石墨烯電子的能帶和狄拉克方程.doc

石墨烯電子能帶之?dāng)?shù)理演繹 （2015年2月20日） （為苦研物理學(xué)理論的探路者提供數(shù)理基礎(chǔ)的參考） 作者： 北京東之星應(yīng)用物理研究所 伍 勇 ， 賀 寧（計(jì)算機(jī)軟件工程師）1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢 圖1中（1）這里=1.42是C-C最近鄰原子間距，即正六邊形單胞的邊長(zhǎng)（晶格常數(shù)）。由正格子基矢（1）可計(jì)算出倒格子基矢（2）：（2） 由此計(jì)算圖2第一布里淵區(qū)的兩個(gè)狄拉克(Dirac)點(diǎn)，的坐標(biāo)是：（3）下面能帶計(jì)算表明只有第一布里淵區(qū)的六個(gè)頂點(diǎn)在費(fèi)米面上，稱(chēng)費(fèi)米點(diǎn)，又稱(chēng)Dirac點(diǎn)或()點(diǎn)2. 石墨電子緊束縛近似二次量子化形式的哈密頓量（4） 上式還可表為矩陣形式： 模型不考慮電子自旋，表示只對(duì)最近鄰格點(diǎn)的電子躍遷求和，是單電子2pz軌道能量石墨晶格是由兩類(lèi)幾何環(huán)境彼此不等價(jià)的碳原子A，B構(gòu)成，任意選定一個(gè)格點(diǎn)位矢是的A原子為參考原子，環(huán)繞它的是三個(gè)最近鄰B類(lèi)原子,和，如圖3.（）是位于（）的電子的產(chǎn)生（消滅）算符，（4）中的對(duì)算符表示的物理過(guò)程描述被在處消滅一個(gè)電子后又在由產(chǎn)生一個(gè)電子，此過(guò)程等同于電子由躍遷到最近鄰，躍遷能=2.8eV?？紤]電子算符的傅里葉變換:（5） 這里N是晶格原胞數(shù)。躍遷發(fā)生在A，B兩個(gè)不等價(jià)子晶格之間，A，B兩原子相對(duì)位矢(圖3)：（6)將（5），（6）代入（4），將哈密頓量傅里葉展開(kāi)，先考慮躍遷項(xiàng)利用公式：哈密頓躍遷項(xiàng)化為：(7) 類(lèi)似計(jì)算哈密頓的原子位能項(xiàng)，可得(8) 由(7）（8）代入(4),得到動(dòng)量表象的緊束縛模型二次量子化哈密頓是(9) 3求解薛定諤方程和能量本征值 石墨烯是單層2維晶體，碳原子的，軌道通過(guò) 軌道雜化形成共面鍵，而電子形成垂直于共價(jià)平面之上的離域大鍵。象鋪墊的剛性平面之上自由流動(dòng)的電子氣，電子參與石墨烯的一切外在物理過(guò)程和化學(xué)反應(yīng)，決定了石墨烯的電子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。 根據(jù)電子薛定諤定態(tài)方程(10) 石墨烯一個(gè)原胞內(nèi)包含兩個(gè)不等價(jià)原子A，B，其2Pz電子態(tài)基矢分別選取為：， 這里 是粒子真空態(tài)。（9）表達(dá)的緊束縛哈密頓可以寫(xiě)為矩陣形式：(11) 設(shè)系統(tǒng)的電子態(tài)矢量（波函數(shù)）為： 代入薛定諤定態(tài)方程（10）有(12) 由矩陣表達(dá)式（11）及方程 (12）有非平凡解的條件得到久期方程如下：(13) 下面先計(jì)算哈密頓矩陣（11）的矩陣元，將（9）代入（11），同樣計(jì)算方法可得，將以上結(jié)果代入（13）得：(14) 對(duì)應(yīng)石墨烯是理想結(jié)構(gòu)的情況，可以選取原子軌道能級(jí) 作為 能帶能量的參考點(diǎn)。展開(kāi)（14），解得石墨烯的能帶：其中經(jīng)過(guò)初等三角函數(shù)和差運(yùn)算后，得到石墨烯能帶，即 電子的色散關(guān)系: (15) 作者將（15）嘗試用Mathematica軟件作圖，如圖4所示，-號(hào)對(duì)應(yīng)較低軌道能譜，+號(hào)對(duì)應(yīng)較高的反鍵軌道能譜.。 作者曾在參考文獻(xiàn)（2）（3）粗略計(jì)算過(guò)石墨烯原子片的電子態(tài)密度（Density of states (DOS)）,如圖5所見(jiàn)，EF以下的價(jià)帶（）完全被電子占據(jù)，近滿(mǎn)帶，而EF以上導(dǎo)帶（）空空蕩蕩，視為空穴占據(jù)，近空帶，導(dǎo)帶與價(jià)帶是連通的，在狄拉克點(diǎn)附近DOS接近零。 對(duì)于零溫，由（15）描述的能帶， 帶與帶關(guān)于E=EF=0完全對(duì)稱(chēng)，二者在布里淵區(qū)高度對(duì)稱(chēng)的六個(gè)K點(diǎn)相交，費(fèi)米面也剛好穿過(guò)，或說(shuō)費(fèi)米面在這里退縮為共面的六個(gè)點(diǎn)，位于價(jià)帶導(dǎo)帶之間，成為石墨烯導(dǎo)帶和價(jià)帶的對(duì)稱(chēng)面，所以石墨烯是零帶隙的半導(dǎo)體，因而有卓越的導(dǎo)電性。 在K點(diǎn)附近，圖（4）所描繪的能量與動(dòng)量的色散關(guān)系是線性的，這直線在K點(diǎn)繞布里淵區(qū)(B.Z)平面的垂線旋轉(zhuǎn)一周，形成對(duì)頂?shù)碾p圓錐，稱(chēng)狄拉克錐。這種獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)，決定了石墨烯電子的無(wú)質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的屬性，不能再用傳統(tǒng)薛定諤方程描述，必須建立石墨烯的狄拉克方程，關(guān)于石墨烯2維狄拉克方程的數(shù)理演繹請(qǐng)見(jiàn)我們將撰寫(xiě)上傳的后續(xù)文檔。 圖6是用MATLAB軟件制作的能帶圖，它在復(fù)制到Word過(guò)程中，在狄拉克錐尖端細(xì)節(jié)丟失較多,但海浪與彩虹交映齊飛的景象，可能更顯示石墨烯的獨(dú)特不凡，我們?cè)敢鈱⑺尸F(xiàn)在這篇文檔里。 參考文獻(xiàn)1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.: The electronic properties of graphene, 14 January 20092). 伍 勇：堿金屬在石墨表面化學(xué)吸附的EHT研究，復(fù)旦學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），No.2 /20003).伍 勇：Theoretical Study on Electronic Properties of Potassium Adsorption on Graphite Surface, 發(fā)光學(xué)報(bào)，No.1 /200