山東省新泰市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)四 數(shù)列練習(xí) 理（含解析）.doc

數(shù)學(xué)熱點(diǎn)四 數(shù)列【考點(diǎn)精要】考點(diǎn)一. 等差、等比數(shù)列的定義. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和在公差不為0時(shí)是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)；一般地，有結(jié)論“若數(shù)列的前n項(xiàng)和. 則數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是；在等差數(shù)列中,也是等差數(shù)列. 在等比數(shù)列中公比等于-1時(shí)是一個(gè)很特殊的情況要予以關(guān)注. 如是等比數(shù)列，則就不一定是等比數(shù)列. 考點(diǎn)二. 數(shù)列的遞推關(guān)系. 解決遞推數(shù)列問題的基本原則就是對數(shù)列的遞推式進(jìn)行轉(zhuǎn)換. 把遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)換為幾類基本數(shù)列進(jìn)行處理. 轉(zhuǎn)化的常用方法有：(1)待定系數(shù)法. 如可以通過待定系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為形如的等比數(shù)列. (2)取倒數(shù)法，如對的基本變換思想是先取倒數(shù)，再通過待定系數(shù)法變換為. (3)觀察變換法，如，可以變換為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，還有取對數(shù)法等解遞推數(shù)列問題要注意選取合適的變換遞推式的方法，通過轉(zhuǎn)換進(jìn)行解答，在變換時(shí)要小心謹(jǐn)慎、注意的取值，不能出錯考點(diǎn)三. 分段數(shù)列. 通過考查分段函數(shù)進(jìn)而明晰數(shù)列在不同的范圍內(nèi)賦予不同的意義. 如：數(shù)列中，= 求.考點(diǎn)四. 數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和. 數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式的本身就是一種特殊意義的方程，這種方程的解具有整數(shù)性及多元化性. 高考中諸多題目均能涉及. 數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和s2，則_（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的. 二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）（2）分組求和法： （答：）（3）倒序相加法：_（答：）（4）錯位相減法：（1）設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：，；）.（5）裂項(xiàng)相消法：（1）求和： （答：）；（2）在數(shù)列中，且s，則n_（答：99）（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：求和： （答：）如：設(shè)為公比q1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_. 考點(diǎn)五等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法： ；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì). 考點(diǎn)六. 考查數(shù)列（其中均為常數(shù)，. 一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，進(jìn)行化簡求解. 巧點(diǎn)妙撥1根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納； 掌握數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系. 2根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；注意掌握一些數(shù)列求和的方法，如：(1)分解成特殊數(shù)列的和，(2)裂項(xiàng)求和，(3)錯位相減法求和，（4）利用數(shù)列的周期性求和，（5）利用正整數(shù)的方冪和公式求和等. 3以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用. 4. 求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng). 5. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對不等式的證明有比較法、放縮法，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式. 6. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個(gè)知識點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個(gè)方向. 【典題對應(yīng)】例1. (2014 山東理19) 已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列. （i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）令=求數(shù)列的前項(xiàng)和. 命題意圖：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，分情況討論求和，考查學(xué)生的衍生數(shù)列的應(yīng)對策略以及分類討論思想. 解析：（i）解得（ii） 名師坐堂：數(shù)列求和的方法較多，運(yùn)用何種方法關(guān)鍵是分析好通項(xiàng)公式，當(dāng)通項(xiàng)公式中含有時(shí)要進(jìn)行討論. 例2(2012山東理20) 在等差數(shù)列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）對任意mn，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間（9m，92m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和sm. 命題意圖：主要考查等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)及數(shù)列求和的方法. 解析：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則，于是，即.（）對任意mn，則，即，而，由題意可知，于是，即. 名師坐堂：歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力. 例3（2013山東理）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.命題意圖：主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生運(yùn)用錯位相減法求和的能力.解析: ()設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所以時(shí), 故, 分所以, 則 兩式相減得 整理得 .所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和.名師坐堂：將一個(gè)數(shù)列通過某種運(yùn)算得到另一個(gè)數(shù)列并求其和，此類問題往往轉(zhuǎn)化成列項(xiàng)求和、分組求和、錯位相減等，此類問題的關(guān)鍵是能看透新生數(shù)列的特性. 例4. （2011全國大綱理20） 設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)命題意圖：主要考查等差數(shù)列與不等式的結(jié)合應(yīng)用. 解析：（i）由題設(shè)即是公差為1的等差數(shù)列.又所以（ii）由（i）得，名師坐堂：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰簡單的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第 （）問，采用將相鄰的兩項(xiàng)相消，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式. 【命題趨向】1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說明中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”. 但實(shí)際上，從近兩年各地高考試題來看，主要加大了對“遞推公式”的考查. 2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求. 3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題. 4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和. 5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn). 今后在這方面還會體現(xiàn)的更突出. 7. 在題型設(shè)計(jì)方面、選擇題和填空題主要考查數(shù)列的概念“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果. 等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識與基本技能，突出“小、巧、活”的特點(diǎn)；解答題常把數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識結(jié)合在知識交匯處命題綜合考查應(yīng)用意識、推理能力和數(shù)學(xué)思想方法. 【直擊高考】1. 如果數(shù)列滿足，且(2)，則第10項(xiàng)等于( )a. b. c. d.2. 已知是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，則的值為( )a b69 c93 d189 3. 在數(shù)列中，已知，則等于( )a. b. c. d.4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是,若三點(diǎn)共線, 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且(直線不過點(diǎn))，則等于( )a. b. c. d. 5. 數(shù)列的首項(xiàng)為， 為等差數(shù)列且 .若則，則( )a0 b3 c8 d116. 函數(shù)滿足=（nn*）且，則為( )a95b97c105d1927. 知函數(shù). 項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差. 若，則當(dāng) 時(shí)，. 8. 有一個(gè)數(shù)陣排列如下：則第20行從左至右第10個(gè)數(shù)字為_9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且過點(diǎn)的切線的斜率為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，求的通項(xiàng)公式.10. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意正整數(shù),點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.11. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a13，(nn*)，設(shè)bn，snbbb.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：sn.12. 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意，都有,，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和. ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)(為非零整數(shù)，)，試確定的值，使得對任意，都有.數(shù)學(xué)熱點(diǎn)四 數(shù)列【直擊高考】1. 解析：由得：，所以為等差數(shù)列，故應(yīng)選d.2. 解析：因?yàn)?，所以，所以，故選c.3. 解析：，.4解析：b. 5. 解析：由已知知由疊加法既得.選b。6. 解析：bf（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=977. 解析：函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，等差數(shù)列有27項(xiàng)，若，則必有，。8. 解析：答案426第1斜行有一個(gè)數(shù)字，第2斜行有2個(gè)數(shù)字，第n斜行有n個(gè)數(shù)字，第20行從左向右數(shù)第10個(gè)數(shù)字在第29斜行，為倒數(shù)第10個(gè)數(shù)字，435，第20行從左向右數(shù)第10個(gè)數(shù)字為4359426.9. 解析：（1）點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，,當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2）由求導(dǎo)可得過點(diǎn)的切線的斜率為，.由4，得-得： . （3）,.又，其中是中的最小數(shù)，是公差是4的倍數(shù)，又，,解得27. 所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則 ，所以的通項(xiàng)公式為.10解析：(1)由題意可得： 時(shí), 得， ， 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， （2）由(1)知 若為等差數(shù)列， 則成等差數(shù)列, 得 又時(shí)，顯然成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.