正弦定理、余弦定理和解斜三角形.doc

正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、 正弦定理推導(dǎo)在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1.1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, A則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1.1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C 同理可得， b a從而 A D B (圖1.1-3)證明二：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明三：（外接圓法）如圖所示， (R為外接圓的半徑)同理 =2R，2R由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。類(lèi)似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。從上面的研究過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即(1) 理解定理(1) 正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；(2）等價(jià)于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。2、 余弦定理的推導(dǎo)如圖1.1-4，在A(yíng)BC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, C已知a,b和C，求邊c。 b a A c B(圖1.1-4) 如圖11-5，設(shè)，那么c=a-b， =cc=(a-b) (a-b) A=a a + b b -2ab b c從而 C a B 同理可證 (圖11-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。從余弦定理，又可得到以下推論：(三) 理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？若ABC中，C=，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。3正弦定理、余弦定理及其變形形式，（1）正弦定理、三角形面積公式：；（2）正弦定理的變形：；（3）余弦定理：4、正余弦定理的應(yīng)用與三角形中的有關(guān)公式(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性,任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：正弦定理的一些變式：；已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。特別提醒：（1）求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。2、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）?！局R(shí)點(diǎn)練習(xí)】1. 在任一ABC中求證： . 2. 在A(yíng)BC中，已知，B=45 求A、C及c .3. 在A(yíng)BC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1 求 (1)角C的度數(shù) (2)AB的長(zhǎng)度 (3)ABC的面積 . 2.總結(jié)解斜三角形的要求和常用方法.（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形問(wèn)題：已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求其它的邊和角.（2） 應(yīng)用余弦定理解以下兩類(lèi)三角形問(wèn)題：已知三邊求三內(nèi)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)內(nèi)角.一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(xiàn)(高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn))及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題例1. 中，BC3，則的周長(zhǎng)為（ ）A B C D例2(2005年全國(guó)高考湖北卷) 中，已知，AC邊上的中線(xiàn)BD=，求sinA的值二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀例3 在中，已知，那么一定是（ ）A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷，統(tǒng)一化為邊，再判斷三、 解決與面積有關(guān)問(wèn)題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題例4 在中，若，則的面積S_分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式SABAC sinA即可解決四、求值問(wèn)題例5 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若滿(mǎn)足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理5、 正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測(cè)量問(wèn)題圖1ABCD例6 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度。（二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題例7.某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？西北南東ABC3015圖2解析：如圖艦艇在A(yíng)點(diǎn)處觀(guān)測(cè)到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30北的方向上。 在A(yíng)BC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC直線(xiàn)AB，垂足為C，則SC=15sin30=7.5。這表明航線(xiàn)離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。（三.）最值問(wèn)題例8如圖，半圓的直徑為，為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形.問(wèn)：點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形面積最大？分析：四邊形的面積由點(diǎn)的位置唯一確定，而點(diǎn)由唯一確定，因此可設(shè)，再用的三角函數(shù)來(lái)表示四邊形的面積.本章節(jié)知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)題分析例題1在不等邊ABC中，a為最大邊，如果，求A的取值范圍。錯(cuò)解：。則，由于cosA在（0，180）上為減函數(shù)且又A為ABC的內(nèi)角，0A90。辨析：錯(cuò)因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是為最大邊，而錯(cuò)解中只把a(bǔ)看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯(cuò)誤。例題2在A(yíng)BC中，若，試判斷ABC的形狀。錯(cuò)解：由正弦定理，得即。2A2B，即AB。故ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A2B。這是三角變換中常見(jiàn)的錯(cuò)誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。例題3在A(yíng)BC中，A60，b1，求的值。錯(cuò)解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。例題4在A(yíng)BC中，C30，求ab的最大值。錯(cuò)解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得，又。故的最大值為。辨析：錯(cuò)因是未弄清A與150A之間的關(guān)系。這里A與150A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量，sinA與sin(150A)不能同時(shí)取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。例題5在A(yíng)BC中，已知a2，b，C15，求A。錯(cuò)解：由余弦定理，得。又由正弦定理，得而。辨析：由題意，。因此A150是不可能的。錯(cuò)因是沒(méi)有認(rèn)真審題，未利用隱含條件。在解題時(shí)，要善于應(yīng)用題中的條件，特別是隱含條件，全面細(xì)致地分析問(wèn)題，避免錯(cuò)誤發(fā)生。例題6在A(yíng)BC中，判斷ABC的形狀。錯(cuò)解：在A(yíng)BC中，由正弦定理得AB且AB90故ABC為等腰直角三角形。辨析：對(duì)三角公式不熟，不理解邏輯連結(jié)詞“或”、“且”的意義，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤。例題7若a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，證明長(zhǎng)為的三條線(xiàn)段能構(gòu)成銳角三角形。錯(cuò)解：不妨設(shè)，只要考慮最大邊的對(duì)角為銳角即可。由于a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有，即。長(zhǎng)為的三條線(xiàn)段能構(gòu)成銳角三角形。辨析：三條線(xiàn)段構(gòu)成銳角三角形，要滿(mǎn)足兩個(gè)條件：三條邊滿(mǎn)足三角形邊長(zhǎng)關(guān)系；最長(zhǎng)線(xiàn)段的對(duì)角是銳角。顯然錯(cuò)解只驗(yàn)證了第二個(gè)條件，而缺少第一個(gè)條件?！揪毩?xí)1】1、（06湖北卷）若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則 A. B C D2、（06安徽卷）如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則A和都是銳角三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形3、（06遼寧卷）已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（） 4、（06四川卷）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，則是的（A）充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件5、 （06上海春）在中，已知，三角形面積為12，則 .6、（06全國(guó)卷I）的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。7、（06全國(guó)II）在,求（1） (2)若點(diǎn)8、（07全國(guó)卷2理17）在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值【練習(xí)2】1 已知的兩邊是方程的兩個(gè)根，的面積是，周長(zhǎng)是，試求及的值；2如圖， ， 求的長(zhǎng). 3.在A(yíng)BC中，求證：4. 設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。5.在A(yíng)BC中，判斷ABC的形狀。6.（07浙江理18）已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)7.（07上海理17）在中，分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊若，求的面積8.（07全國(guó)卷1理17）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，（）求的大??；（）求的取值范圍9.（07北京文理13）2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是我國(guó)以古代