高中不等式證明.doc

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法張 昊(南京郵電大學(xué)吳江職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，江蘇吳江215200)摘 要：不等式的證明在高等數(shù)學(xué)通用教材中較多本文就不等式的證明歸納出了一些方法和基本思路關(guān)鍵詞：高等教學(xué) 不等式證明 基本方法不等式證明是高等數(shù)學(xué)中的常見問題在各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)。證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法因題而異，靈活多變，技巧性強，因此不等式證明題歷來是學(xué)生最感到困惑的問題之一。但它也有一些基本的常用方法。我們要熟練掌握不等式的證明技巧就必須了解這些基本方法。1利用微分中值公式證明不等式中值定理特別是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不等式的證明中有著重要作用，通過對不等式結(jié)構(gòu)的分析，構(gòu)造某特定區(qū)間上的函數(shù)，滿足定理的條件，達到證明的目的。其基本思想是：(1)根據(jù)題目給定的不等式，選取一個適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f(x)和區(qū)問a，b；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上滿足中值定理的條件，利用中值公式；(3)利用得到的公式結(jié)合題設(shè)條件，對寫出的公式進行適當(dāng)?shù)淖兓玫剿C不等式。復(fù)數(shù)z=x+iv甘坐標平面上的點p(x，Y)。這樣學(xué)生會將復(fù)數(shù)z、R中的有序?qū)崝?shù)對(X，Y)、坐標平面上的點P(X，Y)視為同義語，把復(fù)數(shù)集、平面點集、二維空間R的子集看成一回事。由z一(x，v)，復(fù)變函數(shù)f(z)可看成關(guān)于x和Y的函數(shù)，其極限定義可與實二元函數(shù)的極限定義比較。而實二元函數(shù)又是在多元微分學(xué)中講過，學(xué)生較為熟悉，這樣進行比較，可加深學(xué)生對復(fù)變函數(shù)極限念的進一步認識和理解。通過比較，可以發(fā)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的極限定義與實二元函數(shù)極限定義相似成分較之實一元函數(shù)要多一些似乎完全相似，不同的地方主要是一個復(fù)變函數(shù)確定兩個實二元函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的極限存在與否取決于兩個實二元函數(shù)極限的存在與否。兩個實二元函數(shù)的極限都存在才稱復(fù)變函數(shù)的極限存在。2導(dǎo)數(shù)概念的類比在微分學(xué)中，對一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是這樣定義的：設(shè)函數(shù)Y=f(x)在點xn的某一鄰域內(nèi)有定義(包括X 點)，當(dāng)自變量x在X 處有增量x時，相應(yīng)的函數(shù)有增量，Ay=fix +Ax)一f(x )，當(dāng)xou，比值的極限lim ： ! J存在， 稱此極限為函數(shù)v：fAx Ax(x)在x 處的導(dǎo)數(shù)，記為f (xn)。復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為：設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，給自變量ZD以增量Az=Ax+iAy，相應(yīng)的，函數(shù)有增量Aw=f(z+Az)一f(z)，如果當(dāng)z以任何方式趨近于零時，比值的極限li ! !n十 ! lI J存在， 稱此極限為函Ax AX數(shù)f(z)在點z的導(dǎo)數(shù)，記為f (z)。在講解時，注意新舊知識的對比，這樣，既復(fù)習(xí)了舊知識，又為順利接受新知識打開了大門。(二)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性把一些抽象的概念形象化，舉出實例來刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如：單連域、多連域的概念：一個區(qū)域B，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內(nèi)部總屬于B，就稱為單連域。一個區(qū)域如果不是單連域就稱為多連域。為了幫助學(xué)生理解這兩個抽象的概念可以舉一個這樣的例子：單連域好比一張完整無缺的報紙而多連域則好比是這張報紙被剪了若十個洞。這樣，學(xué)生會很輕松地理解這兩個概念。在課堂教學(xué)中教師可結(jié)合所授內(nèi)容特點介紹一些數(shù)學(xué)史。數(shù)學(xué)理論的演變過程是一個讓人很感興趣的歷史，從中可以再現(xiàn)數(shù)學(xué)大師們的思考問題的方式，看到他們是如何探索真理的，從而啟發(fā)學(xué)生怎樣去思考問題。(三)培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的能力復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)分析在復(fù)數(shù)域的延拓，在知識結(jié)構(gòu)、理論體系、研究方法等方面，二者都緊密相關(guān)。學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)分析的完整學(xué)習(xí)，方nJ具備相當(dāng)扎實的函數(shù)論知識，并具備一定的自學(xué)能力。因此，依據(jù)自主探索學(xué)習(xí)的基本理論，結(jié)合目前的教學(xué)現(xiàn)狀在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中教師可適合安排一定的教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生進行自主探索學(xué)習(xí)， 以便收到更好的教學(xué)效果同時也便于不斷提高學(xué)生自主探究、自我建構(gòu)知識的能力。例如，“復(fù)數(shù)”這節(jié)的內(nèi)容大部分學(xué)生在中學(xué)階段都學(xué)過，“復(fù)平面上的點集” 的內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析中平面點集的內(nèi)容幾乎是一樣的，再講這些內(nèi)容，既浪費時間學(xué)生聽起來也不會感興趣。如果讓學(xué)生自學(xué)，然后教師提出一些問題讓學(xué)生去討論，去思考，他們會更集中精力去鉆研，從而收到更好的學(xué)習(xí)效果并不斷地提高自學(xué)能力。在課堂上我們應(yīng)堅持“教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體”的教學(xué)原則，讓學(xué)生在教師幫助下逐漸消化、理解知識，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進行概括與總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生駕馭知識的能力，讓學(xué)生將知識不斷地經(jīng)過自己頭腦的分析、綜合變成自己可以運用自如的知識體系。教師可以利用章節(jié)的小結(jié)、習(xí)題課等形式訓(xùn)練學(xué)生對同一問題從不同的路徑和方向去思考，多角度多方向去觀察，盡量探索出多種解法，讓學(xué)生變“被動學(xué)習(xí)”為“主動學(xué)習(xí)”從而掌握學(xué)習(xí)的主動性并逐步培養(yǎng)學(xué)生一定的自學(xué)能力和提出問題、分析問題、解決問題的綜合能力。三、努力提高教學(xué)質(zhì)量復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程是一個不斷摸索的開發(fā)過程，教師需要具備扎實的專業(yè)知識背景，在此基礎(chǔ)上教學(xué)手段的多樣化，教學(xué)內(nèi)容的興趣化，以及教學(xué)器材的現(xiàn)代化都是提高教學(xué)效果的手段。只有充分調(diào)動教師的聰明才智、調(diào)動廣大學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，才能夠取得更好的教學(xué)效果。教學(xué)中教師應(yīng)注意把教書和育人融為一體。教師首先要以身作則，為人師表在教學(xué)中認真處理好每一個問題，認真回答學(xué)生提出的每一個問題在把握好接受性的原則下，對疑難問題不回避以嚴謹治學(xué)的精神影響學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生勤奮讀書、刻苦鉆研、理論聯(lián)系實際、求實嚴謹?shù)膶W(xué)風(fēng)。其次對學(xué)生要嚴格要求。對于學(xué)生在學(xué)習(xí)中暴露出的一些不正確思想和做法，要及時指出，正確引導(dǎo)，把學(xué)生的注意力和精力引導(dǎo)到學(xué)習(xí)功課上來 只要能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。任何學(xué)習(xí)上的困難都可以克服，復(fù)變函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量就可以得到提高。參考文獻：1鐘玉