中學奧林匹克競賽物理實驗培訓教案.doc

中學奧林匹克競賽物理實驗培訓教案四川師范大學物理與電子工程學院潘學軍第一講基本實驗素養(yǎng)學生的物理實驗素養(yǎng)，主要體現在靈活運用物理知識、物理實驗方法和實驗儀器解決問題的能力，以及對實驗結果的數據處理和分析的能力。基本實驗素養(yǎng)平常指的是對誤差分析、數據處理、基本實驗技能和基本實驗方法的理解、掌握與運用能力，在國內和國際物理競賽中受到普遍重視。為此，先給大家簡要介紹誤差與數據處理、有效數字、作圖等有關知識。對于這些知識，重要的不是懂得，而是在實驗中自覺運用，所謂“習慣成自然”。1.1 測量及其誤差1.1.1 量、測量和單位任何現象和實體都能以量的大小來表征，而且量具有對現象和實體作定性區(qū)別或定量區(qū)別的屬性。測量是人類對自然界中的現象和實體取得數量概念的一種認識過程。為確定被測對象的量值，首先要選定一個單位，用它與被測對象進行比較，求出被測對象與它的比值倍數，這個倍數即為數值。顯然數值的大小與所選用的單位有關，對同一對象測量時，選用單位越大，數值越小，反之亦然。因此，在表述被測對象的測量值時就必須包含數值和單位兩個部分。目前，物理學上各物理量的單位都采用中華人民共和國法定計量單位，根據中華人民共和國計量法，國家計量局于1987年2月1日發(fā)布了國家法定計量單位名稱、符號和非國家法定計量單位的廢除辦法，規(guī)定以國際單位制（SI制）為國家法定計量單位，即以米（m）、千克（kg）、秒（s）、安培（A）、開爾文（K）、摩爾（mol）、坎德拉（cd）(發(fā)光強度)作為基本單位，其它單位都由以上七個基本單位導出，稱為國際單位制的導出單位。并規(guī)定1991年起實行國家法定計量單位，中華人民共和國法定計量單位. 1.1.2 測量及誤差 物理實驗離不開對物理量進行測量，不論是研究物理現象、驗證物理原理，還是研究物質特性等，都要進行測量。所謂測量，就是用一定的量具或儀器，通過一定的方法，直接地或間接地與被測對象進行比較。測量可分為直接測量和間接測量；如果直接從儀器或量具上讀出待測量的大小為直接測量；如果待測量是由若干個直接測量經過一定的函數關系運算后獲得的為間接測量。例如，用米尺測量物體的長度，用秒表計時等為直接測量；測量物體的密度，需先測出物體的體積和質量，再用公式計算出密度為間接測量。 在一定的條件下，任何物理量的大小都有一個客觀存在的真值。進行測量，就是要想辦法知道每個物理量的真值。然而，每個具體測量都是依據一定的理論或方法，在一定的環(huán)境中使用一定的儀器，由一定的人進行的，而由于理論的局限性或近似性，環(huán)境的不穩(wěn)定性，實驗儀器靈敏度和精度的局限性，人的實驗技能和判斷能力的影響等，使測量值與客觀存在的真值之間總是或多或少地存在偏差，這種偏差就稱為測量值的誤差。 假設被測量的真值為A，測量值為x，誤差為d，則 d = x - A （1-1-1） 上式定義的誤差反映了測量值偏離真值的大小和方向，稱為絕對誤差。 某些情況下真值的大小是可知的，在多數情況下被測量的真值是未知的。在實際測量中，一般根據測量數據，只能確定出測量的最佳值。為了全面評價測量的優(yōu)劣，往往還需要考慮被測量本身的大小，例如測量兩個物體的質量得出一個是1.00克，另一個是100.00克，如果絕對誤差都是0.01克，那么，從絕對誤差看，對二者的評價是相同的。但前者的誤差占測量值的l，而后者僅占0.01，顯然測量誤差的嚴重程度比前者要小得多。為了區(qū)分或評價測量的優(yōu)劣，常用相對誤差表示。相對誤差定義為絕對誤差與測量最佳值之比，常用百分數表示，即： (1-1-2) 有時被測量有公認值或理論值,則用百分誤差來表示。百分誤差定義為 （1-1-3） 不論是在實驗設計、測量操作，還是在實驗數據處理中，都存可能存在著誤差問題。在誤差存在的情況下，測量的任務就是要在一定的條件下設法將測量值的誤差盡量減小，得到一個最近真值，并估計出最近真值偏離真值的程度。 產生誤差的原因是多方面的，從誤差的性質上可以分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。它們對測量結果的影響不同，處理方法也不同。 （一）系統(tǒng)誤差:在同樣條件下，對某一物理量進行多次測量，其誤差的絕對值和符號保持不變，或隨著測量條件的變化而按確定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特征是：在同一條件下（指方法、儀器、環(huán)境、人員），對同一物理量進行多次測量時，誤差的絕對值和符號（正、負）保持不變，當測量條件改變時，誤差的絕對值和方向按一定的規(guī)律變化。它的來源有以下幾個方面：1儀器誤差：由于測量儀器的不完善、儀器不夠精密或安裝調整不妥所引起的誤差。例如儀器的刻度不準、零點沒有校準、砝碼未被校準、天平臂長不相等、儀器水平或鉛直未調整等。2方法誤差：由于實驗方法的不完善或這種方法所依據的理論公式本身具有近似性，或實驗條件不能達到理論公式所規(guī)定的要求等而引起的誤差。如在空氣中稱質量時沒有考慮空氣的浮力的影響，量熱時沒有考慮熱量的散失，單擺周期公式 的條件是擺角趨于零，而測量中又必須具有一定的擺角；電路中沒有考慮電表內阻和接線附加電阻的影響等。3環(huán)境誤差：由于環(huán)境的影響或沒有按規(guī)定的條件使用儀器。例如，測長度時沒有考慮溫度使尺長改變，應該水平（或垂直）放置的儀器沒有放水平（或垂直），標準電池是以20C時的電動勢數值作為標準值的，若在30C條件下使用時不加以修正，就引入了系統(tǒng)誤差。 4人員誤差：由于實驗者心理或生理特點、缺乏經驗等而引入的誤差。例如有些人習慣于側坐斜視讀數，眼睛分辯能力較差等，使測量讀數偏大或偏小。 系統(tǒng)誤差的消除或減小是實驗技能問題，應盡可能采取各種措施將它降低到最小程度。例如將儀器進行校正，改變實驗方法或者在計算公式中列入一些修正項以消除某些因素對實驗結果的影響，糾正不良實驗習慣等。能否識別和消除系統(tǒng)誤差與實驗者的經驗和實際知識有著密切關系切的關系，學生在學習過程中要注意積累這方面的感性知識，結合實驗的具體情況對系統(tǒng)誤差進行分析和討論。（二）隨機誤差（偶然誤差） 在相同條件下，對同一物理量進行多次重復測量時，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然會出現一些難以預料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機地變化著。即各次測量值都會有些差異，它們分散在一定范圍內，其誤差時正時負，絕對值時大時小，無規(guī)則地漲落，這類誤差稱為隨機誤差;又稱為偶然誤差。隨機誤差的特點是隨機性。產生原因：隨機誤差是由于測量過程中一些隨機的或不確定的因素引起的。如人的視覺、聽覺和觸覺等感覺能力的限制以及實驗環(huán)境中的溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動及振動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數值帶有隨機性，好像雜亂無章。但是，如果測量次數足夠的話，就會發(fā)現隨機誤差遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用概率理論來估算它。實踐和理論都證明，大部分測量的隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律，其中最典型的一種是高斯正態(tài)分布律。標準化正態(tài)分布曲線圖如圖1-2-2所示。圖中 表示測量值x的誤差，()為概率密度函數，誤差出現在+d范圍內的概率為()d。由概率論的數學方法可以導出 （1-2-1） 式中的s是一個與實驗條件有關的常數，稱為標準偏差。設i為第i次的測量誤差，n為測量次數，則f()d()s-s0 （1-2-2） 從圖1-2-2可以看出，服從正態(tài)分布的誤差具有下面一些特性： （1）單峰性：絕對值小的誤差比絕對+d值大的誤差出現的概率大。 （2）對稱性：絕對值相等的正負誤差圖1-2-2出現的概率相同。 （3）有界性：絕對值很大的誤差出現的概率近于零，即誤差的絕對值不超過一定限度。 （4）抵償性：隨機誤差的算術平均值隨著測量次數的增加越來越趨于零。即 （1-2-3）由定義 即 （1-2-4）上式表示測量值的算術平均值的誤差，等于各次測量誤差的算術平均值。由隨機誤差的對稱性和抵償性知： 1在排除系統(tǒng)誤差影響后，算術平均值的誤差由于測量次數n的增加而減小，由（1-2-4）式知 即當n 時算術平均值趨于真值。因此，可以取算術均值 （1-2-5）作為測量結果的最佳值。圖1-2-30 5 10 15 20 n 2在確定的測量條件下，增加測量次數可減小測量結果的隨機誤差。增加測量次數對提高算術平均值的可靠性是有利的，但在實際工作中，并不是測量次數越多越好。因為增加測量次數必定要延長測量時間，這將給保持穩(wěn)定的測量條件帶來困難，同時也引起觀測者的疲勞，又可能帶來較大的觀測誤差。另外，增加測量次數只能對降低隨機誤差有利而與系統(tǒng)誤差的減小無關。誤差理論指出，隨著測量次數的不斷增加。隨機誤差的降低越來越緩慢。圖1-2-3表示算術平均值的標準偏差隨測量次數n的變化情況?？梢钥闯?，當測量次數n10后，的減小極慢。所以，在實際測量中次數不必過多，在科學研究中一般取1020次，而在物理實驗教學中一般取510次就可以了。在同樣條件下，對同一物理量進行多次重復測量（等精度測量），設測量值分別為x1，x2，x3，xn；真值為A，各次誤差分別為1，2，, n?？茖W實驗中常用標準偏差來估計測量的隨機誤差。一組測量值，即一個測量列的標準偏差定義為：各測量值誤差的平方和的平均值的平方根，故又稱為均方差。用s表示為 （1-2-6） s的物理意義是什么呢?當隨機誤差服從正態(tài)分布時，概率密度函數()由式（1-2-1）表示。誤差落在（，+d）范圍內的概率為() d，所以，誤差出現在（-s，s）區(qū)間內的概率p1就是圖l-2-2中該區(qū)間內()曲線下的面積。 （1-2-7）由此可見，標準偏差s表示的意義是：任一測量值的誤差落在（-s，s）范圍內的概率為68.3?；蛘哒f，真值A落在（xi - s，x i + s）范圍內的概率為68.3。即區(qū)間 s 稱為置信區(qū)間，在給定置信區(qū)間內包含真值的概率（P=68.3）稱為置信概率或置信水平。擴大置信區(qū)間，置信概率就會提高。同樣可知，誤差出現在（-2s，2s）范圍內的概率p2及（-3s，+3s）范圍內的概率p3為：（1-2-9）（1-2-8） 由（1-2-8），（1-2-9）式的計算結果表明：真值A出現在置信區(qū)間x2s內的概率約為95.4%，出現在置信區(qū)間x3s內的概率約為99.7%。可見，只要對測量結果給出置信區(qū)間和置信水平P，就表達了測量結果的精密程度。3s這個置信區(qū)間表明隨機誤差超過這個范圍的測量值大約在1000次測量中只出現3次左右，在一般幾十次測量中，幾乎不可能出現，所以將3s稱為極限誤差。f（）-e 0 e圖 1-2-4 除了近似服從正態(tài)分布的隨機誤差外，還有服從其它分布的隨機誤差，如三角分布、泊松分布、均勻分布等。其中和我們關系密切的一種分布是均勻分布。當在實驗中進行一次測量時，在一般情況下， 由于信息的缺乏，根據等概率假設，可以認為隨機誤差服從均勻分布。均勻分布的特點是在誤差可能存在的范圍內，即-e, e之間,誤差在各點出現的概率相同，其圖形如1-2-4所示，其中為測量誤差，f()為概率密度函數。如數字顯示儀表、機械停表等不能估讀及一些完全不知其分布的誤差。其特點是：在誤差可能存在的范圍內-e, e之間，誤差在各點出現的概率相同。（三）誤差的相互轉化系統(tǒng)誤差和隨機誤差在一定的條件下是可以相互轉化的。例如一支米尺刻度不均勻，如果固定以尺的端面測量某一物體長度時，測量結果會產生系統(tǒng)誤差，若采用尺的不同刻度部分來多次測量又可把分度不均勻的誤差隨機化。又如，同一級別的儀器中每臺儀器的具體系統(tǒng)誤差都不相同，或大或小，或正或負，是隨機的，但當你使用某臺儀器做實驗時，它所引起的誤差又是固定的。一個具體測量中出現的誤差往往既含有隨機誤差，又含有系統(tǒng)誤差。在實驗中，當實驗條件穩(wěn)定且系統(tǒng)誤差可以掌握時，就盡量保持在相同條件下做實驗，以便修正系統(tǒng)誤差；當系統(tǒng)誤差未被掌握時，常常想出一些辦法使系統(tǒng)誤差隨機化，以便在多次測量取平均中抵消其一部分。(四) 過失誤差（錯誤）在測量中還可能出現錯誤，如讀數錯誤、記錄錯誤、操作錯誤、估算錯誤等等。錯誤已不屬于正常的測量工作范疇，應當盡量避免?？朔e誤的方法，除端正工作態(tài)度，嚴格工作方法外，可用和另一次測量結果相比較的辦法發(fā)現糾正，或者運用異常數據剔除標準來判別因過失而引入的異常數據，并加以剔除。1.2 誤差處理1.2.1系統(tǒng)誤差的修正和消減在很多情況下，系統(tǒng)誤差是影響測量結果主要因素，可是它又常常不明顯地表現出來，有時會給實驗結果帶來嚴重影響。因此，發(fā)現系統(tǒng)誤差，設法修正或消除它的影響，是誤差分析的一個很重要的內容。在實驗工作中發(fā)現和消減系統(tǒng)誤差相對來說是一件較難的工作。它既需要理論指導又需要豐富的實驗工作經驗，往往是針對實際工作情況采取靈活多樣的辦法去解決。以下介紹的是常用的一些方法。 （一）發(fā)現系統(tǒng)誤差的方法因為系統(tǒng)誤差的數值往往比較大，要有效地提高測量精確度，必須減小和消除系統(tǒng)誤差的影響。但是，首先遇到的問題是怎樣來發(fā)現系統(tǒng)誤差呢？在測量過程中，形成系統(tǒng)誤差的因素是復雜的，在一般情況下，系統(tǒng)誤差是不能通過多次重復測量來發(fā)現的，有時候，直接測量的每個量都排除了系統(tǒng)誤差，但是間接測量的計算結果仍可能有系統(tǒng)誤差存在。要發(fā)現系統(tǒng)誤差，就必須仔細地研究測量理論和方法的每一步推導，分析每一個實驗條件，檢驗或校準每一件儀器，考慮每一步調整和測量，注意每一個因素對實驗的影響等。下面簡要介紹幾種發(fā)現系統(tǒng)誤差的常用方法。 1實驗對比法實驗對比法是通過改變產生系統(tǒng)誤差的條件進行測量，從而發(fā)現系統(tǒng)誤差。（1）儀器的對比：用不同儀器去測量同一量，如果結果不一致，則說明至少有一個存在系統(tǒng)誤差。如其中一個是高一級精度的儀器或標準器件，就可以找出系統(tǒng)誤差的修正值。 （2）測量方法的對比：如把電流反向進行讀數；增加砝碼過程中和減小砝碼過程中分別讀數；轉盤轉180進行讀數等，看結果是否一致。 （3）改變某些參量的數值：改變某參量的取值，看結果是否有某種變化。有時為了判斷某個因素是否會帶來系統(tǒng)誤差，常采用這種方法。如改變擺角測周期，可看出擺角大小對周期的影響。 （4）實驗條件的對比:如用惠斯登電橋測電阻時，可以改變橋臂電阻的位置，如把Rx和Rs互換，判斷有無系統(tǒng)誤差存在。 （5）測量人員的對比:由兩個人對比觀測，可發(fā)現人員誤差。 （6）實驗方法的對比：必要時可改變實驗方法去測量，看結果是否一致。如分別用單擺、自由落體儀、彈簧振子測得本地區(qū)的重力加速度，若在偶然誤差范圍內三者不重合，則說明至少其中兩個存在系統(tǒng)誤差。2理論分析法由于測量所依據的理論公式本身的近似性，或實驗條件不能達到理論公式所規(guī)定的要求等而引起的誤差。所以我們進行如下分析: （1）分析測量所依據的理論公式所要求的條件與實際情況有無差異，是否超過了測量精確度所要求的范圍。有時理論上采用了一些理想化的模型，這種模型與實際有多大差距。如單擺實驗中，公式 是作了 0的近似，而實驗中q 0；式中把擺球看作質點，忽略擺線質量，實驗中擺球體積V 0，擺線也具有質量，實際上是一個復擺；公式中忽略了空氣浮力與阻力，而實際上是存在的等等。 （2）分析儀器是否達到了所要求的使用條件。如標準電池給出的電動勢值是在工作溫度為20C條件下的，看看室溫是否與要求一致；又如使用光杠桿鏡尺系統(tǒng)時要求平面鏡反射面垂直，標尺垂直，望遠鏡光軸水平等，分析實驗中是否達到了要求；光杠桿測微小長度變化量公式 中，要求DLk，lD，實際中是否達到要求，由此引入多大誤差等。 總之，要分析公式推導中每一步所要求的條件與實際是否一致，每一個實際測得的量與公式中寫的量是否真正一樣，儀器使用的條件是否合乎規(guī)定等。 3分析數據法 這種方法的理論依據是隨機誤差服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，如果實驗結果不遵從這種規(guī)律，則說明存在系統(tǒng)誤差。在相同條件下得到大量數據時，可用這種方法。 如按測量次序記錄的測量數據的偏差是單向或周期性變化，說明存在固定的或變化的系統(tǒng)誤差，因為按照隨機誤差的統(tǒng)計分布理論，測量值的散布在時間和空間上應該是隨機的。 以上只是從普遍的意義上介紹了幾種發(fā)現系統(tǒng)誤差的途徑，實際工作中還會有許多具體辦法。 （二）系統(tǒng)誤差的修正和消減 消減系統(tǒng)誤差對測量結果的影響是測量工作中一件最重要的事情。由于人們不可能全部掌握所有系統(tǒng)誤差的規(guī)律和大小，因而也就不能全部消減它們對測量結果的影響，實際上任何“標準”的儀器，總是有缺陷的，任何理論模型也只是實際情況的近似因此，對系統(tǒng)誤差只能盡量設法去減小它，不可能絕對地消除。所謂“消減”系統(tǒng)誤差的影響是指把它的影響減小到隨機誤差之下，如果系統(tǒng)誤差不影響有效數字的最后一位，就可認為是已經消減了它的影響，因此，對于不同的測量精度要求，所要考慮的系統(tǒng)誤差項也不同。 從原則上來說，消減系統(tǒng)誤差影響的途徑首先是設法使它不產生。如果做不到，那么就設法修正它，或者設法在測量中抵消或減小它的影響。下面簡要介紹幾種消減系統(tǒng)誤差影響的途徑。 1消減系統(tǒng)誤差產生的根源 這是消減系統(tǒng)誤差的最根本的方法，它要求實驗者首先要仔細分析所采用的實驗方法、儀器、設備、環(huán)境條件和實驗者的素質等方面，對可能產生系統(tǒng)誤差的因素，盡可能預先處理從根源上加以消除。如采用更符合實際的理論公式；正確地調整儀器，合理地布局儀器，在外界條件穩(wěn)定在規(guī)定值之后再進行測量，以保證滿足儀器裝置及測量所要求的條件等。 2用修正值修正測量結果 這種方法是預先用標準儀器對測量器具進行校準，得出誤差表或校準曲線，然后取與誤差數值大小相同而符號相反的值作為修正值，將實際測得值加上相應的修正值，即可得到不包含系統(tǒng)差的測量結果?；驅碚摴竭M行修正，找出修正值。 由于修正值本身也包含有一定誤差，因此用修正值修正的方法，不可能全部消減系統(tǒng)誤差，總要殘留少量系統(tǒng)誤差。對于殘留的系統(tǒng)誤差按隨機誤差進行處理。RxRS12穩(wěn)壓電源圖 1-2-1 比較法測電阻A 3定值系統(tǒng)誤差消減法 （1）替代法這種方法是在一定的測量條件下，對某一被測量進行測量，使在儀器上得到某一狀態(tài)（如指針指示零位、天平平衡等），再以同樣性質的標準量替代被測量，調整標準量值的大小，使在儀器上呈現出與前者相同的狀態(tài)，則此時的標準量值即等于被測量值，如圖1-2-1所示。由于兩次測量都在儀器上呈現同一狀態(tài)，故一切定值系統(tǒng)RxRsR4R2R3圖1-2-2誤差的影響相同，這樣就消減了除標準量值本身的定值誤差以外的一切定值系統(tǒng)誤差。而標準量的定值誤差還可進一步檢定修正。又如用惠斯登電橋測電阻圖1-2-2，可先接入待測電阻使電橋達到平衡，然后保持其它條件不變，用標準電阻替換待測電阻，調節(jié)標準電阻的大小，使電橋再次達到平衡，則標準電阻值就等于待測電阻值。圖1-2-3l1l2XP （2）交換法這種方法是根據誤差產生的原因，在一次測量后，將某些測量條件交換一下，以消減系統(tǒng)誤差。 例如在等臂天平上稱量重物X，如圖1-2-3所示，第一次測量標準砝碼P放于右邊，調平衡后有 將X、P交換位置后，由于l 1l2砝碼將略有增減，再次平衡后P= P+P，于是有 圖1-2-5R取 即可消除天平兩臂不等而帶來的誤差。 （3）抵消法（異號法）當已知有某種產生定值系統(tǒng)誤差的因素存在，而又無法從根源上消除，也難確定其大小并從測量結果中修正時，可考慮能否去抵消它。先在有定值系統(tǒng)誤差存在的條件下進行一次測量，再在該定值系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測量一次，取兩次測量的平均值作為測量結果。這樣，由于兩次測量中定值系統(tǒng)誤差的大小相等、方向相反，取平均值后便相互抵消了。如圖1-2-4所示的靈敏電流計實驗、霍爾效應實驗和楊氏彈性模量實驗等。此外，還有線性系統(tǒng)誤差的對稱觀測法，半周期性偶數觀測法等，用來判斷消減系統(tǒng)誤差的方法。1.2.2 測量結果的最佳值與隨機誤差的估算 1直接測量值誤差的估算算術平均值、標準偏差設在相同條件下，用某儀器對被測量進行n次無系統(tǒng)誤差的獨立測量，測得值為x1，x2，x3，xn，則算術平均值為 (1-2-5)可以證明，當系統(tǒng)誤差已被消除時，測量值的算術平均值是真值的最好近似值，即測量結果的最佳值。因此，可以用算術平均值表示測量結果。第i次測量值xi與平均值x之差稱為偏差(或殘差)。 (1-2-10) 由于真值是無法得到的，實際計算時可用偏差代替誤差。 用標準偏差來表征測量結果的分散性時用貝塞爾公式 (1-2-11)算術平均偏差（或平均絕對誤差）為： (1-2-12) 算術平均值x的標準偏差，記作x (1-2-13)由于在測量中存在隨機誤差（偶然誤差），為了能獲得該項測量的最佳值，并對結果做出正確評價，需要對被測量進行多次重復測量，這時應當用算術平均值作為被測量真值的估計值。2間接測量的隨機誤差估計 在很多物理實驗中，我們進行的測量幾乎都是間接測量。間接測量的結果是由直接測量根據一定的數學函數公式計算出來的。顯然，由于直接測量結果存在誤差，間接測量結果也必然存在誤差，這就是誤差的傳遞。表達各直接測量值誤差與間接測量值誤差之間的關系式，稱為誤差傳遞公式。 設間接測量N與各直接測量x，y，z,.，有下列函數關系 N= （x，y，z,） (1-2-14)其中x= xx，y =yy，z=zz,.，這里x, y, z為彼此獨立的各直接測量的算術平均值,x, y,z為相應的平均絕對誤差或標準偏差。 （1）誤差傳遞的基本公式 對（1-2-14）式求全微分有 (1-2-15)上式表示，當x，y，z，.有微小改變dx，dy2 dz，.時，N有微小改變dN。通常誤差x, y,z遠小于x, y, z，故可把dx，dy dz，.理解為各量相應的誤差，上式就是間接測量的誤差計算公式，稱為誤差傳遞公式。 若對式（1-2-14）取自然對數后再求全微分，可得 （1-2-16） （1-2-17） （1-2-15）和（1-2-17）兩式就是誤差傳遞的基本公式。其中的每項稱為分誤差，即由各直接測量產生的誤差. 函數的偏微商,稱為誤差傳遞系數。由此可見，一個直接測量的誤差對于間接測量誤差的影響，不僅取決于其本身誤差大小，而且取決于誤差傳遞系數。 （2）隨機誤差的合成 由各個直接測量的分誤差合成間接測量的總誤差的方法，稱為誤差的合成。下面介紹兩種合成方法： 算術合成法 把各直接測量的隨機誤差用算術平均偏差估算間接測量的誤差計算公式（即誤差傳遞公式）中各項分誤差，以取絕對值相加得到總誤差的方法叫算術合成法。常用函數誤差的算術合成公式如表1-2-1所示。由表中可見，加減法時用誤差絕對值相加，乘除法時用相對誤差相加。表1-2-1 常用函數誤差的算術合成公式函數表達式誤差合成公式N =x + yN =x + yN =x - yN =x + yN = xyN=x/yN=Kx方和根合成法 把各個直接測量的誤差用標準偏差估算，將誤差傳遞公式中各分誤差平方后求和再開方得到總誤差的方法叫方和根合成法。即 （1-2-18） （1-2-19）常用函數的標準偏差合成公式如表1-2-2所示。表1-2-2 常用函數的標準偏差合成公式函數表達式誤差合成公式N =x + yN =x - yN = xyN=x/yN=KxN=sin xN= ln x例 1 用單擺測定重力加速度的公式為，今測得T=2.0000.002s， l= 100.00.1cm，試求重力加速度g及其標準偏差g與相對誤差Eg。解 按誤差傳遞公式（1-2-18）因為 所以將數值代入得 于是g的測量結果表示為 g的相對誤差為先將重力加速度公式兩邊取自然對數有 再對各獨立測量求偏微分有 ，由誤差傳遞公式（1-2-19）有1.3 測量結果的不確定度 1什么是不確定度？定義：表征被測量的真值所處的量值范圍的評定，用以表述測量結果分散性的參數?？梢岳斫鉃椋簻y量結果有效性的可疑程度或不肯定程度。從統(tǒng)計意義上理解，它是待測量真值所處范圍的估計。即在實驗中，由于各種物理因素（方法、儀器、理論、環(huán)境、人員等）的影響，不僅間接測量而且直接測量，即使多次測量所得到的測量值，都不可能必然地落到真值上，也就是說測量結果具有分散性。這個用以表述測量結果分散性的參數就是測量不確定度。測量不確定度的大小可按一定的方法計算（估算）出來。2什么是誤差？誤差即測量值與真值之差。誤差是與測量不確定度有關的一個十分重要的概念： （1）由于認識能力不足和科學技術水平的限制。 如儀器制造不可能十分精確，觀測者的測量方法和技能、技巧也會不同程度地受到主、客觀條件的影響。 （2）由于外界環(huán)境條件的干擾，儀器的使用條件不易得到完全滿足，物理量本身客觀存在的真值也會發(fā)生變化。（3）由于任何理論公式都是建立在一定理論或一定條件基礎上的抽象和簡化，而實際測量都是在一定的比理想模型復雜得多的客觀環(huán)境中進行的。因此，每一個測量要素對物理量的測得值均可能產生影響，使其與真值之間不可避免地產生差異，這個差異就叫誤差。（一般來講由于真值未知，所以誤差也是未知的）誤差與不確定度的關系:誤差和不確定度是兩個不同的概念,誤差是指由于測量過程一般都具有一些不完善的地方,它們會使測量結果中產生誤差.由于誤差是測得值與真值之差,因此它是一個理想概念,一般情況下誤差是不能準確得知的,人們往往忽視它的符號,而且連數量級也難給出.測量結果的不確定度反映了被測量真值的存在范圍,或誤差存在的分布范圍.不確定度大并不說明誤差也大,經修正后的測量結果有可能非常接近被測量真值,即誤差可能非常接近零,其絕對值遠小于不確定度.誤差的絕對值也可能(以很小的概率)大于不確定度.一定置信概率的不確定度是可以計算出來的,其值永遠是正值,而誤差可能為正,可能為負,也可能為零.不確定度可以理解為一定置信概率的誤差限值的絕對值,也被用來指示對符號未知的可能誤差的評價.例.觀察列平均值的實驗標準偏差雖然不是平均值的隨機誤差,但它卻是隨機效應引起的平均值的不確定度的測度,即可以看作是隨機效應引起的平均值的可能誤差分布特性的測度.在表達式 中,可能出現的誤差限值(P=0.95)是+U和-U,U是不確定度,U等于誤差限的絕對值.不確定度和誤差既是兩個不同的概念,又是相互聯系的,都是由于測量過程的不完善性引起的.不確定度表示體系不同于誤差理論體系,但它是在誤差理論的基礎上發(fā)展和完善起來的,是有一定聯系的.我們用不確定度來評價測量質量,進行定量計算,但在實驗設計,分析處理中又常常需要進行誤差分析.把誤差和不確定度完全割裂開來,對立起來的做法也是不恰當的.測量結果表示形式 Y = N N （1-3-1）其中Y代表待測物理量，N為該物理量的測量值，它既可以是單次的直接測量值，也可以是在相同條件下多次測量的算術平均值，還可以是經過公式計算得到的間接測量值。 N是一個恒正的量，稱為不確定度，代表測量值N的不確定程度，也是對測量誤差的可能取值的測度，或者說，是對待測真值可能存在的范圍的估計。3測量結果的含義式（1-3-1）Y = N N 的含義是，測量結果是一個范圍，即N - N，N + N ，它表示待測物理量的真值有一定的概率落在上述范圍內，“一定的概率”：置信概率如 68.3%,95.4%,99.7%等，范圍(區(qū)間) N - N，N + N 則稱為置信區(qū)間,或者說在N - N，N + N 范圍內以一定的概率包含真值.。在一定的測量條件下，置信概率與置信區(qū)間之間存在單一的對應關系：置信區(qū)間越大，置信概率越高；置信區(qū)間越小，置信概率越低；當置信概率為100%時，對應的 N就稱為極限不確定度，用e表示，這時式（1-3-1）寫作做 Y = N e表示真值一定在N - e，N + e 中， N也常常用標準偏差來表示，記做，這時式（1-3-1）寫做 Y = N 的大小標志著測量列的離散程度，是一個很重要的參量，當 N用表示時，置信概率就比100%小。要完整地表達一個物理量，應該有數值、單位和不確定度 N三個要素。為了比較測量結果精確度的高低，常常使用相對不確定度這一概念，其定義為 即 N/N4不確定度的估計方法（1）對直接測量結果不確定度的估計在相同條件下多次測量的情況根據前面講過的隨機誤差理論，我們用算術平均值N代表多次測量的最佳值： （1-3-2）其中n（n）為測量次數，Ni為第i次測量值。測量列的標準不確定度N可以由以下公式給出： （1-3-3）算術平均值N的標準不確定度為 （1-3-4）則測量結果表述為 只測一次的情況有時因條件所限，不可能進行多次測量（如熱學實驗過程對溫度的測量）；有時由于儀器精度太低，隨機誤差很小，多次讀數相同；有時對測量結果精度要求不高，也不必多次測量，只測一次就夠了。一次測量結果也要寫成N N 的形式，這時 N常用極限不確定度e來表示。e的取法一般有兩種：一種是取儀器出廠時的允差；另一種是根據儀器結構、環(huán)境條件、測量對象、測量者本人感官靈敏度作估計（兩者取一即可）。在計算不確定度時，有時需要在極限不確定度e與標準不確定度之間進行換算，對于正態(tài)分布，可以認為e=3；對于均勻分布可以認為，注意：這些換算只能用于直接測量量。以上我們只考慮了隨機誤差，實際上還有其它誤差，需要合成才能得到某測量量的綜合誤差，對這方面的內容我們不作要求。（2）間接測量的不確定度合成和結果的表述 設間接測量N，與直接測量xi的函數關系為 N = f（x，y，z）在直接測量中，我們以算術平均值x作為最佳值。在間接測量中，既然x, y, z，為各直接測量的最佳值，則可證明 N = f（x，y，z ） （1-3-5）為間接測量的最佳值，用N表示。即間接測量的最佳值由各直接測量的算術平均值代入函數關系而求得。 間接測量結果的表述與直接測量結果的表述形式同，即寫成N = NDN的形式，必要時給出EN。根據式（1-2-18）和（1-2-19），用不確定度Dx,Dy, Dz代替標準偏差sx ,sy ,sz，便得到我們在物理實驗教學中簡化計算間接測量不確定度DN的公式： （1-3-6） （1-3-7）常用函數的不確定度傳遞和合成公式如表1.3-1表 1.3-1 常用函數的不確定度傳遞和合成公式函數表達式不確定度的傳遞公式例題1.3-1 一個鋼球的體積V可以通過測量鋼球的直徑D求得。若測得D=（5.8930.044）mm (P68%)，求鋼球體積的測量結果。解：由鋼球體積公式及測量數據有由不確定度傳遞公式（1-3-6）有所以鋼球體積的測量結果是如果函數關系只是乘除沒有加減，先計算相對不確定度更為簡單,由（1-3-7）有： 例題1.3-2 已知一圓柱體的質量M=14.060.01(g)，高度H=6.1750.005(cm)，用千分尺(儀器誤差DI=0.004mm)測得直徑D的數據如下表，求圓柱體的密度r及不確定度Dr。注：上述各數據的置信概率P=95%。 次數i 1 2 3 4 5 6Di（cm）056420564805643056400564905646 解：先計算直徑D的測量結果，D的最佳值 當n = 6， P=95%時，查表得t = 2.45 DI =0.0004(cm)D的不確定度DD為圓柱的密度r的公式為其最佳值為函數關系為積商形式，先算 Dr/r 較方便。由公式（1-3-7）有密度r的測量結果為： 例題1.3-3 用流體靜力稱衡法測量一鋁塊的密度，計算公式為。測得鋁塊的質量m=（27.060.02）g (P0.95)，鋁塊浸沒于純水中的質量m=（17.030.02）g (P0.95)，水的密度查手冊得r0=（0.99970.0003）g/cm3 (P=0.95)(其不確定度是根據室溫的變動和水的純度情況估計的)。試求鋁塊的密度測量結果。 解：鋁塊的密度鋁塊密度的不確定度由（1-3-6）式有：于是得 鋁塊的密度測量結果為：1.4 有效數字及其表示1.4.1有效數字的一般概念任何一個物理量，對它進行測量得到的結果總是有誤差的，圖 1-4-1測得值的位數不能任意取，要由不確定度來確定，即測得值的末位數與不確定度的末位數對齊。例如圖1-4-1所示，用米尺測量某物體的長度，測量結果記為63.6mm或63.5mm、63.7mm都行，總之，頭兩位是準確數字，后一位是估計的，可疑的，存在誤差的。如果認為最后一位可疑，可以不記，只記準確數字63mm行不行呢？不行。因為物體確實比63mm長，比64mm短，記上最后一位就比較客觀地反映出實際情況。那么記63.55mm行不行呢？也不行。因為小數點后第一位已不可靠，它以下的數字寫出來便沒有多大意義了，況且，它是毫無根據的估計。因此，在記錄實驗數據時，不能少記也不可多記，要正確記錄和計算，必須用有效數字。 我們把測量結果中可靠的幾位數字加上可疑的一位數字統(tǒng)稱為測量結果的有效數字。有效數字的最后一位是可疑的，即有誤差，但它還是在一定程度上反映了客觀實際，因此，它也是有效的。例如1.35是三位有效數字，1.350是四位有效數字。必須注意，物理量的數值和數學上的數有著不同的意義。在數學上，1.35=1.350=1.3500=；在物理量表示上，1.351.3501.3500；因為它們有著不同的誤差。 有效數字的位數與十進制單位的變換無關，即與小數點的位置無關。因此，用以表示小數點位置的“0”不是有效數字。如 13.5mm=1.35cm=0.0135m都是三位有效數字，當“0”不是用作表示小數點的位置時，0與其它字碼 1，2，9具有同等地位。如1.0035是五位有效數字；4.00是三位有效數字等。顯然，數據最后的零既不能隨便加上，也不能隨便去掉。 1.4.2確定測量結果的有效數字的方法 由于不確定度本身只是對誤差的一個估計值，因此，在一般情況下，不確定度只取一到二位有效數字，再多就沒有意義了。對于明確寫出不確定度的測量結果也應使結果的最后一位或二位與所取不確定度值一位或二位對齊，多余的尾數應按“舍入規(guī)則”截取。例如在1.3節(jié)的例題3中，計算出鋁塊密度r的不確定度，若取Dr=0.007g/cm3， r值應取2.698 g/cm3；若取Dr=0.0064g/cm3， r值應取2.6979 g/cm3。當不確定度用兩位數字表達時，在測量結果中保留了兩位可疑數字，而多保留的一位可疑數字不計入有效數字的位數。按有效數字書寫的測量數據，有效數字的位數就與測量的準確度聯系起來。例如r=2.698 g/cm3是4位有效數字，它的相對不確定度Ur=0.24%，粗略地說是千分之幾。由此可大致推斷，2位有效字測量準確度為十分之幾（10-1），3位有效字測量準確度為百分之幾（10-2），4位有效字測量準確度為千分之幾（10-3），等等。因而按有效數字規(guī)定表示測量結果時，即使沒有給出不確定度值，也粗略地表達了測量的準確度。 1.4.3 數字截尾的舍入規(guī)則 熟知的“四舍五入”規(guī)則是“見五就入”，這會使從1到9的9個數字中，入的機會總是大于舍的機會，因而是不合理的?，F在通用的規(guī)則是：保留數字末位以后的部分，小于5則舍，大于5則入，等于5則把末位湊為對偶數，即末位是奇數則加1（五入），末位是偶數則不變（五舍）。例如：4.535取三位有效數字為4.54；13.525取四位有效數字為13.52。 1.4.4數值的科學表達形式 如果一個數很大或很小，而且有效數字位數也不多時，常用標準式表示。如某人測得真空中的光速c為299800 km/s，不確定度為：200 km/s，這個測量結果可表示為c = (2.9980.002）105 km/s這便是數值的科學表達方式，也稱為科學記數法。用這種方式記數時，通常在小數點前只寫一位數字。這種寫法不僅簡潔明了，而且使有效數字的定位和運算變得簡便。 1.4.5有效數字運算規(guī)則有效數字的運算如同間接測量結果誤差估算的問題一樣，也存在著誤差傳遞。在有效數字位數運算過程中，為了不致因運算而增加或損失有效數字位數，并盡量簡化運算過程，統(tǒng)一規(guī)定有效數字的運算規(guī)則如下：1加減法運算規(guī)則加減法中，和或差運算的有效數字中的可疑數字所占位數，與參加運算數值中可疑數字所占位數最高的相同。注：為了把可靠數字與可疑數字區(qū)分開，在下面對有效數字運算規(guī)則介紹中，算式中數字上面加橫線者為可疑數字。例1.4-1： 例1.4-2： 2 乘法運算規(guī)則兩個數相乘的積，其有效數字的位數一般與各數中有效數字位數最少的一個相同，但如果它們的最高位相乘的積大于或等于10，其積的有效數字應比諸因子中有效數字最少的多一位。例1.4-3： 例1.4-4：1 6 6483 2 4 3. 2 649922 4 9 63 5 99 2 3 2 .3 2 2 835 2 3 1 8.6211382 8 1 843 5 2 36 552 7 8.3除法運算規(guī)則兩個數相除，一般情況下商的有效數字的位數應和被除數及除數中有效數字位數較少者相同，但若被除數有效數字的位數小于或等于除數的有效數字位數，并且它的最高位的數小于除數的最高位的數，則商的有效數字位數應比被除數少一位。例1.4-5 4.52545.47=0.827 例1.4-6 127361=0.350. 3 5181 27 1 0 833 6118701805650361288820. 8 2734. 5 2 544 3 765. 471 4941 0 9440003829171016416928904. 乘方、開方運算規(guī)則乘方開方運算規(guī)則和乘、除法運算規(guī)則相同。例如 （4.256）2 =18.114 ； (54.39)1/2 = 7.375函數運算有效數字取位規(guī)定（1）對數函數 對數運算結果的有效數字，其小數點后面部分的位數與真值的位數相同。例如，lg56.7=1.754。當真數的第一位數大于“5”時，有效數字可以多取一位。例如，lg6.78=0.8312。（2）指數函數 指數運算結果的有效數字位數與指數的小數點后的位數相同（包括小數點后的零）。例如，x=6.25，小數點后有2位，所以ex|x=6.25=518.01282，取成e6.25=5.2102；x=0.000924，小