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巧構(gòu)造 妙解題 中考復(fù)習(xí)之一道質(zhì)檢題的思考教學(xué)設(shè)計(jì)泉州外國語中學(xué) 黃全偉教學(xué)時(shí)間一課時(shí)課題巧構(gòu)造 妙解題課型習(xí)題復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)和能力掌握勾股定理、相似三角形判定與性質(zhì),正弦、余弦、正切概念;能正確地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比,會(huì)用垂徑定理。過程和方法逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造的思維能力。情感態(tài)度價(jià)值觀提高學(xué)生對幾何圖形美的認(rèn)識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)正弦,余弦,正切概念及構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想教學(xué)難點(diǎn)構(gòu)造與轉(zhuǎn)化教學(xué)準(zhǔn)備教師多媒體課件,學(xué)案學(xué)生“整理歸納質(zhì)檢第23題,至少四種方法、質(zhì)檢卷、學(xué)習(xí)用具”課 堂 教 學(xué) 程 序 設(shè) 計(jì)設(shè)計(jì)意圖一回顧試題(2017泉州質(zhì)檢第23題)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是邊AD的中點(diǎn),且AC,DC=1.(1)求證:AB=DE;(2)求tanEBD的值. 二展示(2)各種解法解法一:過點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F,勾股定理求AD=2,則DE=1利用BDE面積相等,求出,勾股定理求出,即可求出。解法二:過點(diǎn)D作DFBE延長線于點(diǎn)F,與法一同理利用BDE面積相等,求出DF,勾股定理求出即可求出的值。解法三:連接CE交BD于點(diǎn)F,易證BCE是等腰直角三角形BEF=90,勾股定理求出CE,DEFBCF可求出EF,即可求出的值。解法四:利用和角公式=tan(EBC-DBC)可求出。解法五:以點(diǎn)B為原點(diǎn),邊BC所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系,可知點(diǎn)E、B、D的坐標(biāo),求出直線BD函數(shù)關(guān)系式,利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)E到直線BD的距離EF,勾股定理求出BF,即可求出的值。以上方法均為構(gòu)造直角三角形,同學(xué)們是否可以考慮轉(zhuǎn)化銳角EBD,將它轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中來求正切值呢?(引導(dǎo):EBD可以看作是定線段DE所對的張角,定線段DE是否可以對其它與之相等的張角呢?)生:可以構(gòu)造圓。利用“在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,都等于所對圓心角的一半”如下圖,可以將EBD轉(zhuǎn)化到EFD,而EDF=90,DEF是直角三角形。在第(2)問中此法顯得繁瑣,但請繼續(xù)研究第(3)問,你如何解決。三拓展提高(原創(chuàng))(3)以點(diǎn)B為原點(diǎn),邊BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M,使得tanDME與(2)中求得的值相等,若存在,請求出點(diǎn)M坐標(biāo),若不存在,請說明理由。分析:為了構(gòu)造定線段DE所對張角相等的角,可以作出BDE外接圓,在X軸上可找到點(diǎn)(與點(diǎn)B重合)和,在y軸上可以找到,定線段DE還可以構(gòu)造在X軸上方的輔助圓,在y軸正半軸還可以找到點(diǎn)和,tanF=tanEBD=,求出DF后可知圓心P坐標(biāo),利用垂徑定理可分別求出各點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),(0,-1),(0,2),(0,3)四小結(jié)(學(xué)生自我總結(jié))不僅可以構(gòu)造直角三角形來求銳角三角函數(shù),還可以構(gòu)造輔助圓,利用“在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,都等于所對圓心角的一半”將銳角轉(zhuǎn)化,達(dá)到化難為易的解題效果。學(xué)生剛參加完市質(zhì)檢,對題目的熟悉度較高,熱情度較高,本題立足基本求線段長方法,構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)。適合用來復(fù)習(xí)鞏固與提高。各種解法展示,讓學(xué)生體驗(yàn)不同方法,發(fā)散思維,多角度解題思路,增強(qiáng)自主歸納能力。建立坐標(biāo)系解法的出現(xiàn),為第(3)步拓展的解題埋下伏筆。換角度思考,不一定只局限于構(gòu)造直角三角形,可以利用定線段所對張角相等,通過構(gòu)造輔助圓把角轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化角在此類問題中,能起到化隱為顯、化難為易的解題效果。本作業(yè)題可鞏固本節(jié)課內(nèi)容,巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓,再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來解決問題。作業(yè)設(shè)計(jì)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的直角邊、分別在軸的正半軸和軸的正半軸上,過點(diǎn)的直線交矩形的邊于點(diǎn),.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含、的代數(shù)式表示);(2)若把沿折疊,使點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處,求與的函數(shù)關(guān)系式(不需寫出的范圍);當(dāng)時(shí),在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn),使得,若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.xyOPACBQ教學(xué)反思 構(gòu)造輔助圓巧解中考?jí)狠S題關(guān)于動(dòng)點(diǎn)對定線段所張的角為定值問題,從表面看似與圓無關(guān),但如果我們能深入挖掘題目中的隱含條件,善于聯(lián)想所學(xué)定理,巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓,再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來解決問題,往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果,還考查了學(xué)生創(chuàng)造性思維,有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。這里,構(gòu)造輔助圓實(shí)則成了解題的關(guān)鍵。巧構(gòu)造 妙解題中考復(fù)習(xí)之一道質(zhì)檢題的思考學(xué)案設(shè)計(jì)泉州外國語中學(xué) 黃全偉(2017泉州質(zhì)檢第23題)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是邊AD的中點(diǎn),且AC,DC=1.(1)求證:AB=DE;(2)求tanEBD的值. 各種解題方法展示:拓展:(3)以點(diǎn)B為原點(diǎn),邊BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M,使得tanDME與(2)中求得的值相等,若存在,請求出點(diǎn)M坐標(biāo),若不存在,請說明理由。小結(jié)與反思:課后作業(yè):(2017晉江質(zhì)檢第24題) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的直角邊、分別在軸的正半軸和軸的正半軸上,過點(diǎn)的直線交矩形的邊于點(diǎn),.(1)求
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