高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列 理.doc

a數(shù)列問題的題型與方法一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1 能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式解題；2能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項和前項的和；3使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題；4通過解決探索性問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力5在解綜合題的實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力6培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二考試要求：1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題。3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題。4數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。三教學(xué)過程：（）基礎(chǔ)知識詳析1可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。(3)中項公式法：驗證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關(guān)sn的最值問題常用鄰項變號法求解：(1)當(dāng),d0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。5注意事項：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明或而得。在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便。對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。注意一些特殊數(shù)列的求和方法。注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=，=數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略通過解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力（）2004年高考數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題選1（2004年高考數(shù)學(xué)北京卷，18）函數(shù)是定義在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間（1，2）上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。 （i）求及，的值，并歸納出的表達(dá)式;（ii）設(shè)直線，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2），記，求的表達(dá)式，并寫出其定義域和最小值。分析：本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力. 解：（i）由，得 由及，得. 同理，. 歸納得. （ii）當(dāng)時, . 所以是首項為，公比為的等比數(shù)列, 所以. 的定義域為1，當(dāng)時取得最小值.2（2004年高考數(shù)學(xué)北京卷，20）給定有限個正數(shù)滿足條件t：每個數(shù)都不大于50且總和l1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為）、第四組（余差為）、，直至第n組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止. （i）判斷的大小關(guān)系，并指出除第n組外的每組至少含有幾個數(shù); （ii）當(dāng)構(gòu)成第n（nn）組后，指出余下的每個數(shù)與的大小關(guān)系，并證明; （iii）對任何滿足條件t的有限個正數(shù)，證明：.分析：本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力. 解：（i）。除第n組外的每組至少含有個數(shù) （ii）當(dāng)?shù)趎組形成后，因為，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第n組的余差，即 , 由此可得. 因為，所以. （iii）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（i）和（ii）可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差，且, 故余下的每個數(shù) . （*） 因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于. 此時第11組的余差這與（*）式中矛盾，所以.3（2004年高考數(shù)學(xué)重慶卷，22）設(shè)數(shù)列滿足（1）證明對一切正整數(shù)n 成立；（2）令,判斷的大小，并說明理由。（i）證法一：當(dāng)不等式成立.綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，對一切正整數(shù)成立.證法二：當(dāng)n=1時，.結(jié)論成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即 當(dāng)?shù)膯卧鲂院蜌w納假設(shè)有所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.因此，對一切正整數(shù)n均成立.證法三：由遞推公式得 上述各式相加并化簡得 （ii）解法一： 解法二：i解法三： 故.4（2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項和為sn.()若首項，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.分析：本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.解：（i）當(dāng)時， 由，即 又.（ii）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在中分別取k=1,2,得（1）（2）由（1）得 當(dāng)若成立若 故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)若若.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，（）范例分析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項和為s(2)過點(diǎn)q(1，a)，q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為，證明：(1)因為等差數(shù)列a的公差d0，所以kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關(guān)，a中又有s=4a+2，可由s-s作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由s=4a，s=4a+2，兩式相減，得s-s=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知s=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32當(dāng)n2時，s=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，s=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為s=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用例3已知數(shù)列a是首項a10，q-1且q0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列b的通項b=a-ka(nn)，數(shù)列a、b的前n項和分別為s，t如果tks對一切自然數(shù)n都成立，求實數(shù)k的取值范圍分析：由探尋t和s的關(guān)系入手謀求解題思路。解：因為a是首項a0，公比q-1且q0的等比數(shù)列，故a=aq，a=aq所以 b=a-ka=a(q-kq)t=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=s(q-kq)依題意，由tks，得s(q-kq)ks， 對一切自然數(shù)n都成立當(dāng)q0時，由a10，知a0，所以s0；當(dāng)-1q0時，因為a10，1-q0，1-q0，所以s=綜合上面兩種情況，當(dāng)q-1且q0時，s0總成立由式可得q-kqk ，例4(2001年全國理)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解析：第1年投入800萬元，第2年投入800（1-）萬元，第n年投入800（1）n1萬元所以總投入an800800（1）800（1）n140001（）n同理：第1年收入400萬元，第2年收入400（1）萬元，第n年收入400（1）n1萬元bn400400（1）400（1）n11600（）n1(2)bnan0，1600（）n140001（）n0化簡得，5（）n2（）n70設(shè)x（）n，5x27x20x，x1（舍)即（）n，n5.說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實際意義的解答。例5設(shè)實數(shù)，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當(dāng)時，對任意自然數(shù)都有=解：。記+得說明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。解法一：設(shè)等差數(shù)列a的首項a=a，公差為d，則其通項為根據(jù)等比數(shù)列的定義知s0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例7設(shè)二次方程x-+1x+1=0(nn)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a；例8在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式。解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），t中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故（3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。例10如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn)，且，在射線上依次有點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），且用含的式子表示；用含的式子表示的坐標(biāo)；求四邊形面積的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐標(biāo)，是以為首項，為公差的等差數(shù)列（3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則單調(diào)遞減.的最大值為.說明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11設(shè)正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列，且a=4，a=16說明：這是2000年全國高考上海試題，涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，對數(shù)計算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力例12已知拋物線，過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列的前項和為，試比較與的大小解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得，故是以為公比的等比數(shù)列；（2），故只要比較與的大小方法（一），當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)時有,則當(dāng)時,.a)，是公差為-1的等差數(shù)列，又2a-a，2a-a，2a-a，(1)求數(shù)列a的通項公式；(2)計算(a+a+a)分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān)項構(gòu)成，分別求出它們的通項公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組解：(1)設(shè)b=log(3a-a)，因為bn是等差數(shù)列，d=-1b1=log3a-a2 設(shè)c=2a-a，c是等比數(shù)列，公比為q，|q|1，c=2a-a=例14等比數(shù)列a中，已知a10，公比q0，前n項和為s，自然數(shù)b，c，d，e滿足bcde，且b+e=c+d求證：ssss分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵(證明不等式首選方法是差比較法，即作差變形判定符號，變形要有利于判定符號)be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因為ce，de，所以c-e0，e-d0，于是(c-e)(e-d)0又同理(要比較ss與ss的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運(yùn)用差比較法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現(xiàn)了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等變形只有目標(biāo)明確，變形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因為q0所以q-d0(運(yùn)用函數(shù)的思想將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號)事實上，由bde，q0，當(dāng)0q1時，y=qx是減函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0；當(dāng)q1時，y=qx是增函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0所以無論0q1還是q1，都有qe-qd與qb-qd異號，即(qe-qd)(qb-qd)0綜上所述，無論q=1還是q1，都有ssss說明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對知識的深化，對能力的提高、關(guān)鍵在落實根據(jù)上面所研究的問題，進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問題的能力例15（2003年北京春季高考）如圖，在邊長為l的等邊abc中，圓o1為abc的內(nèi)切圓，圓o2與圓o1外切，且與ab，bc相切，圓on+1與圓on外切，且與ab，bc相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓on的面積為.（）證明是等比數(shù)列；（）求的值.（）證明：記rn為圓on的半徑，則 所以故成等比數(shù)列.（）解：因為所以說明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識，考查邏輯思維能力.例16（2004年北京春季高考20）下表給出一個“等差數(shù)陣”：47（）（）（）712（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。（i）寫出的值；（ii）寫出的計算公式；（iii）證明：正整數(shù)n在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。解：（i）（ii）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：第i行是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此（iii）必要性：若n在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得從而即正整數(shù)2n+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2n+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2n+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而可見n在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù)n在該等差數(shù)陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。四、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)s和t分別為兩個等差數(shù)列的前n項和，若對任意nn， （ ）a43b32c74d78712一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項的和等于前11項的和，當(dāng)這個數(shù)列的前n項和最大時，n等于 （ ）a5 b6c7 d83若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項4設(shè)在等比數(shù)列中，求及5根據(jù)下面各個數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式6數(shù)列的前項和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為經(jīng)過年綠化總面積為求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？8（2002年春招試題）已知點(diǎn)的序列（，0），其中=0，a3是線錢a1a2的中點(diǎn)，a4是線段a2a3的中點(diǎn)，an是線段的中點(diǎn)，。（i）寫出與、之間的關(guān)系式（3）（ii）設(shè)，計算，由此推測數(shù)列的通項公式，并加以證明。9(94年全國理)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于sn與2的等比中項.(1)寫出數(shù)列an的前三項；(2)求數(shù)列an的通項公式(寫出推證過程)；(3)令bn=(nn)，求：b1+b2+bn-n.五、參考答案1解：設(shè)這兩個等差數(shù)列分別為an和bn故選擇a說明：注意巧妙運(yùn)用等差中項的性質(zhì)來反映等差數(shù)列的通項an與前2n-1項和s2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d0因為s3=s11=s3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故當(dāng)n=7時，a70，a80選擇c解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解：多次運(yùn)用迭代，可得4解：，又，由以上二式得 或；由此得或.說明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用。5解：（1），（2）=又解：由題意，對一切自然數(shù)成立，（3）是首項為公比為的等比數(shù)列，說明：本例復(fù)習(xí)求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。6解：由可得當(dāng)時，是公比為的等比數(shù)列. 又當(dāng)時，。說明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求，關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時取對數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.8（i）解：當(dāng)n3時，（ii）解：.由此推測。證法一：因為，且（n2）所以。證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）（i）當(dāng)時，公式成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時，公式成立，即成立。那么當(dāng)時，=式仍成立。根據(jù)（i）與（ii）可知，對任意，公式成立評注：本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。9解：(1)由題意=an0令n=1時，=s1=a1解得a1=2令n=2時有=a1+a2解得a2=6令n=3時有=s3=a1+a2+a3解得a3=10故該數(shù)列的前三項為2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列an有通項公式an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項公式是an=4n-2(nn)1當(dāng)n=1時，因為41-22，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確.2假設(shè)n=k時，結(jié)論正確，即有ak=4k-2由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得sk=2k2由題意有=sk+1=sk+ak+1得sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+10，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2這就是說n=k+1時，上述結(jié)論成立.根據(jù)1，2上述結(jié)論對所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有，=(nn)整理得sn=(an+2)2由此得sn+1=(an+1+2)2所以an+1=sn+1-sn=（an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知an+1+an0,所以an+1-an=4即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2,公差d=4，所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1)即通項公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,則cn=b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=說明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對于含自然數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.數(shù)列綜合問題一、教材分析:、地位與作用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位. 考綱要求:“理解數(shù)列的概念, 了解通項公式的意義, 了解遞推公式, 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式, 并能解決簡單的問題.” 教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后, 因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù), 這樣安排既有利于認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì), 也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解. 數(shù)列綜合問題以數(shù)列為引線和依托, 結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識, 題型新穎, 解法靈活, 能有效地考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力.、重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵根據(jù)高考考試說明的要求，結(jié)合對歷屆高考試題的分析, 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是: 利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關(guān)知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題. 而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題, 特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點(diǎn). 從教學(xué)實踐來看, 學(xué)生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒, 總覺得難以掌握, 因此教學(xué)的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解, 同時注意培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì), 特別是排除萬難的精神.二、高考回顧“在知識的交匯點(diǎn)設(shè)置能力型問題”是指導(dǎo)高考命題的思想之一. 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個重要的交匯點(diǎn). 數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點(diǎn)考查. 下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計, 統(tǒng)計如下表: 2004年 2005年全國1分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項等比數(shù)列的公比與前項和全國2通項與前項和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國3數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國4導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限 北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限上海點(diǎn)列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題天津函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列不等式遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明山東 同全國卷1導(dǎo)數(shù)、等比數(shù)列的判定江蘇數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明浙江點(diǎn)列問題、等比數(shù)列的判定點(diǎn)列問題、等差數(shù)列的判定福建涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題遞推公式、數(shù)列不等式湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用探索性問題、數(shù)列不等式廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題 無江西 同全國卷1數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明從上表可以看出, 2004年的15份理科試題中, 每套試題均有一道解答題. 其中處在壓卷題位置的有8道; 2005年的16份理科試題中, 除廣東卷外每套試題均有一套解答題, 其中處在壓卷題位置的有5道. 由此不難得知, 數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容, 其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題, 其中, 以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點(diǎn)列為命題載體, 有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點(diǎn).三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強(qiáng)、區(qū)分度高, 因此大多數(shù)同學(xué)解此類問題時思維常常受阻, 甚至無從下手, 下面我結(jié)合近幾年的高考題, 就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點(diǎn)探討:1、數(shù)列各部分知識的綜合例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列為等比數(shù)列, 其中, 求的值.解析: 由題意得, 即, . 在等比數(shù)列中, 公比又 又是等差數(shù)列的第項, = 求解策略 解純數(shù)列綜合題, 要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.本題的關(guān)鍵是注意到的雙重身份既是等比數(shù)列的第項, 又是等差數(shù)列的第項, 先求出通項, 再求出其前項的和.2、數(shù)列與函數(shù)的綜合例2. 已知函數(shù)是定義在r上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列.分析一: 由于已知條件只有抽象函數(shù)關(guān)系式和的表達(dá)式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關(guān)鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).分析二: 將所給函數(shù)關(guān)系式適當(dāng)變形, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造另一個函數(shù), 設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二: 當(dāng)時, 由可得: ,令 上式為: 分析三: 設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列.求解策略 解數(shù)列與函數(shù)的綜合題, 一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系. 本題是一道已知抽象函數(shù)關(guān)系, 利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題. 所提供的三種證法中, 證法一思路自然, 但較為繁瑣; 證法二技巧性強(qiáng); 證法三思維跨度大, 但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實: 充分應(yīng)用已知條件變形轉(zhuǎn)化, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造新的數(shù)列, 然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.3、數(shù)列與不等式的綜合例3. (2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立； (1) 法一: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 即時, 成立.綜上, 可知對一切正整數(shù)成立.法二: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.因此只需證: , 即證只需, 顯然成立.即時, 結(jié)論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立.法三: 由遞推公式得, , ,將上述各式相加并化簡得 ()又時, 顯然成立. 所以對一切正整數(shù)成立.(2)解法一: 解法二: 又 求解策略 證明數(shù)列不等式問題, 一般可采用數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法來證明. 有時要綜合使用其中的幾種方法.(1) 中的證法一、證法二都利用了數(shù)學(xué)歸納法, 證法一、證法三都將目標(biāo)定為證明, 去掉了根式, 利用放縮法得證; 證法二, 看到遞推關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系, 利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證. 證法三利用迭加法, 變更了遞推關(guān)系, 這是對遞推公式常用的變形方式之一. (2)中利用比較法, 方法一是作商法, 方法二并不是直接作差, 而是利用平方差, 消除了根式, 簡化了運(yùn)算, 在不等式的證明中, 觀察式子的結(jié)構(gòu)特征合理地進(jìn)行放縮, 是成功的關(guān)鍵.4、數(shù)列與解析幾何的綜合例4.(2004浙江)如圖, 的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),對于每一個正整數(shù),為線段的中點(diǎn),令的坐標(biāo)為,.(1) 求 (2)證明(3)若記 證明是等比數(shù)列.解析: (1) 又由題意可知 為常數(shù)列. 即(2) 將等式兩邊除以2, 得 又 (3)又 是公比為的等比數(shù)列.求解策略 數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標(biāo)為載體, 以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關(guān)知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點(diǎn)的無限運(yùn)動為背景, 解決問題的關(guān)鍵是尋求點(diǎn)的坐標(biāo)間的相互聯(lián)系, 得到遞推關(guān)系, 再運(yùn)用數(shù)列知識進(jìn)行求解.5、數(shù)列應(yīng)用問題(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā), 某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè), 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃, 本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元, 由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用, 預(yù)計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加(1) 設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元, 旅游總收入為萬元, 寫出的通項公式;(2) 至少經(jīng)過幾年, 旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解析: (1)第1年投入800萬元, 第2年投入800萬元,第年投入萬元，所以年內(nèi)的總投入為 旅游業(yè)第1年收入400萬元, 第2年收入400(1+)萬元,第年收入萬元, 所以年內(nèi)的總收入為 (3) 設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入, 由 即化簡得 設(shè)代入, 得解得(舍), 即, 即從而至少經(jīng)過5年旅游業(yè)總收入才能超過總投入.求解策略 解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關(guān)系模型), 然后利用相關(guān)知識求解. 解題時首先要讀懂題目, 理解題意, 對陌生的背景、文字?jǐn)⑹霰容^長的題目, 要充滿信心, 從問題中盡可能多地獲取信息, 大膽聯(lián)想, 合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.總之, 數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點(diǎn)的交匯, 因此要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用, 要有意識的運(yùn)用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想來探求解題思路，同時要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用.四、教法分析新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出, 教學(xué)過程也是學(xué)生的認(rèn)識過程, 學(xué)生在教學(xué)活動中始終處于主體地位, 教師則應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的促進(jìn)者, 而非單純的知識傳授者, 其基本任務(wù)也就在于促進(jìn)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律, 我采用: 問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進(jìn)行教學(xué), 同時采用討論式組織課堂教學(xué). 在教學(xué)中我都是先提出問題, 讓學(xué)生觀察分析、自主探索、歸納總結(jié), 從而真正使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考, 仔細(xì)觀察, 認(rèn)真分析, 嚴(yán)謹(jǐn)推理的學(xué)習(xí)習(xí)慣, 并提高他們的自學(xué)能力與探索意識.同時鼓勵學(xué)生相互交流，從而促使學(xué)生真正成為自覺投入且積極建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動中的主體.五、評價分析本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、揭示等方面出發(fā), 教給學(xué)生探求知識的方法, 教會學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力. 本節(jié)教學(xué)設(shè)計以發(fā)展學(xué)生的思維能力為中心, 以轉(zhuǎn)化為主線, 注重展示學(xué)生的思維過程, 注重讓學(xué)生參與知識的形成過程, 由特殊到一般, 由易到難, 一環(huán)扣一環(huán), 從而增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 同時以問題為載體, 讓學(xué)生經(jīng)歷主動參與, 積極探求的過程, 讓學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)、反思,因而有效的實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo),發(fā)展了學(xué)生的能力.六、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)內(nèi)容共分兩個課時, 數(shù)列各部分知識、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合為第一課時, 數(shù)列與解析幾何的綜合和數(shù)列的應(yīng)用題為第二課時.第一課時共分五個環(huán)節(jié), 具體安排如下:復(fù)習(xí)回顧 教師開門見山點(diǎn)出主題, 并引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).課前熱身 教師給出三個小題, 讓學(xué)生先練習(xí), 教師進(jìn)行行間巡視, 個別輔導(dǎo), 然后請學(xué)生回答, 教師再作補(bǔ)充.范例分析 將復(fù)習(xí)目標(biāo)題型化, 通過三個典型例題, 讓學(xué)生在具體問題中理解知識, 掌握方法, 這樣能使學(xué)生理解更加具體、深刻. 該環(huán)節(jié)先讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主練習(xí), 然后教師采用“焦點(diǎn)訪談”式的教學(xué), 在焦點(diǎn)(難點(diǎn)、疑點(diǎn)、迷點(diǎn)、易錯點(diǎn))啟發(fā)學(xué)生尋找突破口, 通過訪談(請同學(xué)回答), 集中學(xué)生的智慧,讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光, 能力在要害處增長, 缺點(diǎn)在細(xì)微處暴露, 意志在艱難處磨礪. 通過訪談, 實現(xiàn)師生之間、學(xué)生之間智慧和能力互補(bǔ), 并促進(jìn)心靈和感情的溝通. 歸納總結(jié) 提煉本節(jié)課的要點(diǎn), 歸納主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法、技巧、規(guī)律. 這一環(huán)節(jié)先讓學(xué)生回答, 然后教師適當(dāng)補(bǔ)充、完善.鞏固練習(xí) 本節(jié)課共布置練習(xí)六個, 其中最后兩題為選作題(為第二節(jié)課作鋪墊).以上是我的想法, 不足之處, 敬請各位專家批評指正.七、附：教案 數(shù)列綜合問題（第一課時）教學(xué)目標(biāo)：1、 知識目標(biāo): 進(jìn)一步鞏固數(shù)列有關(guān)知識, 構(gòu)建數(shù)列、函數(shù)、不等式交互知識體系,探索數(shù)列綜合問題的求解策略.2、 能力目標(biāo): 以發(fā)展思維能力為核心, 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括等能力,培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.3、 情感目標(biāo): 激發(fā)學(xué)生勤于思考、勇于探索的精神, 培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝難題的信心.重點(diǎn)、難點(diǎn):重點(diǎn): 數(shù)列知識的綜合應(yīng)用.難點(diǎn): 以數(shù)列為工具解決與函數(shù)、不等式的綜合問題.教學(xué)過程:(一) 課題引入 開門見山提出課題(二) 知識回顧 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)(三) 課前熱身 (投影)1.(2005年天津卷) 在數(shù)列中, ,則s100= .2. (2005年湖南卷)已知數(shù)列滿足, 則=( )a. 0 b. c. d. 3. 已知數(shù)列中,則在前30項中最大項和最小項分別是( )a. b. c. d.由學(xué)生練習(xí), 教師請學(xué)生分析, 再作補(bǔ)充.(四) 范例分析 (投影)例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列為等比數(shù)列, 其中, 求的值.解析: 由題意得, 即, . 在等比數(shù)列中, 公比又 又是等差數(shù)列的第項, = 師生共同歸納小結(jié): 例2. 已知函數(shù)是定義在r上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列.分析一: 由于已知條件只有函數(shù)關(guān)系式和的表達(dá)式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關(guān)鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).分析二: 將所給函數(shù)關(guān)系式適當(dāng)變形, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造另一個函數(shù), 設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二: 當(dāng)時, 由可得: ,令 上式為: 分析三: 設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列.師生共同歸納小結(jié):例3. (2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立； 并說明理由.(2) 法一: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 即時, 成立.綜上, 可知對一切正整數(shù)成立.法二: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.因此只需證: , 即證只需, 顯然成立.即時, 結(jié)論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立.法三: 由遞推公式得, , ,將上述各式相加并化簡得 ()又時, 顯然成立. 所以對一切正整數(shù)成立.(2)解法一: . 由, 故解法二: 又 師生共同歸納小結(jié):(五) 歸納小結(jié): 讓學(xué)生小結(jié)