2013遼寧高考數(shù)學文科試題及解析.doc

絕密啟用前2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù) 學（供文科考生使用）樂享玲瓏，為中國數(shù)學增光添彩！免費玲瓏3D畫板，全開放的幾何教學軟件，功能強大，好用實用第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合 則（A） （B） （C） （D）2.復數(shù)的模為（A） （B） （C） （D）3.已知點則與向量同方向的單位向量為（A） （B） （C） （D）4.下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題： 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；其中的真命題為（A） （B） （C） （D）5.某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是（A） （B） （C） （D）0.020.0150.010.005頻率組距O 20 40 60 80 100 成績/分6.在，內(nèi)角所對的邊長分別為且，則 A B C D 7.已知函數(shù)則A B C D 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入則輸出的A B C D 否是開始輸入輸出S結(jié)束9、已知點.若ABC為直角三角形，則必有A B C D10、已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上. 若則球的半徑為A B C D 11、已知橢圓的左焦點為F， 與過原點的直線相交于A,B兩點， 連接AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，則的離心率為（A） （B） （C） （D）12、已知函數(shù)設(shè)表示中的較大值，表示中的較小值，記得最小值為得最小值為,則（A） （B） （C） （D）第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題-第22題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題-第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 .14、已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和.若是方程的兩個根，則 .15、已知為雙曲線的左焦點，P,Q為上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A（5,0）在線段PQ上，則PQF的周長為 .16、為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的認為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 .三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）設(shè)向量（I）若求的值； （II）設(shè)函數(shù)求的最大值.18（本小題滿分12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.（I）求證：平面（II）設(shè)Q為PA的中點。G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.19（本小題滿分12分）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取3道題解答.試求：（I）所取的2道題都是甲類題的概率；（II）所取的2道題不是同一類題的概率.20（本小題滿分12分）如圖，拋物線點在拋物線上，過M作的切線，切點為A,B(M為原點時，A,B重合于).當時，切線MA的斜率為.（I）求P的值；（II）當M在上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A,B重合于時，中點為）.21（本小題滿分12分）（I）證明：當 時，（II）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑。22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB為直徑，直線CD與相切于E.AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明：（I）（II）22（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中以為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系.圓，直線的極坐標方程分別為.（I）求與交點的極坐標； （II）設(shè)P為的圓心，Q為與交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求的值. 22（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)其中（I）當時，求不等式的解集； （II）已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值.2013高考數(shù)學遼寧卷（文科）解析參考答案一選擇題1. 答案B 解析 由已知，所以，選B。2. 答案B 解析由已知所以3 . 答案A解析，所以，這樣同方向的單位向量是4 . 答案D解析設(shè)，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯；，所以是遞增數(shù)列，正確5 . 答案B 解析第一、第二小組的頻率分別是、，所以低于60分的頻率是0.3，設(shè)班級人數(shù)為，則，。6 . 答案A 解析邊換角后約去，得，所以，但B非最大角，所以。7. 答案D解析所以，因為，為相反數(shù)，所以所求值為2.8 . 答案A 解析的意義在于是對求和。因為，同時注意，所以所求和為=9 . 答案C 解析若A為直角，則根據(jù)A、B縱坐標相等，所以；若B為直角，則利用得，所以選C10 . 答案C 解析由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點M。計算AM=，由垂徑定理，OM=6，所以半徑R=11 . 答案B 解析由余弦定理，AF=6，所以，又，所以12 . 答案C 解析頂點坐標為，頂點坐標，并且與的頂點都在對方的圖象上，圖象如圖， A、B分別為兩個二次函數(shù)頂點的縱坐標，所以A-B=方法技巧（1）本題能找到頂點的特征就為解題找到了突破口。（2）并不是A，B在同一個自變量取得。二填空題13. 答案 解析直觀圖是圓柱中去除正四棱柱。14 . 答案63解析由遞增，所以，代入等比求和公式得15 .答案44解析兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得，所以周長為16 .答案10 解析設(shè)五個班級的數(shù)據(jù)分別為。由平均數(shù)方差的公式得，顯然各個括號為整數(shù)。設(shè)分別為，則。設(shè)=，由已知，由判別式得，所以，所以.三解答題17解：（）由，.及，得，又，從而，所以.（）,當時，取最大值1，所以的最大值為.18. 解：（）由AB是圓的直徑，得，由平面ABC，平面ABC,得PABC,又PAAC=A,PA平面PAC, AC平面PAC,所以證平面PAC. （）連接OG并延長交AC于點M,連接QM,QO,由G為AOC的重心，得M為AC中點.由Q為PA中點，得QMPC,又O為AB中點，得OMBC.因為QMMO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因為QG平面QMO,所以QG平面PBC.19. 解：（）將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道一類題依次編號為5.6，任取2道題，基本事件為：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個，所以P（A）= （）基本事件向（I），用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8個，所以P(B)=.20. 解：（）因為拋物線上任意一點（x,y）的切線斜率為，且切線MA的斜率為，所以A點坐標為，故切線MA的方程為 .因為點在切線MA 拋物線C上，于是 由得=2.（）設(shè)N(x,y), 由N為線段AB中點知 切線MA、MB的方程為 由得MA、MB的交點M（）的坐標為，因為點M（）在C上，即，所以 由得 當時，A、B重合于原點0，AB重點N為0，坐標滿足因此AB中點N的軌跡方程為.21（）證明：記F（x）=當時，在上是增函數(shù)； 當時，在上是減函數(shù). 又，所以當時，即. 記，則當時，所以在上是減函數(shù)，則，即.綜上，（）解法一:因為當時.所以，當時，不等式對恒成立.下面證明，當時，不等式對不恒成立.因為當時，所以存在（例如取和中的較小值）滿足，即當時，不等式對不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是解法二:記，則.記，則.當時，因此.于是(x)在0,1上試減函數(shù)，因此，當x(0,1)時，(x)(0)=a+2,故當a-2時，(x)-2時，不等式對不恒成立.由于在上是減函數(shù)，且，當時，所以當時，因此在上是增函數(shù)，故當-26sin1-2cos1-時，0，故存在使，則當0，所以f(x)在0,上是增函數(shù)，所以當時，.所以，當a-2時，不等式.綜上，實數(shù)的取值范圍是22證明：（）由直線CD與O相切，得CEBEAB,由AB為O的直徑，得AEAB,得EAB+EBF=；又EFAB,得FEB+EBF=,從而FEB=EAB，故FEB=CEB.（）由BCCE,EFAB, FEB=CEB，BE是公共邊，得，所以.類似可證，得. 又在中，