基于廣場噴泉設(shè)計的數(shù)學(xué)模型.pdf

第二屆湖北省土木工程爭業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集2 0 0 9 年6 月 基于廣場噴泉設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 葉俊 劉豐 張俊峰 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院土木工程 湖北武漢4 3 0 0 7 2 摘要 本文在露天廣場上的噴泉射出的水流會受風影響的背景下討論了噴泉噴出水流的距離和高度與風力強度 水管直徑 風速計位置及水滴半徑之問的關(guān)系 首先從實際噴泉模型中抽象出一個標準形式的噴泉模型 通過建 立的算法來調(diào)整水速防止水滴超出限定的范圍 關(guān)鍵詞 單噴流噴泉 豎直噴射 斜向噴射 1 引言 在寬闊的露天廣場上裝飾噴泉把水噴向高空 刮風時 風會把水花從噴泉吹向過路行人 在鄰近一 棟樓房的頂上安裝有一個風速計用于測量風的速 度和方向 與風速計相連的一個機械裝置可控制噴 泉射出的水流 為行人在賞心悅目的景象和淋水浸 濕之間提供可以接受的平衡 即 風刮得越猛 水 量和噴射高度就越低 從而較少的水花落在水池范 圍以外 要求運用風速計給出的數(shù)據(jù)設(shè)計一個算 法 隨著風力條件的變化來調(diào)整由噴泉射出的水 流 2 模型建立 考慮到水在空氣中運動情況 將其運動的過程 分為上升和下降兩個階段 在上升階段 由于高處的 水柱速度小且其重力對下面部分的水柱有影響 水 的粘滯力足以使水結(jié)合在一起 故水一直呈柱狀 在最高點處 豎向速度變?yōu)? 水開始向下運動 經(jīng)過一小段距離后 由于水滴之間的粘滯力不足以 將水柱約束成一個整體 在重力的作用下 水柱迅 速地變?yōu)樗?假設(shè)每個水滴的大小都是一樣的 于是 在下降階段 認為是水滴的運動過程 實際 上 水在從管口噴出來時 一方面要受管壁粘滯阻 力的作用 另一方面要受到空氣卷積的作用 這樣 不可避免地會形成水花 由于水花較少 忽略這一 部分的影響 另外 水柱在向下運動而形成小水滴 經(jīng)過的這部分距離由于很小 因此也忽略不計 即 認為水柱到達最高點后就全部成了水滴 因此 在 下降階段 可以僅考慮一個水滴的運動情況 2 1 豎直噴射 此時的噴泉模擬圖如圖l 所示 圖1 噴泉模擬圖 1 上升階段 在上升階段 由于水柱重力的影響遠遠比空氣 阻力大 因此不考慮空氣阻力而僅僅考慮重力和風 力的作用 現(xiàn)給出流體力學(xué)中的一個公式 流體 型阻力計算公式 根據(jù)流體力學(xué)理論 空氣作為一種特殊的流 體 運動在其中的物體所受的粘滯力滿足如下普遍 公式 1 D 寺白風 1 2 彳 Z 其中 D 表示物體所受的粘滯力 C d 為型阻 系數(shù) 一般取為0 2 8 0 3 4 風為空氣的密度 一 般情況下取1 2 9 k g m 3 表示運動的物體相對于 空氣的速度 A 表示物體運動時在風的方向上的投 影面積 卜 斗 風力 葉 o 圖2 水柱 元受力圖 作者簡介 張俊 男 本科生 武漢大學(xué)土木建筑學(xué)院土木工程專業(yè) 通信聯(lián)系人 傅旭東 1 9 6 6 一 男 教授 垮士生導(dǎo)師 武漢大學(xué)土木工程建筑學(xué)院土木工程專業(yè) 2 0 0 9 年6 月第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集4 5 現(xiàn)截取水柱的一個長為d 微元作為研究對 象 設(shè)水在水平方向上任意時刻的加速度為a 在水平方向上任意時刻的速度為1 微單元的質(zhì) 量為 l l 迎風的面積為彳 在豎直方向上由于忽 略了空氣阻力的作用 僅有重力起作用 于是設(shè)水 出管時的初速度為v o 運動到最高點需要的時間為 t 最高點距噴水口為H 最高點水平速度為匕o 重力加速度用g 表示 于是在水平方向上單元體作 變加速運動 在豎直方向上作勻減速運動 其受力 如圖2 所示 利用牛頓第二定律 可以得到以下關(guān) 系 水平方向上 D j 1c 幾 v 叫 2A m a a x 魯 豎直方向上 f 一 一一 g 2 日 上L 其中 Kl f 0 0 C P w A 1 廠 V o 瓦 石再贏 o 現(xiàn)設(shè)水柱在上升階段水平位移為S l 于是有 島 J D g 叱 d t 小一石一卜 一場 哆 二 一 2 m l gC P w A n 警2 mg L j 這里 取一般情況下的數(shù)據(jù) 型阻系數(shù)C o 3 g 1 0 州j 2 p 1 0 0 0 k g l m 3 幾 1 2 9 k g m 3 由幾何關(guān)系 又可得到 彳 J 砂 瑪 氣1 呀鏟 砂 將以上數(shù)據(jù)代入方程 4 中 得到 s 業(yè)一4 0 58 d 1 l0 l n 三 蘭魚蘭 竺 生 5 d 2 下降階段 在下降階段 由于水滴的半徑通常很小 為 l m m 2 r a m 之間 空氣的阻力相對于重力和風 力均不可忽略 為此取一個水滴作為研究對象 其 受力為重力 風力 空氣阻力 設(shè)其質(zhì)量為m 引入符號Z 表示豎直方向上的空氣阻力 表示 在豎直方向上任意時刻的速度 a 表示豎直方向上 任意時刻的加速度 在水平方向上由于空氣阻力相 對于風力很小 故可以忽略不計 水滴的受力如圖 3 所示 風力 o 葉 由型阻公式可得豎直方向上的空氣阻力為 t i 1 c p v i A 根據(jù)水滴在豎直方向上的受力 運用牛頓第二 定律有 研 口 加 g i 1c 尸 y 2 以 歷 d r 礦y研2 口 2 加2 9 i c 尸w 叫 y 以 歷2 礦 6 又水滴從上升到的最高點H 開始下落 故 日 r r 翁 聯(lián)立 6 7 可得 4 6 J J E 十 I 1 k Z 2 0 0 9 H 哮卜I1 麓 m 2 x 1 cP v 一v 1 2 9 舭 r 一 2a t 劉十小水珠 其半往為r 則 t Pz 一 一 z 2 代入 9 式 于 4 z2 巧而i 2 帝 南 3 式和 1 0 式 可得 r 叫p A 一吁 1 nov 弛g b 型l 3 cp t l 3 式巾的t o 由 8 式?jīng)Q定 帶八柞個數(shù)據(jù)并用 m a t l a b 求觶得到 一 笪生 聯(lián)血 5 和 i2 式 得到水滴運動的最遠 距離為 5 B v V o 一4 0 5 8d 5 2 置 是2 1 0 1 n 2 4 6 x l O J S v o v f 13 d 6 1 0 6 v gv 考慮到接近地面的風受到障礙物和地表粗糙 性的影響會減緩風速 在距離地晰5 公里芹右的犬 氣層中 風速就不受地球表面障礙物和粗糙性的影 響了 舟十兩層之間的空問 風速隨著高度的變化 而變化 這種現(xiàn)象被稱為垂直風剪切面 風速分布 示意胃如圖4 所示 通過海爾曼的潛能公式可以計算不周高度上 的風速 v 其中 h 是噴泉所在位置的高度 v 是h 高度L 的平均M 速 h f 是風向計的高度 v m 是高度 h 處的風向計測樽的平均風速 d 足高度變化指 這樣 通過簿爾曼的潛能公式就將側(cè)風儀測得 的樓頂?shù)腗 迷轉(zhuǎn)化成了噴泉處的風速 考慮到要保持噴泉的美觀性 因此應(yīng)使噴泉射 出的水流在落在水池范幽內(nèi)的前提F 雎可能的高 則目標函數(shù)為 m a xH 為了使行 不被噴泉淋濕 應(yīng)談使噴泉射山的 水流的水托落地的昂遠點s 在水池的半徑R 以內(nèi) 閉 此得到約束條件為 S R 綜上可以得到豎直噴射情況的口標函數(shù)為 l 2 0 0 9 年6 月第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集 4 7 m a xH s 1 s 二叢一4 0 5 8 d 1 0 1 2 4 6 x 1 0 巧v o v ll m 一 d 6 x 1 0 巧v v H 笪 3 模型求解和結(jié)果分析 對豎直噴射情況的求解 根據(jù)前面 1 3 式中S 與v o 的關(guān)系可以畫出兩 者的關(guān)系曲線如圖5 所示 圖5 風速與出口水速的關(guān)系 考慮到模型中有水滴半徑 水管直徑 風速計 高度和風速計測得的風速四個變量 每次取其中一 個變量進行討論 得到當噴射距離剛好為水池半徑 時 不同的變量與噴泉的水流初速和高度之間的關(guān) 系 假定噴水池的半徑為5 m 則分以下四種情況討 論當噴射距離達到5 m 時各個量之間的關(guān)系 1 取水管直徑為變量 得到結(jié)果如表一所示 表一水管直徑為變量時的結(jié)果 水滴半徑r m 0 10 0 0 l0 l 水管直徑嘶m O 0 1 5O 0 l O0 5 風速計高度 o m 1 01 01 0 風速計測得風速吁o m s 1 01 01 0 噴水池半徑R m 555 風速吩 m s 1 0 1 01 0 水流初速度 m s 6 7 1 5 4 l3 7 2 噴泉高度H m 2 2 61 4 70 6 9 噴泉噴射距離s I n 555 從表一可以看出 當水滴半徑 風速計高度和 風速計測得的風速一定時 水管直徑越大 要達到 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達 到的高度越高 2 取水滴半徑為變量 得到結(jié)果如表二所示 衰二水滴半徑為變量時的結(jié)果 水滴半徑r m 0 l O o o l 50 2 水管直徑d m 0 0 1 50 0 1 5O 0 1 5 風速計高度以o m l O1 01 0 風速計測得風速v l o m s 5 5 5 噴水池半徑R m 555 風速v l m s 555 水流初速度v o r r 以 1 3 4 31 6 2 4 1 8 5 5 噴泉高度H 9 0 21 3 1 91 7 2 0 噴泉噴射距離S 55 從表二可以看出 當水管直徑 風速計高度和 風速計測得的風速一定時 水滴半徑越大 要達到 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達 到的高度越高 3 取風速計的高度為變量 得到結(jié)果如表三 所示 表三風速計的高度為變量時的結(jié)果 水滴半徑 m O 0 0 1 O 0 0 10 0 0 l 水管直徑d m O 0 1 50 0 1 50 0 1 5 風速計高度 o m 1 0 1 5 2 0 風速計測得風速v o m s 1 01 01 0 噴水池半徑R m 55 5 風速v m s 1 0 9 4 4 8 2 9 0 7 5 2 水流初速度1 I D m s 6 7 l7 1 17 4 0 噴泉高度H 2 2 62 5 32 7 4 噴泉噴射距離s m 555 從表三可以看出 當水滴半徑 水管直徑和風 速計測得的風速一定時 風速計高度越高 要達到 1 旦 6一 豫 驢 腿 4 8第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集2 0 0 9 年6 月 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達 到的高度越高 4 取風速計測得的風速為變量 得到結(jié)果如 表四所示 表四風速計測得的風速為變量時的結(jié)果 水滴半徑如 0 l0 l0 l 水管直徑d m O 0 1 5O 0 1 50 0 1 5 風速計高度 o m 1 01 0l O 風速計測得風速v 0 m s 1 053 噴水池半徑R m 555 風速吁 m s l O53 水流初速度V o m s 6 7 l1 3 4 42 2 4 0 噴泉高度H m 2 2 69 0 22 5 0 7 噴泉噴射距離S m 555 從表四可以看出 當水滴半徑 水管直徑和風 速計的高度一定時 風速計高度越大 要達到5 m 的 噴射距離所需的水流的初速度越小 噴泉能達到的 高度越低 根據(jù)以上從四個不同的角度對水流初速度的 影響的分析發(fā)現(xiàn)所得的結(jié)果與所建立的模型一致 4 模型評價與推廣 本文在單噴流噴泉的模型上 綜合考慮多方面 的因素建立了風力與噴泉受力關(guān)系的模型 并分析 討論了各因素與噴泉水流初速度及噴泉高度之間 的關(guān)系 最后根據(jù)建立的模型 選取了合理的數(shù)據(jù) 對其進行驗證 結(jié)果所得到的結(jié)論與所建立的模型 一致 參考文獻 王保國 劉淑艷 黃偉光 氣體動力學(xué) M 北京 北 京理工大學(xué)出版社 2 0 0 5 8 郭烈錦 兩相與多相流體動力學(xué) M 西安 西安交通 大學(xué)出版社 2 0 0 2 1 2 s a l c h J M 流體流動手冊 M 1 北京 中國石化出版社 2 0 0 4 陳懋章 粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ) M 北京 高等教育出 版社 2 0 0 6 董志勇 射流力學(xué) M 北京 科學(xué)出版社 2 0 0 5 李大美 流體力學(xué) M 武漢 武漢大學(xué)出版社 2 0 0 4 M a t h e m a t i c a lm o d e lb a s e do nt h ed e s i g no fs q u a r e f o u n t a i n Y EJ u L I UF e n g Z H A N GJ u n f e n g C i v i lE n g i n e e r i n ga n dA r c h i t e c t u r eI n s t i t u t e W u h a nU n i i v e r s i t y W u h a n 躬0 0 7 2 C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e r w ed e v i s eaf o u n t a i nc o n t r o la l g o f i t h mt om o n i t o rw i n dc o n d i t i o n sa n de n s u r et h a ta f o u n t a i na tt h et m n t e ro fap l a z af i r e sw a t e rh i g he n o u g ht ob ed a