【中考12年】天津市2001中考數(shù)學試題分類解析 專題9 三角形.doc

2001-2012年天津市中考數(shù)學試題分類解析匯編（12專題）專題9：三角形一、選擇題1.（天津市2002年3分）sin450的值等于【 】（a） （b） （c） （d）1【答案】b。【考點】特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥扛鶕?jù)特殊角度的三角函數(shù)值解答即可：sin45=。故選b。2.（天津市2002年3分）如圖，在abc中，ab=ac,a=360，bd、ce分別為abc與acb的角平分線，且相交于點f，則圖中的等腰三角形有【 】（a）6個 （b）7個 （c）8個 （d）9個【答案】d?！究键c】等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)?！痉治觥坑梢阎獥l件，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定，角的平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等于180得到各個角的度數(shù)，應(yīng)用度數(shù)進行判斷即可： ab=ac，a=36，abc是等腰三角形，且abc=acb=72。 bd是abc的角的平分線，abd=dbc=abc=36=a。 ad=bd。adb是等腰三角形。 同理，aec是等腰三角形。 dbc=36，acb=72，bdc=1807236=72=acb。 bd=bc。bdc是等腰三角形。 同理，bce是等腰三角形。 fbc=fcb=36， bf=cf。bcf是等腰三角形。 bef=bfe=cdf=cfd=72，be=bf，cd=cf。bef，cdf是等腰三角形。 共8個等腰三角形。故選d。3.（天津市2003年3分）sin30的值等于【 】 （a） （b） （c） （d）1【答案】d。【考點】特殊角的三角函數(shù)值。【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接作答： sin30=。故選d。4.（天津市2004年3分）2sin450的值等于【 】 (a) 1 （b) (c) (d) 2【答案】b。【考點】特殊角的三角函數(shù)值.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可：2sin45=2=。故選b。5.（天津市2004年3分）如圖，已知等腰abc中，頂角a=36，bd為abc的平分線，則的值等于【 】(a) （b） (c) 1 （d） 【答案】b?！究键c】等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，換元法解分式方程?！痉治觥坑深}可知abcbdc，然后根據(jù)相似比求解：等腰abc中，頂角a=36，abc=72。又bd是abc的角平分線，abd=dbc=36=a，且bdc=c=72。ad=bd=bc。又c=c，abcbdc。即。設(shè)，則經(jīng)檢驗，都是分式方程的根，結(jié)合實際舍去負數(shù)。故選b。6.（天津市2005年3分）tan45的值等于【 】(a) （b) (c) (d) 1【答案】d?！究键c】特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥扛鶕?jù)特殊角的三角函數(shù)值求解：tan45=1故選d。7.（天津市2005年3分） 如圖，若正a1b1c1內(nèi)接于正abc的內(nèi)切圓，則的值為【 】(a) （b） (c) （d） 【答案】a。【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外心，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，弦徑定理。【分析】由于abc、a1b1c1都是正三角形，因此它們的外心與內(nèi)心重合；可過o分別作ab、a1b1的垂線，連接oa、oa1；在構(gòu)建的含特殊角的直角三角形中，用o的半徑分別表示出ab、a1b1的長，從而可求出它們的比例關(guān)系：a1b1c1和abc都是正三角形，它們的內(nèi)心與外心重合。如圖：過o分別作ab、a1b1的垂線，垂足分別為d、e，連接oa、oa1。設(shè)圓的半徑為r。rtoad中，oad=30，od=r，ad=，即ab=。同理，a1b1=。故選a。8.（天津市2006年3分） tan30的值等于【 】(a) （b) (c) (d) 【答案】c。【考點】特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥扛鶕?jù)特殊角的三角函數(shù)值解答：tan30=。故選c。 9.（天津市2006年3分） 如圖，ab/cd，ae/fd，ae、fd分別交bc于點g、h，則圖中共有相似三角形【 】（a）4對 (b) 5對 (c) 6對 (d)7對【答案】c。【考點】相似三角形的判定。【分析】根據(jù)平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似，則圖中bfh、bag、ceg、cdh任意兩個三角形都相似，即bfhbag，bagceg，bfhceg，bfhcdh，cegcdh，cdhbag。相似三角形共有6對。故選c。10.（天津市2006年3分）如圖，dac和ebc均是等邊三角形，ae、bd分別與cd、ce交于點m、n，有如下結(jié)論： acedcb； cmcn； acdn。其中，正確結(jié)論的個數(shù)是【 】(a) 3個 （b）2個 (c) 1個 （d）0個 11.（天津市2007年3分）的值等于【 】 a. b. c. d. 1【答案】a。【考點】特殊角的三角函數(shù)值，根式的加減法?！痉治觥扛鶕?jù)sin45=，cos45=計算：sin45=，cos45=，sin45+cos45=.故選a。12.（天津市2007年3分）下列判斷中錯誤的是【 】a. 有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等b. 有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等c. 有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等d. 有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等【答案】b?！究键c】全等三角形的判定。【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法對選項逐一驗證：兩個三角形全等的一般方法有：sss、sas、aas、asa，hl，a、是aas或asa，可以判定三角形全等；b、是sas 或ssa，ssa是不能判定三角形全等的；c、利用sss；可以判定三角形全等；d、利用sss可以判定三角形全等。故選b。13.（天津市2007年3分）將邊長為3cm的正三角形的各邊三等分，以這六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，再順次連接這個正六邊形的各邊中點，又形成一個新的正六邊形，則這個新的正六邊形的面積等于【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考點】正三角形和正六邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】如圖，abc是邊長為3cm的正三角形，點d、f是邊ab的三等分，以各邊六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，點f是de的中點，順次連接這個正六邊形的各邊中點，又形成一個新的正六邊形。由正六邊形的中心對稱性，知兩個正六邊形的中心重合，設(shè)為o。連接oe，of，og，作ohgf于點h。 由已知ab=3，ad=de=eb和正六邊形的性質(zhì)，得oe=1，oef=600，ofe=900。在rtoef中，。 在rtohf中，。 所求正六邊形的面積等于。故選b。14.（天津市2008年3分）的值等于【 】 abcd1【答案】a。【考點】特殊角的三角函數(shù)值.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解題即可：cos60=。故選a。15.（天津市2009年3分）2sin的值等于【 】a1bcd2 【答案】a。【考點】特殊角的三角函數(shù)值。【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可：2sin30=2=1。故選a。16.（天津市2009年3分）在abc和def中，ab=2de，ac=2df，如果abc的周長是16，面積是12，那么def的周長、面積依次為【 】a8，3b8，6c4，3d，6【答案】a。【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】根據(jù)已知可證abcdef，且abc和def的相似比為2，再根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方即可求def的周長、面積：在abc和def中，ab=2de，ac=2df，。又a=d，abcdef，且abc和def的相似比為2。abc的周長是16，面積是12，def的周長為162=8，面積為124=3。故選a。17.（天津市2010年3分）的值等于【 】（a） （b） （c） （d）1【答案】a?！究键c】特殊角的三角函數(shù)值。【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來解本題：sin30=。故選a。18.（天津市2011年3分）sin45的值等于【 】（a) (b) (c) (d)1【答案】b。【考點】特殊角三角函數(shù)。【分析】利用特殊角三角函數(shù)的定義，直接得出結(jié)果：sin45=。故選b。19. （2012天津市3分）的值等于【 】（a）1 （b） （c） （d）2【答案】a。【考點】特殊角的三角函數(shù)值。【分析】根據(jù)cos60=進行計算即可得解：2cos60=2=1。故選a。二、填空題1. （2001天津市3分）如圖，abc中，b=c，fdbc于d，deab于e，afd=158，則edf等于 度?！敬鸢浮?8?！究键c】三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥坑蓤D可知，edf=fdb-edb=90-edb，而edb與b互余，cfd與c互余，b=c，則bde=cfd，由鄰補角定義知cfd=180-afd，從而求出edf的度數(shù)：afd=158，fdbc，c=15890=68。b=c，deab，bde=9068=22。edf= =9022=68。2.（天津市2002年3分）若正三角形、正方形、正六邊形的周長都相等，它們的面積分別記為s3、s4、s6，則s3、s4、s6由大到小的排列順序是 .【答案】s6s4s3。【考點】正多邊形和圓?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形設(shè)出正六邊形的邊長，再根據(jù)三角形、正方形、正六邊形的周長都相等求出各圖形的邊長，再分別求出其面積即可：（1） （2） （3） 設(shè)正六邊形的邊長為，則abc的邊長為，正方形abcd的邊長為。 如圖（1），過a作adbc，d為垂足， abc是等邊三角形，bc=， bd=，由勾股定理得， 。如圖（2），四邊形abcd是正方形，ab=，。如圖（3），過o作ogbc，g為垂足，六邊形abcdef是正六邊形，bog=30，。，s6s4s3。3.（天津市2003年3分）已知圓內(nèi)接正三角形的邊長為，則同圓外切正三角形的邊長為 。【答案】。【考點】正多邊形和圓，三角形的內(nèi)心，弦徑定理，銳角三角函數(shù)?！痉治觥孔鞒稣切蔚倪呅木啵B接正三角形的一個頂點和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可：圓的內(nèi)接正三角形的內(nèi)心到每個頂點的距離是等邊三角形高的，從而該等邊三角形的高為，該等邊三角形的外接圓的半徑為。同圓外切正三角形的邊長=。4.（天津市2004年3分）如圖，等腰梯形abcd中，對角線ac、bd相交于點o，那么圖中的全等三角形最多有 對. 【答案】3?！究键c】等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定?！痉治觥坑?對，分別為abcdcb，dabadc，aobdoc。（1）四邊形abcd為等腰梯形，ab=dc，abc=dcb。又bc=bc，abcdcb（sas）（2）四邊形abcd為等腰梯形，ac=bd。ab=dc，ad=da，dabadc（sss）。（3）dabadc，abd=dca。abc=dcb，obc=ocb。ob=oc。abd=dca，aob=doc，ob=oc。aobdoc（aas）。5.（天津市2005年3分） 如圖，oaob，ocod，o60，c25，則bed等于 （度）【答案】70。【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角定理?！痉治觥坷靡阎獥l件證明oadobc，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就得到d=c，然后就可以求出bed：oa=ob，oc=od，o=60，oadobc（sas）。d=c=25。dbe=o+c=85，bed=1802585=70。7.（天津市2007年3分） 如圖，中，c=90，abc=60，bd平分abc，若ad=6，則cd= 。【答案】3?！究键c】直角三角形兩銳角的關(guān)系，含30度角直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)。【分析】c=90，abc=60，a=30。又bd平分abc，cbd=abd=a=30。bd=ad=6。根據(jù)30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，得cd=bd=6=3。8.（天津市2008年3分）如圖，已知abc中，efghijbc，則圖中相似三角形共有 對【答案】6?！究键c】相似三角形的判定。【分析】根據(jù)平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似，則圖中aef、agh、aij和abc任意兩個三角形都相似，相似三角形共有6對。9.（天津市2010年3分）如圖，已知ac=fe，bc=de，點a、d、b、f在一條直線上，要使abcfde，還需添加一個條件，這個條件可以是 【答案】c=e（答案不唯一）。【考點】全等三角形的判定。【分析】要判定abcfde，已知ac=fe，bc=de，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加c=e，利用sas可證兩三角形全等；添加ab=fd，利用sss可證兩三角形全等；等等（答案不唯一）。10.（天津市2010年3分）如圖，等邊三角形abc中，d、e分別為ab、bc邊上的點，ad=be，ae與cd交于點f，agcd于點g， 則的值為 【答案】?！究键c】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】abc是等邊三角形，ac=ba，cad=b 又ad=be，cadabe（sas）。dca=eab。 又abc是等邊三角形，acb=cab=600，bcd=cae。 過點c作chab，垂足為點h，則bch=acb=300。 agcd，dch=dag。dagcae=dchbcd=bch=300。fag=cab（dagcae）=600300=300。在rtagf中，。11. （2012天津市3分）若一個正六邊形的周長為24，則該正六邊形的面積為 【答案】?！究键c】正多邊形和圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，連接ob，oc，過o作ombc于m， boc=360=60。ob=oc，obc是等邊三角形。obc=60。正六邊形abcdef的周長為24，bc=246=4。ob=bc=4，bm=obsinobc =4。三、解答題1. （2001天津市8分）已知：如圖，塔ab和樓cd的水平距離為80米，從樓頂c處及樓底口處測得塔頂a的仰角分別為45和60，試求塔高與樓高（精確到0.01米）（參考數(shù)據(jù)： ）?！敬鸢浮拷猓涸趓tace中，ace=45，rtaec是等腰直角三角形。 ae=ce=80米。在rtadb中，ec=bd=80米，adb=600，ab=ectan60=80。cd=be=8058.56（米）?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，矩形的性質(zhì)。【分析】在rtabd根據(jù)三角函數(shù)即可以求出ab，bd即ec，在rtaec中根據(jù)三角函數(shù)即求出ae，從而就可以求出cd。2.（天津市2002年8分）某片綠地的形狀如圖所示，其中a=600，abbc，adcd，ab=200m，cd=100m，求ad、bc的長（精確到1m，）3.（天津市2003年8分）如圖，湖泊的中央有一個建筑物ab，某人在地面c處測得其頂部a的仰角為60，然后，自c處沿bc方向行100m到d點，又測得其頂部a的仰角為30，求建筑物ab的高（精確到0.01m，1.732）?！敬鸢浮拷猓焊鶕?jù)題意可得：設(shè)ab=，在rtabd中，有。在rtabc中，有。dc=bdbc=100，即，解得。建筑物ab的高為86.60米?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題）。【分析】分析圖形，根據(jù)題意找出（構(gòu)造）直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，求出答案。4.（天津市2004年8分）在建筑樓梯時，設(shè)計者要考慮樓梯的安全程度，如圖1，虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板的夾角為傾角，一般情況下， 傾角 愈小，樓梯的安全程度愈高.如圖2，設(shè)計者為提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角由1減至2，這樣樓梯占用地板的長度由d1增加到d2，已知d14m，140，236，求樓梯占用地板的長度增加了多少？（精確到0.01m）參考數(shù)據(jù)：sin360.5878 cos360.8090tan360.7265 sin400.6428cos400.7660 tan400.8391【答案】解：在rtabc中，bc=d1=4m，acb=1=40，ab=bctan40=4tan403.356（m）。在rtabd中，bd=d2，adb=2=36，。cd=d2d1=4.6194=0.6190.62（m）。樓梯占用地板的長度增加了0.62m。【考點】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義。【分析】由題意得：增加部分是cd長，分別在rtabc，rtabd中利用三角函數(shù)的定義即可求出bc，bd長，即可求出cd長。5.（天津市2005年8分）如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點a處測得燈塔m在北偏西30，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達b處，測得燈塔m在北偏西45，問該貨輪到達燈塔正東方向d處時，貨輪與燈塔m的距離是多少？（精確到0.1海里，1.732）【答案】解：由題意，得ab=201=20（海里）在rtmdb中，bd= =md，在rtamd中，ad=，ab=adbd，即，（海里）。答：貨輪到達燈塔正東方向的d處時，貨輪與燈塔的距離約為27.3海里。【考點】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】因為md是rtmdb和rtadm的共有直角邊，那么可用md來表示出ad和bd，再根據(jù)ab的長來求出md。6.（天津市2005年10分）在abc中，a、b、c所對的邊分別用a、b、c表示。（）如圖，在abc中，a2b，且a60。求證：a2b（bc）（）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2 倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”。本題第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角三角形abc，其中a2b，關(guān)系式a2b（bc）是否仍然成了？并證明你的結(jié)論；（）試求出一個倍角三角形的三條邊的長，使這三條邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù)?！敬鸢浮拷猓海ǎ┳C明：a=2b，a=60，b=30，c=90。c=2b，a=b。（）關(guān)系式a2b（bc）仍然成立。證明如下：如圖，延長ba至點d，使ad=ac= b，連接cd。則acd為等腰三角形。bac是acd的一個外角，bac=2d。又bac=2b，b=d。cbd為等腰三角形。又d是acd和cbd的公共角，acdcbd。，即，a2b（bc）。（）若abc是倍角三角形，由a=2b，應(yīng)有a2=b（b+c），且ab當acb時，設(shè)a=k+1，c=k，b=k1，（k為大于1的正整數(shù)）,代入a2=b（b+c），得（k+1）2=（k1）（2k1），解得k=5。有a=6，b=4，c=5，可以證明這個三角形中，a=2b。當cab時，設(shè)c =k+1，a=k， b =k1，（k為大于1的正整數(shù)）,代入a2=b（b+c），得k 2=（k1）2k，解得k=2。但a=2，b=1，c=3不構(gòu)成三角形。當abc時，設(shè)a=k+1，b =k， c =k1，（k為大于1的正整數(shù)）,代入a2=b（b+c），得（k+1）2=k （2k1），即k23k1=0，無正整數(shù)解。當cab及abc時，均不存在三條邊長恰為三個連續(xù)正整數(shù)的倍角三角形。邊長為4，5，6的三角形為所求。【考點】勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)已知可求得各角的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)求得各邊的關(guān)系，從而不難得到結(jié)論。（）延長ba至點d，使ad=ac= b，連接cd，證出acdcbd，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得到結(jié)論。（）注意分三種情況進行分析。 7.（天津市2006年8分）如圖，在觀測點e測得小山上鐵塔頂a的仰角為60，鐵塔底部b的仰角為45。已知塔高ab20m，觀察點e到地面的距離ef35cm，求小山bd的高（精確到0.1海里，1.732）。【答案】解：如圖，過點e作egad于點g由已知，得aeg=60，beg=45，在rtbeg中，bg=eg。在rtaeg中，由，得ag=eg=bg。又ag=ab+bg=20+bg，bg=20+bg，即bg=。又bd=bg+gd，gd=ef=35，bd=（m）。答：小山bd的高約為62.3m?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題）?！痉治觥窟^點e作egad于點g；在rtbeg中，易知beg=45，得bg=eg；從而可在rtage中求得ag的大小，根據(jù)bd=bg+gd即可得答案。8.（天津市2007年8分）如圖，從山頂a處看到地面c點的俯角為60，看到地面d點的俯角為45，測得米，求山高ab。（精確到0.1米，）9.（天津市2008年8分）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66 m，這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】解：如圖，過點a作adbc，垂足為d，根據(jù)題意，可得bad=300，cad=600，ad=66。在rtadb中，由，得bd=ad=66。在rtadc中，由得cd=ad=66 答：這棟樓高約為152.2 m。 【考點】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)?！痉治觥坑深}可知，在圖中有兩個直角三角形在rtabd中，利用30角的正切求出bd；在rtacd中，利用60角的正切求出cd，二者相加即可。10.（天津市2009年8分）在一次課外實踐活動中，同學們要測量某公園人工湖兩側(cè)兩個涼亭之間的距離現(xiàn)測得m，m，請計算兩個涼亭之間的距離【答案】解：如圖，過點作垂直于交的延長線于點。在中，。 。又在中，答：兩個涼亭之間的距離為50m?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角