高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算.ppt

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度 一 方向?qū)?shù) 二 梯度 一 問題的提出 一塊長方形的金屬板 受熱 產(chǎn)生如圖溫度分布場 設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某 問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行 才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn) 處 問題的實(shí)質(zhì) 應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的 方向爬行 需要計(jì)算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率 從而確定出溫度下降的最快方向 引入兩個(gè)概念 方向?qū)?shù)和梯度 方向?qū)?shù)問題 梯度問題 討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題 二 方向?qū)?shù) 當(dāng)沿著趨于時(shí) 是否存在 記為 的方向?qū)?shù)為 方向?qū)?shù)是單側(cè)極限 而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限 原因 證明 由于函數(shù)可微 則增量可表示為 方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式 那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在 且有 計(jì)算公式 故有方向?qū)?shù) 兩邊同除以 得到 故x軸到方向l的轉(zhuǎn)角 解 方向l即為 所求方向?qū)?shù) 解 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 1 最大值 2 最小值 3 等于零 例2求函數(shù) 的方向?qū)?shù) 并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 故 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值 方向?qū)?shù)達(dá)到最小值 方向?qū)?shù)等于0 推廣 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義 對于三元函數(shù) 它在空間一點(diǎn) 沿著方向l的方向?qū)?shù) 可定義為 其中 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式 解 令 故 方向余弦為 求函數(shù) 處的指向外側(cè)的法向量 故 三 梯度 設(shè) 是方向l上的單位向量 當(dāng)時(shí) 有最大值 其中 由方向?qū)?shù)公式知 結(jié)論 x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值 梯度的模為 在幾何上表示一個(gè)曲面 曲面被平面所截 得曲線 它在xoy面上投影方程 等高線 稱為等值線 等值線 幾何上 稱為等高線 例如 等值線 上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為 表明 梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的 方向?qū)?shù) 值線 問題 上山時(shí) 如何選擇最快的方向 計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略 瞎子下山法 類似于二元函數(shù) 此梯度也是一個(gè)向量 其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致 其模為方向?qū)?shù)的最大值 梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 解 由梯度計(jì)算公式得 故 則在 處梯度為 例4求函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度 并問在何處梯度為零 一 方向?qū)?shù) 注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別 小結(jié) 1 定義 2 計(jì)算公式 二 梯度 注意梯度是一個(gè)向量 定義 方向 x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切 模 三 方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系 方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致 模為方向?qū)?shù)的最大值 梯度 其中 思考題 問函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大 答 梯度方向 答 作業(yè) P 51習(xí)題8 7 1 4