背包問題九講_DOC版(測試一下百度文庫的功能).doc

背包問題九講 v1.0目錄 第一講 01背包問題 第二講 完全背包問題 第三講 多重背包問題 第四講 混合三種背包問題 第五講 二維費(fèi)用的背包問題 第六講 分組的背包問題 第七講 有依賴的背包問題 第八講 泛化物品 第九講 背包問題問法的變化 附：USACO中的背包問題 前言本佛擋殺佛篇文章是我(dd_engi)正在進(jìn)行中的一個(gè)雄心勃勃的寫作計(jì)劃的一部分，這個(gè)計(jì)劃的內(nèi)容是寫作一份較為完善的NOIP難度的動(dòng)態(tài)規(guī)劃總結(jié)，名為解動(dòng)態(tài)規(guī)劃題的基本思考方式。現(xiàn)在你看到的是這個(gè)寫作計(jì)劃最先發(fā)布的一部分。 背包問題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。它既簡單形象容易理解，又在某種程度上能夠揭示動(dòng)態(tài)規(guī)劃的本質(zhì)，故不少教材都把它作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃部分的第一道例題，我也將它放在我的寫作計(jì)劃的第一部分。讀本文最重要的是思考。因?yàn)槲业恼Z言和寫作方式向來不以易于理解為長，思路也偶有跳躍的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比較抽象的內(nèi)容。更重要的是：不大量思考，絕對不可能學(xué)好動(dòng)態(tài)規(guī)劃這一信息學(xué)奧賽中最精致的部分。你現(xiàn)在看到的是本文的1.0正式版。我會(huì)長期維護(hù)這份文本，把大家的意見和建議融入其中，也會(huì)不斷加入我在OI學(xué)習(xí)以及將來可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。但目前本文還沒有一個(gè)固定的發(fā)布頁面，想了解本文是否有更新版本發(fā)布，可以在OIBH論壇中以“背包問題九講”為關(guān)鍵字搜索貼子，每次比較重大的版本更新都會(huì)在這里發(fā)貼公布。目錄第一講 01背包問題這是最基本的背包問題，每個(gè)物品最多只能放一次。第二講 完全背包問題第二個(gè)基本的背包問題模型，每種物品可以放無限多次。第三講 多重背包問題每種物品有一個(gè)固定的次數(shù)上限。第四講 混合三種背包問題將前面三種簡單的問題疊加成較復(fù)雜的問題。第五講 二維費(fèi)用的背包問題一個(gè)簡單的常見擴(kuò)展。第六講 分組的背包問題一種題目類型，也是一個(gè)有用的模型。后兩節(jié)的基礎(chǔ)。第七講 有依賴的背包問題另一種給物品的選取加上限制的方法。第八講 泛化物品我自己關(guān)于背包問題的思考成果，有一點(diǎn)抽象。第九講 背包問題問法的變化試圖觸類旁通、舉一反三。附：USACO中的背包問題給出 USACO Training 上可供練習(xí)的背包問題列表，及簡單的解答。聯(lián)系方式如果有任何意見和建議，特別是文章的錯(cuò)誤和不足，或者希望為文章添加新的材料，可以通過/user/tianyi/這個(gè)網(wǎng)頁聯(lián)系我。致謝感謝以下名單： 阿坦 jason911 donglixp 他們每人都最先指出了本文第一個(gè)beta版中的某個(gè)并非無關(guān)緊要的錯(cuò)誤。謝謝你們?nèi)绱俗屑?xì)地閱讀拙作并彌補(bǔ)我的疏漏。感謝 XiaQ，它針對本文的第一個(gè)beta版發(fā)表了用詞嚴(yán)厲的六條建議，雖然我只認(rèn)同并采納了其中的兩條。在所有讀者幾乎一邊倒的贊揚(yáng)將我包圍的當(dāng)時(shí)，你的貼子是我的一劑清醒劑，讓我能清醒起來并用更嚴(yán)厲的眼光審視自己的作品。當(dāng)然，還有用各種方式對我表示鼓勵(lì)和支持的幾乎無法計(jì)數(shù)的同學(xué)。不管是當(dāng)面贊揚(yáng)，或是在論壇上回復(fù)我的貼子，不管是發(fā)來熱情洋溢的郵件，或是在即時(shí)聊天的窗口里豎起大拇指，你們的鼓勵(lì)和支持是支撐我的寫作計(jì)劃的強(qiáng)大動(dòng)力，也鞭策著我不斷提高自身水平，謝謝你們！最后，感謝 Emacs 這一世界最強(qiáng)大的編輯器的所有貢獻(xiàn)者，感謝它的插件 EmacsMuse 的開發(fā)者們，本文的所有編輯工作都借助這兩個(gè)卓越的自由軟件完成。謝謝你們自由軟件社群為社會(huì)提供了如此有生產(chǎn)力的工具。我深深欽佩你們身上體現(xiàn)出的自由軟件的精神，沒有你們的感召，我不能完成本文。在你們的影響下，采用自由文檔的方式發(fā)布本文檔，也是我對自由社會(huì)事業(yè)的微薄努力。P01: 01背包問題題目有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。第i件物品的費(fèi)用是ci，價(jià)值是wi。求解將哪些物品裝入背包可使價(jià)值總和最大。基本思路這是最基礎(chǔ)的背包問題，特點(diǎn)是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。用子問題定義狀態(tài)：即fiv表示前i件物品恰放入一個(gè)容量為v的背包可以獲得的最大價(jià)值。則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程便是：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi這個(gè)方程非常重要，基本上所有跟背包相關(guān)的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細(xì)解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個(gè)子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價(jià)值為fi-1v；如果放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-ci的背包中”，此時(shí)能獲得的最大價(jià)值就是fi-1v-ci再加上通過放入第i件物品獲得的價(jià)值wi。優(yōu)化空間復(fù)雜度以上方法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為O(N*V)，其中時(shí)間復(fù)雜度基本已經(jīng)不能再優(yōu)化了，但空間復(fù)雜度卻可以優(yōu)化到O(V)。先考慮上面講的基本思路如何實(shí)現(xiàn)，肯定是有一個(gè)主循環(huán)i=1.N，每次算出來二維數(shù)組fi0.V的所有值。那么，如果只用一個(gè)數(shù)組f0.V，能不能保證第i次循環(huán)結(jié)束后fv中表示的就是我們定義的狀態(tài)fiv呢？fiv是由fi-1v和fi-1v-ci兩個(gè)子問題遞推而來，能否保證在推fiv時(shí)（也即在第i次主循環(huán)中推fv時(shí)）能夠得到fi-1v和fi-1v-ci的值呢？事實(shí)上，這要求在每次主循環(huán)中我們以v=V.0的順序推fv，這樣才能保證推fv時(shí)fv-ci保存的是狀態(tài)fi-1v-ci的值。偽代碼如下：for i=1.N for v=V.0 fv=maxfv,fv-ci+wi;其中的fv=maxfv,fv-ci一句恰就相當(dāng)于我們的轉(zhuǎn)移方程fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci，因?yàn)楝F(xiàn)在的fv-ci就相當(dāng)于原來的fi-1v-ci。如果將v的循環(huán)順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了fiv由fiv-ci推知，與本題意不符，但它卻是另一個(gè)重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學(xué)習(xí)只用一維數(shù)組解01背包問題是十分必要的。事實(shí)上，使用一維數(shù)組解01背包的程序在后面會(huì)被多次用到，所以這里抽象出一個(gè)處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調(diào)用不加說明。過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品，兩個(gè)參數(shù)cost、weight分別表明這件物品的費(fèi)用和價(jià)值。procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V.cost fv=maxfv,fv-cost+weight注意這個(gè)過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不同。前面的示例程序?qū)懗蓈=V.0是為了在程序中體現(xiàn)每個(gè)狀態(tài)都按照方程求解了，避免不必要的思維復(fù)雜度。而這里既然已經(jīng)抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優(yōu)化。費(fèi)用為cost的物品不會(huì)影響狀態(tài)f0.cost-1，這是顯然的。有了這個(gè)過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：for i=1.N ZeroOnePack(ci,wi);初始化的細(xì)節(jié)問題我們看到的求最優(yōu)解的背包問題題目中，事實(shí)上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時(shí)的最優(yōu)解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區(qū)別這兩種問法的實(shí)現(xiàn)方法是在初始化的時(shí)候有所不同。如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時(shí)除了f0為0其它f1.V均設(shè)為-，這樣就可以保證最終得到的fN是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價(jià)格盡量大，初始化時(shí)應(yīng)該將f0.V全部設(shè)為0。為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數(shù)組事實(shí)上就是在沒有任何物品可以放入背包時(shí)的合法狀態(tài)。如果要求背包恰好裝滿，那么此時(shí)只有容量為0的背包可能被價(jià)值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態(tài)，它們的值就都應(yīng)該是-了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個(gè)合法解“什么都不裝”，這個(gè)解的價(jià)值為0，所以初始時(shí)狀態(tài)的值也就全部為0了。這個(gè)小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前的初始化進(jìn)行講解。小結(jié)01背包問題是最基本的背包問題，它包含了背包問題中設(shè)計(jì)狀態(tài)、方程的最基本思想，另外，別的類型的背包問題往往也可以轉(zhuǎn)換成01背包問題求解。故一定要仔細(xì)體會(huì)上面基本思路的得出方法，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的意義，以及最后怎樣優(yōu)化的空間復(fù)雜度。首頁P(yáng)02: 完全背包問題題目有N種物品和一個(gè)容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費(fèi)用是ci，價(jià)值是wi。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過背包容量，且價(jià)值總和最大?；舅悸愤@個(gè)問題非常類似于01背包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就是從每種物品的角度考慮，與它相關(guān)的策略已并非取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件等很多種。如果仍然按照解01背包時(shí)的思路，令fiv表示前i種物品恰放入一個(gè)容量為v的背包的最大權(quán)值。仍然可以按照每種物品不同的策略寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，像這樣：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi|0=k*ci=v這跟01背包問題一樣有O(N*V)個(gè)狀態(tài)需要求解，但求解每個(gè)狀態(tài)的時(shí)間已經(jīng)不是常數(shù)了，求解狀態(tài)fiv的時(shí)間是O(v/ci)，總的復(fù)雜度是超過O(VN)的。將01背包問題的基本思路加以改進(jìn)，得到了這樣一個(gè)清晰的方法。這說明01背包問題的方程的確是很重要，可以推及其它類型的背包問題。但我們還是試圖改進(jìn)這個(gè)復(fù)雜度。一個(gè)簡單有效的優(yōu)化完全背包問題有一個(gè)很簡單有效的優(yōu)化，是這樣的：若兩件物品i、j滿足ci=wj，則將物品j去掉，不用考慮。這個(gè)優(yōu)化的正確性顯然：任何情況下都可將價(jià)值小費(fèi)用高得j換成物美價(jià)廉的i，得到至少不會(huì)更差的方案。對于隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)，這個(gè)方法往往會(huì)大大減少物品的件數(shù)，從而加快速度。然而這個(gè)并不能改善最壞情況的復(fù)雜度，因?yàn)橛锌赡芴貏e設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)可以一件物品也去不掉。這個(gè)優(yōu)化可以簡單的O(N2)地實(shí)現(xiàn)，一般都可以承受。另外，針對背包問題而言，比較不錯(cuò)的一種方法是：首先將費(fèi)用大于V的物品去掉，然后使用類似計(jì)數(shù)排序的做法，計(jì)算出費(fèi)用相同的物品中價(jià)值最高的是哪個(gè)，可以O(shè)(V+N)地完成這個(gè)優(yōu)化。這個(gè)不太重要的過程就不給出偽代碼了，希望你能獨(dú)立思考寫出偽代碼或程序。轉(zhuǎn)化為01背包問題求解既然01背包問題是最基本的背包問題，那么我們可以考慮把完全背包問題轉(zhuǎn)化為01背包問題來解。最簡單的想法是，考慮到第i種物品最多選V/ci件，于是可以把第i種物品轉(zhuǎn)化為V/ci件費(fèi)用及價(jià)值均不變的物品，然后求解這個(gè)01背包問題。這樣完全沒有改進(jìn)基本思路的時(shí)間復(fù)雜度，但這畢竟給了我們將完全背包問題轉(zhuǎn)化為01背包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。更高效的轉(zhuǎn)化方法是：把第i種物品拆成費(fèi)用為ci*2k、價(jià)值為wi*2k的若干件物品，其中k滿足ci*2k=V。這是二進(jìn)制的思想，因?yàn)椴还茏顑?yōu)策略選幾件第i種物品，總可以表示成若干個(gè)2k件物品的和。這樣把每種物品拆成O(log(V/ci)件物品，是一個(gè)很大的改進(jìn)。但我們有更優(yōu)的O(VN)的算法。O(VN)的算法這個(gè)算法使用一維數(shù)組，先看偽代碼：for i=1.N for v=0.V fv=maxfv,fv-cost+weight你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)偽代碼與P01的偽代碼只有v的循環(huán)次序不同而已。為什么這樣一改就可行呢？首先想想為什么P01中要按照v=V.0的逆序來循環(huán)。這是因?yàn)橐ＷC第i次循環(huán)中的狀態(tài)fiv是由狀態(tài)fi-1v-ci遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第i件物品”這件策略時(shí)，依據(jù)的是一個(gè)絕無已經(jīng)選入第i件物品的子結(jié)果fi-1v-ci。而現(xiàn)在完全背包的特點(diǎn)恰是每種物品可選無限件，所以在考慮“加選一件第i種物品”這種策略時(shí)，卻正需要一個(gè)可能已選入第i種物品的子結(jié)果fiv-ci，所以就可以并且必須采用v=0.V的順序循環(huán)。這就是這個(gè)簡單的程序?yàn)楹纬闪⒌牡览?。這個(gè)算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以等價(jià)地變形成這種形式：fiv=maxfi-1v,fiv-ci+wi將這個(gè)方程用一維數(shù)組實(shí)現(xiàn)，便得到了上面的偽代碼。最后抽象出處理一件完全背包類物品的過程偽代碼，以后會(huì)用到：procedure CompletePack(cost,weight) for v=cost.V fv=maxfv,fv-ci+wi總結(jié)完全背包問題也是一個(gè)相當(dāng)基礎(chǔ)的背包問題，它有兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，分別在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小節(jié)中給出。希望你能夠?qū)@兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程都仔細(xì)地體會(huì)，不僅記住，也要弄明白它們是怎么得出來的，最好能夠自己想一種得到這些方程的方法。事實(shí)上，對每一道動(dòng)態(tài)規(guī)劃題目都思考其方程的意義以及如何得來，是加深對動(dòng)態(tài)規(guī)劃的理解、提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃功力的好方法。首頁P(yáng)03: 多重背包問題題目有N種物品和一個(gè)容量為V的背包。第i種物品最多有ni件可用，每件費(fèi)用是ci，價(jià)值是wi。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過背包容量，且價(jià)值總和最大?；舅惴ㄟ@題目和完全背包問題很類似?；镜姆匠讨恍鑼⑼耆嘲鼏栴}的方程略微一改即可，因?yàn)閷τ诘趇種物品有ni+1種策略：取0件，取1件取ni件。令fiv表示前i種物品恰放入一個(gè)容量為v的背包的最大權(quán)值，則有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi|0=k0的最大整數(shù)。例如，如果ni為13，就將這種物品分成系數(shù)分別為1,2,4,6的四件物品。分成的這幾件物品的系數(shù)和為ni，表明不可能取多于ni件的第i種物品。另外這種方法也能保證對于0.ni間的每一個(gè)整數(shù)，均可以用若干個(gè)系數(shù)的和表示，這個(gè)證明可以分0.2k-1和2k.ni兩段來分別討論得出，并不難，希望你自己思考嘗試一下。這樣就將第i種物品分成了O(log ni)種物品，將原問題轉(zhuǎn)化為了復(fù)雜度為O(V*log ni)的01背包問題，是很大的改進(jìn)。下面給出O(log amount)時(shí)間處理一件多重背包中物品的過程，其中amount表示物品的數(shù)量：procedure MultiplePack(cost,weight,amount) if cost*amount=V CompletePack(cost,weight) return integer k=1 while knum ZeroOnePack(k*cost,k*weight) amount=amount-k k=k*2 ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)希望你仔細(xì)體會(huì)這個(gè)偽代碼，如果不太理解的話，不妨翻譯成程序代碼以后，單步執(zhí)行幾次，或者頭腦加紙筆模擬一下，也許就會(huì)慢慢理解了。O(VN)的算法多重背包問題同樣有O(VN)的算法。這個(gè)算法基于基本算法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，但應(yīng)用單調(diào)隊(duì)列的方法使每個(gè)狀態(tài)的值可以以均攤O(1)的時(shí)間求解。由于用單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化的DP已超出了NOIP的范圍，故本文不再展開講解。我最初了解到這個(gè)方法是在樓天成的“男人八題”幻燈片上。小結(jié)這里我們看到了將一個(gè)算法的復(fù)雜度由O(V*ni)改進(jìn)到O(V*log ni)的過程，還知道了存在應(yīng)用超出NOIP范圍的知識的O(VN)算法。希望你特別注意“拆分物品”的思想和方法，自己證明一下它的正確性，并將完整的程序代碼寫出來。首頁P(yáng)04: 混合三種背包問題問題如果將P01、P02、P03混合起來。也就是說，有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取無限次（完全背包），有的物品可以取的次數(shù)有一個(gè)上限（多重背包）。應(yīng)該怎么求解呢？01背包與完全背包的混合考慮到在P01和P02中給出的偽代碼只有一處不同，故如果只有兩類物品：一類物品只能取一次，另一類物品可以取無限次，那么只需在對每個(gè)物品應(yīng)用轉(zhuǎn)移方程時(shí)，根據(jù)物品的類別選用順序或逆序的循環(huán)即可，復(fù)雜度是O(VN)。偽代碼如下：for i=1.N if 第i件物品是01背包 for v=V.0 fv=maxfv,fv-ci+wi; else if 第i件物品是完全背包 for v=0.V fv=maxfv,fv-ci+wi;再加上多重背包如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原則上也可以給出O(VN)的解法：遇到多重背包類型的物品用單調(diào)隊(duì)列解即可。但如果不考慮超過NOIP范圍的算法的話，用P03中將每個(gè)這類物品分成O(log ni)個(gè)01背包的物品的方法也已經(jīng)很優(yōu)了。當(dāng)然，更清晰的寫法是調(diào)用我們前面給出的三個(gè)相關(guān)過程。for i=1.N if 第i件物品是01背包 ZeroOnePack(ci,wi) else if 第i件物品是完全背包 CompletePack(ci,wi) else if 第i件物品是多重背包 MultiplePack(ci,wi,ni)在最初寫出這三個(gè)過程的時(shí)候，可能完全沒有想到它們會(huì)在這里混合應(yīng)用。我想這體現(xiàn)了編程中抽象的威力。如果你一直就是以這種“抽象出過程”的方式寫每一類背包問題的，也非常清楚它們的實(shí)現(xiàn)中細(xì)微的不同，那么在遇到混合三種背包問題的題目時(shí)，一定能很快想到上面簡潔的解法，對嗎？小結(jié)有人說，困難的題目都是由簡單的題目疊加而來的。這句話是否公理暫且存之不論，但它在本講中已經(jīng)得到了充分的體現(xiàn)。本來01背包、完全背包、多重背包都不是什么難題，但將它們簡單地組合起來以后就得到了這樣一道一定能嚇倒不少人的題目。但只要基礎(chǔ)扎實(shí)，領(lǐng)會(huì)三種基本背包問題的思想，就可以做到把困難的題目拆分成簡單的題目來解決。首頁P(yáng)05: 二維費(fèi)用的背包問題問題二維費(fèi)用的背包問題是指：對于每件物品，具有兩種不同的費(fèi)用；選擇這件物品必須同時(shí)付出這兩種代價(jià)；對于每種代價(jià)都有一個(gè)可付出的最大值（背包容量）。問怎樣選擇物品可以得到最大的價(jià)值。設(shè)這兩種代價(jià)分別為代價(jià)1和代價(jià)2，第i件物品所需的兩種代價(jià)分別為ai和bi。兩種代價(jià)可付出的最大值（兩種背包容量）分別為V和U。物品的價(jià)值為wi。算法費(fèi)用加了一維，只需狀態(tài)也加一維即可。設(shè)fivu表示前i件物品付出兩種代價(jià)分別為v和u時(shí)可獲得的最大價(jià)值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就是：fivu=maxfi-1vu,fi-1v-aiu-bi+wi如前述方法，可以只使用二維的數(shù)組：當(dāng)每件物品只可以取一次時(shí)變量v和u采用逆序的循環(huán)，當(dāng)物品有如完全背包問題時(shí)采用順序的循環(huán)。當(dāng)物品有如多重背包問題時(shí)拆分物品。這里就不再給出偽代碼了，相信有了前面的基礎(chǔ)，你能夠自己實(shí)現(xiàn)出這個(gè)問題的程序。物品總個(gè)數(shù)的限制有時(shí)，“二維費(fèi)用”的條件是以這樣一種隱含的方式給出的：最多只能取M件物品。這事實(shí)上相當(dāng)于每件物品多了一種“件數(shù)”的費(fèi)用，每個(gè)物品的件數(shù)費(fèi)用均為1，可以付出的最大件數(shù)費(fèi)用為M。換句話說，設(shè)fvm表示付出費(fèi)用v、最多選m件時(shí)可得到的最大價(jià)值，則根據(jù)物品的類型（01、完全、多重）用不同的方法循環(huán)更新，最后在f0.V0.M范圍內(nèi)尋找答案。小結(jié)當(dāng)發(fā)現(xiàn)由熟悉的動(dòng)態(tài)規(guī)劃題目變形得來的題目時(shí)，在原來的狀態(tài)中加一緯以滿足新的限制是一種比較通用的方法。希望你能從本講中初步體會(huì)到這種方法。首頁P(yáng)06: 分組的背包問題問題有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。第i件物品的費(fèi)用是ci，價(jià)值是wi。這些物品被劃分為若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過背包容量，且價(jià)值總和最大。算法這個(gè)問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。也就是說設(shè)fkv表示前k組物品花費(fèi)費(fèi)用v能取得的最大權(quán)值，則有：fkv=maxfk-1v,fk-1v-ci+wi|物品i屬于第k組使用一維數(shù)組的偽代碼如下：for 所有的組k for v=V.0 for 所有的i屬于組k fv=maxfv,fv-ci+wi注意這里的三層循環(huán)的順序，甚至在本文的beta版中我自己都寫錯(cuò)了?！癴or v=V.0”這一層循環(huán)必須在“for 所有的i屬于組k”之外。這樣才能保證每一組內(nèi)的物品最多只有一個(gè)會(huì)被添加到背包中。另外，顯然可以對每組內(nèi)的物品應(yīng)用P02中“一個(gè)簡單有效的優(yōu)化”。小結(jié)分組的背包問題將彼此互斥的若干物品稱為一個(gè)組，這建立了一個(gè)很好的模型。不少背包問題的變形都可以轉(zhuǎn)化為分組的背包問題（例如P07），由分組的背包問題進(jìn)一步可定義“泛化物品”的概念，十分有利于解題。首頁P(yáng)07: 有依賴的背包問題簡化的問題這種背包問題的物品間存在某種“依賴”的關(guān)系。也就是說，i依賴于j，表示若選物品i，則必須選物品j。為了簡化起見，我們先設(shè)沒有某個(gè)物品既依賴于別的物品，又被別的物品所依賴；另外，沒有某件物品同時(shí)依賴多件物品。算法這個(gè)問題由NOIP2006金明的預(yù)算方案一題擴(kuò)展而來。遵從該題的提法，將不依賴于別的物品的物品稱為“主件”，依賴于某主件的物品稱為“附件”。由這個(gè)問題的簡化條件可知所有的物品由若干主件和依賴于每個(gè)主件的一個(gè)附件集合組成。按照背包問題的一般思路，僅考慮一個(gè)主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一個(gè)也不選，僅選擇主件，選擇主件后再選擇一個(gè)附件，選擇主件后再選擇兩個(gè)附件無法用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來表示如此多的策略。（事實(shí)上，設(shè)有n個(gè)附件，則策略有2n+1個(gè)，為指數(shù)級。）考慮到所有這些策略都是互斥的（也就是說，你只能選擇一種策略），所以一個(gè)主件和它的附件集合實(shí)際上對應(yīng)于P06中的一個(gè)物品組，每個(gè)選擇了主件又選擇了若干個(gè)附件的策略對應(yīng)于這個(gè)物品組中的一個(gè)物品，其費(fèi)用和價(jià)值都是這個(gè)策略中的物品的值的和。但僅僅是這一步轉(zhuǎn)化并不能給出一個(gè)好的算法，因?yàn)槲锲方M中的物品還是像原問題的策略一樣多。再考慮P06中的一句話： 可以對每組中的物品應(yīng)用P02中“一個(gè)簡單有效的優(yōu)化”。 這提示我們，對于一個(gè)物品組中的物品，所有費(fèi)用相同的物品只留一個(gè)價(jià)值最大的，不影響結(jié)果。所以，我們可以對主件i的“附件集合”先進(jìn)行一次01背包，得到費(fèi)用依次為0.V-ci所有這些值時(shí)相應(yīng)的最大價(jià)值f0.V-ci。那么這個(gè)主件及它的附件集合相當(dāng)于V-ci+1個(gè)物品的物品組，其中費(fèi)用為ci+k的物品的價(jià)值為fk+wi。也就是說原來指數(shù)級的策略中有很多策略都是冗余的，通過一次01背包后，將主件i轉(zhuǎn)化為V-ci+1個(gè)物品的物品組，就可以直接應(yīng)用P06的算法解決問題了。較一般的問題更一般的問題是：依賴關(guān)系以圖論中“森林”的形式給出（森林即多叉樹的集合），也就是說，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每個(gè)物品最多只依賴于一個(gè)物品（只有一個(gè)主件）且不出現(xiàn)循環(huán)依賴。解決這個(gè)問題仍然可以用將每個(gè)主件及其附件集合轉(zhuǎn)化為物品組的方式。唯一不同的是，由于附件可能還有附件，就不能將每個(gè)附件都看作一個(gè)一般的01背包中的物品了。若這個(gè)附件也有附件集合，則它必定要被先轉(zhuǎn)化為物品組，然后用分組的背包問題解出主件及其附件集合所對應(yīng)的附件組中各個(gè)費(fèi)用的附件所對應(yīng)的價(jià)值。事實(shí)上，這是一種樹形DP，其特點(diǎn)是每個(gè)父節(jié)點(diǎn)都需要對它的各個(gè)兒子的屬性進(jìn)行一次DP以求得自己的相關(guān)屬性。這已經(jīng)觸及到了“泛化物品”的思想。看完P(guān)08后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)“依賴關(guān)系樹”每一個(gè)子樹都等價(jià)于一件泛化物品，求某節(jié)點(diǎn)為根的子樹對應(yīng)的泛化物品相當(dāng)于求其所有兒子的對應(yīng)的泛化物品之和。小結(jié)NOIP2006的那道背包問題我做得很失敗，寫了上百行的代碼，卻一分未得。后來我通過思考發(fā)現(xiàn)通過引入“物品組”和“依賴”的概念可以加深對這題的理解，還可以解決它的推廣問題。用物品組的思想考慮那題中極其特殊的依賴關(guān)系：物品不能既作主件又作附件，每個(gè)主件最多有兩個(gè)附件，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)主件和它的兩個(gè)附件等價(jià)于一個(gè)由四個(gè)物品組成的物品組，這便揭示了問題的某種本質(zhì)。我想說：失敗不是什么丟人的事情，從失敗中全無收獲才是。首頁P(yáng)08: 泛化物品定義考慮這樣一種物品，它并沒有固定的費(fèi)用和價(jià)值，而是它的價(jià)值隨著你分配給它的費(fèi)用而變化。這就是泛化物品的概念。更嚴(yán)格的定義之。在背包容量為V的背包問題中，泛化物品是一個(gè)定義域?yàn)?.V中的整數(shù)的函數(shù)h，當(dāng)分配給它的費(fèi)用為v時(shí)，能得到的價(jià)值就是h(v)。這個(gè)定義有一點(diǎn)點(diǎn)抽象，另一種理解是一個(gè)泛化物品就是一個(gè)數(shù)組h0.V，給它費(fèi)用v，可得到價(jià)值hV。一個(gè)費(fèi)用為c價(jià)值為w的物品，如果它是01背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w其它函數(shù)值都為0的一個(gè)函數(shù)。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成這樣一個(gè)函數(shù)，僅當(dāng)v被c整除時(shí)有h(v)=v/c*w，其它函數(shù)值均為0。如果它是多重背包中重復(fù)次數(shù)最多為n的物品，那么它對應(yīng)的泛化物品的函數(shù)有h(v)=v/c*w僅當(dāng)v被c整除且v/c=n，其它情況函數(shù)值均為0。一個(gè)物品組可以看作一個(gè)泛化物品h。對于一個(gè)0.V中的v，若物品組中不存在費(fèi)用為v的的物品，則h(v)=0，否則h(v)為所有費(fèi)用為v的物品的最大價(jià)值。P07中每個(gè)主件及其附件集合等價(jià)于一個(gè)物品組，自然也可看作一個(gè)泛化物品。泛化物品的和如果面對兩個(gè)泛化物品h和l，要用給定的費(fèi)用從這兩個(gè)泛化物品中得到最大的價(jià)值，怎么求呢？事實(shí)上，對于一個(gè)給定的費(fèi)用v，只需枚舉將這個(gè)費(fèi)用如何分配給兩個(gè)泛化物品就可以了。同樣的，對于0.V的每一個(gè)整數(shù)v，可以求得費(fèi)用v分配到h和l中的最大價(jià)值f(v)。也即f(v)=maxh(k)+l(v-k)|0=k=v?？梢钥吹剑琭也是一個(gè)由泛化物品h和l決定的定義域?yàn)?.V的函數(shù)，也就是說，f是一個(gè)由泛化物品h和l決定的泛化物品。由此可以定義泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f滿足f(v)=maxh(k)+l(v-k)|0=k0) if(giv=0) print 未選第i項(xiàng)物品 else if(giv=1) print 選了第i項(xiàng)物品 v=v-ci另外，采用方程的前一項(xiàng)或后一項(xiàng)也可以在輸出方案的過程中根據(jù)fiv的值實(shí)時(shí)地求出來，也即不須紀(jì)錄g數(shù)組，將上述代碼中的giv=0改成fiv=fi-1v，giv=1改成fiv=fi-1v-ci+wi也可。輸出字典序最小的最優(yōu)方案這里“字典序最小”的意思是1.N號物品的選擇方案排列出來以后字典序最小。以輸出01背包最小字典序的方案為例。一般而言，求一個(gè)字典序最小的最優(yōu)方案，只需要在轉(zhuǎn)移時(shí)注意策略。首先，子問題的定義要略改一些。我們注意到，如果存在一個(gè)選了物品1的最優(yōu)方案，那么答案一定包含物品1，原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)背包容量為v-c1，物品為2.N的子問題。反之，如果答案不包含物品1，則轉(zhuǎn)化成背包容量仍為V，物品為2.N的子問題。不管答案怎樣，子問題的物品都是以i.N而非前所述的1.i的形式來定義的，所以狀態(tài)的定義和轉(zhuǎn)移方程都需要改一下。但也許更簡易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列來敘述。在這種情況下，可以按照前面經(jīng)典的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來求值，只是輸出方案的時(shí)候要注意：從N到1輸入時(shí)，如果fiv=fi-v及fiv=fi-1f-ci+wi同時(shí)成立，應(yīng)該按照后者（即選擇了物品i）來輸出方案。求方案總數(shù)對于一個(gè)給定了背包容量、物品費(fèi)用、物品間相互關(guān)系（分組、依賴等）的背包問題，除了再給定每個(gè)物品的價(jià)值后求可得到的最大價(jià)值外，還可以得到裝滿背包或?qū)⒈嘲b至某一指定容量的方案總數(shù)。對于這類改變問法的問題，一般只需將狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品，轉(zhuǎn)移方程即為fiv=sumfi-1v,fiv-ci初始條件f00=1。事實(shí)上，這樣做可行的原因在于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程已經(jīng)考察了所有可能的背包組成方案。最優(yōu)方案的總數(shù)這里的最優(yōu)方案是指物品總價(jià)值最大的方案。以01背包為例。結(jié)合求最大總價(jià)值和方案總數(shù)兩個(gè)問題的思路，最優(yōu)方案的總數(shù)可以這樣求：fiv意義同前述，giv表示這個(gè)子問題的最優(yōu)方案的總數(shù)，則在求fiv的同時(shí)求giv的偽代碼如下：for i=1.N for v=0.V fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi giv=0 if(fiv=fi-1v) inc(giv,gi-1v if(fiv=fi-1v-ci+wi) inc(giv,gi-1v-ci)如果你是第一次看到這樣的問題，請仔細(xì)體會(huì)上面的偽代碼。求次優(yōu)解、第K優(yōu)解對于求次優(yōu)解、第K優(yōu)解類的問題，如果相應(yīng)的最優(yōu)解問題能寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決，那么求次優(yōu)解往往可以相同的復(fù)雜度解決，第K優(yōu)解則比求最優(yōu)解的復(fù)雜度上多一個(gè)系數(shù)K。其基本思想是將每個(gè)狀態(tài)都表示成有序隊(duì)列，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中的max/min轉(zhuǎn)化成有序隊(duì)列的合并。這里仍然以01背包為例講解一下。首先看01背包求最優(yōu)解的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi。如果要求第K優(yōu)解，那么狀態(tài)fiv就應(yīng)該是一個(gè)大小為K的數(shù)組fiv1.K。其中fivk表示前i個(gè)物品、背包大小為v時(shí)，第k優(yōu)解的值?！癴iv是一個(gè)大小為K的數(shù)組”這一句，熟悉C語言的同學(xué)可能比較好理解，或者也可以簡單地理解為在原來的方程中加了一維。顯然fiv1.K這K個(gè)數(shù)是由大到小排列的，所以我們把它認(rèn)為是一個(gè)有序隊(duì)列。然后原方程就可以解釋為：fiv這個(gè)有序隊(duì)列是由fi-1v和fi-1v-ci+wi這兩個(gè)有序隊(duì)列合并得到的。有序隊(duì)列fi-1v即fi-1v1.K，fi-1v-ci+wi則理解為在fi-1v-ci1.K的每個(gè)數(shù)上加上wi后得到的有序隊(duì)列。合并這兩個(gè)有序隊(duì)列并將結(jié)果（的前K項(xiàng)）儲(chǔ)存到fiv1.K中的復(fù)雜度是O(K)。最后的答案是fNVK?？偟膹?fù)雜度是O(NVK)。為什么這個(gè)方法正確呢？實(shí)際上，一個(gè)正確的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的求解過程遍歷了所有可用的策略，也就覆蓋了問題的所有方案。只不過由于是求最優(yōu)解，所以其它在任何一個(gè)策略上達(dá)不到最優(yōu)的方案都被忽略了。如果把每個(gè)狀態(tài)表示成一個(gè)大小為K的數(shù)組，并在這個(gè)數(shù)組中有序的保存該狀態(tài)可取到的前K個(gè)最優(yōu)值。那么，對于任兩個(gè)狀態(tài)的max運(yùn)算等價(jià)于兩個(gè)由大到小的有序隊(duì)列的合并。另外還要注意題目對于“第K優(yōu)解”的定義，將策略不同但權(quán)值相同的兩個(gè)方案是看作同一個(gè)解還是不同的解。如果是前者，則維護(hù)有序隊(duì)列時(shí)要保證隊(duì)列里的數(shù)沒有重復(fù)的。小結(jié)顯然，這里不可能窮盡背包類動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題所有的問法。甚至還存在一類將背包類動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題與其它領(lǐng)域（例如數(shù)論、圖論）結(jié)合起來的問題，在這篇論背包問題的專文中也不會(huì)論及。但只要深刻領(lǐng)會(huì)前述所有類別的背包問題的思路和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，遇到其它的變形問法，只要題目難度還屬于NOIP，應(yīng)該也不難想出算法。觸類旁通、舉一反三，應(yīng)該也是一個(gè)OIer應(yīng)有的品質(zhì)吧。首頁附：USACO中的背包問題USACO是USA Computing Olympiad的簡稱，它組織了很多面向全球的計(jì)算機(jī)競賽活動(dòng)。USACO Trainng是一個(gè)很適合初學(xué)者的題庫，我認(rèn)為它的特色是題目質(zhì)量高，循序漸進(jìn)，還配有不錯(cuò)的課文和題目分析。其中關(guān)于背包問題的那篇課文 (TEXT Knapsack Problems) 也值得一看。另外，USACO Contest是USACO常年組織的面向全球的競賽系列，在此也推薦NOIP選手參加。我整理了USACO Training中涉及背包問題的題目，應(yīng)該可以作為不錯(cuò)的習(xí)題。其中標(biāo)加號的是我比較推薦的，標(biāo)嘆號的是我認(rèn)為對NOIP選手比較有挑戰(zhàn)性的。題目列表 Inflate (+) （基本01背包） Stamps (+)(!) （對初學(xué)者有一定挑戰(zhàn)性） Money Nuggets Subsets Rockers (+) （另一類有趣的“二維”背包問題） Milk4 (!) （很怪的背包問題問法，較難用純DP求解） 題目簡解以下文字來自我所撰的USACO心得一文，該文的完整版本，包括我的程序，可在DD的USACO征程中找到。Inflate 是加權(quán)01 背包問題，也就是說：每種物品只有一件，只可以選擇放或者不放；而且每種物品有對應(yīng)的權(quán)值，目標(biāo)是使總權(quán)值最大或最小。它最樸素的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是：fki = maxfk-1i , fk-1i-vk+wk。fki表示前k 件物品花費(fèi)代價(jià)i 可以得到的最大權(quán)值。vk和wk分別是第k 件物品的花費(fèi)和權(quán)值。可以看到， fk的求解過程就是使用第k 件物品對fk-1進(jìn)行更新的過程。那么事實(shí)上就不用使用二維數(shù)組，只需要定義fi，然后對于每件物品k，順序地檢查fi與fi-vk+wk的