變換構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為空間合同變換群。 證明：因?yàn)椋?）空間兩個(gè)合同變換的組合還是一個(gè)空間合同變換；（2）空間三個(gè)合同變換的組合滿(mǎn)足合里律；（3）恒同變換與空間任何合同變換T的組合因此I對(duì)于空間合同變換的組合來(lái)說(shuō)是單位元素；（4）空間任何合同變換一定有逆變換，而且這個(gè)逆變換還是空間合同變換。50、沿曲線(xiàn)面上一條曲線(xiàn)平行移動(dòng)時(shí)，保持向量的內(nèi)積不變。證明：沿曲線(xiàn)（C）給出兩個(gè)平行的向量場(chǎng)，在曲面上取正交坐標(biāo)網(wǎng)（） 所以 51、設(shè)曲線(xiàn) 是具有周期的閉的正規(guī)平面曲線(xiàn)，如果把參數(shù)換成自然參數(shù)，則它的周期是L的閉曲線(xiàn)的周長(zhǎng).證明 =因?yàn)?，所以 我們得到 s,所以有.52、對(duì)于空間簡(jiǎn)單的、正規(guī)閉曲線(xiàn)，至少存在一條切線(xiàn)與給定的方向正交.證明 取為坐標(biāo)系的軸方向.設(shè)曲線(xiàn)的自然參數(shù)表示是 因而單位切向量為 .根據(jù)微積分中值定理，存在