分形的Mathematica實現(xiàn).doc

分形的Mathematica實現(xiàn)學(xué)生姓名：賈俊鋒 指導(dǎo)教師：李曉芬（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系14023 山西太原030012）【內(nèi)容提要】 本文主要敘述了分形的發(fā)展史和分形中的兩類圖形Mandelbrot集和Julia集及他們的Mathematica實現(xiàn)。第一部分為分形的發(fā)展史，著重敘述分形的幾何特征。第二部分著重敘述Mandelbrot集和Julia集，以及Mathematica程序設(shè)計、運(yùn)行結(jié)果?！娟P(guān)鍵詞】 分形，Mandelbrot集，Julia集。分形是自然界的幾何學(xué)。Mandelbrot（分形理論創(chuàng)始人）一、分形的發(fā)展史1.1 分形概念的提出與分形理論的建立分形在英文中為fractal,由美籍?dāng)?shù)學(xué)家Mandelbrot創(chuàng)造出來的，源于拉丁文（形容詞）fractus,（動詞）frangere它與英文的fraction（碎片）及fragment（碎片）具有相同的根。在20世紀(jì)70年代中期以前，Mandelbrot一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想,因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾所合成的fractal ,本意是不規(guī)則、破碎的、分?jǐn)?shù)的。Mandelbrot是想用此詞描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何學(xué)不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象，例如：蜿蜒曲折的海岸線，起伏不定的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云。它們的特點：極不規(guī)則或極不光滑。1975年，Mandelbrot出版了他的法文專著分形對象：形、機(jī)遇與維數(shù)，標(biāo)志著分形理論正式誕生。1977年，他又出版了該書的英譯本。1982年Mandelbrot的另一歷史著作大自然的分形幾何與讀者見面，該書雖然是前書的增補(bǔ)本，但在Mandelbrot看來卻是分形理論的“宣言書”，而在分形迷的眼中，它無疑是一部“圣經(jīng)”，該書從分形的角度考察了自然界中諸多現(xiàn)象，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛注意，Mandelbrot也因此一舉成名。1.2 分形的幾何特征Mandelbrot（1986年）曾經(jīng)給分形下過這樣一個定義：組成部分與整體部分以某種方式相似的形，也就是說：分形一般具有自相似性。然而理論發(fā)展到今天，不限于研究對象的自相似性質(zhì)了，如果一個對象的部分與整體具有自仿射變換關(guān)系，我們也可以稱它為分形。今后，條件可能進(jìn)一步拓寬，只要部分與整體以某種規(guī)則聯(lián)系起來，通過某種變換使之對應(yīng)，我們可以將其看成分形，分形的本質(zhì)就是標(biāo)度變換下的不變性。1.2.1 自相似性自相似性便是局部與整體的相似。它的例子有Cantor 三分集、Koch 曲線、Sierpinski墊片。Cantor 三分集 大家都清楚它的構(gòu)造，這里就不再敘述。Koch 曲線的構(gòu)成如下：取一條歐氏長度為l的線段，將其三等分，保留兩端，將中間改換為夾角為60的兩個線段。對每一線段重復(fù)上述操作以至無窮，便得到一條具有自相似的折線，這就是Koch 曲線。（圖1）Sierpinski墊片的構(gòu)成如下：取初始圖形等邊三角形面。將這個等邊三角形面四等分，得到4個小等邊三角形面，去掉中間一個，將剩下的3個小等邊三角形面分別進(jìn)行四等分，再去掉中間的一個，重復(fù)以上操作直到無窮。（圖2） 1.2.2 自仿射性自仿射性是自相似性的一種拓展。如果將自相似性看成是局部到整體性在各個方向上的等比例變換的結(jié)果的話，那么，自仿射性就是局部到整體在不同方向上的不等比例變換的結(jié)果，前者是自相似性變換，后者是自仿射性變換，圖3表示相似變換與仿射變換的不同結(jié)果。1.2.3 精細(xì)結(jié)構(gòu)分形還有一個更重要的特征：即精細(xì)結(jié)構(gòu)。在理論上，Koch 曲線是按一定規(guī)則無限變化的結(jié)果，所以，如果有一個數(shù)學(xué)放大鏡來看Koch 曲線的話，無論放大多少倍，都能看到里面還有與整體相似的結(jié)構(gòu)。這一點，不由得使人想起了莊子天下篇中的“一尺之槌，日取其半，萬世不竭”，這里我們不打算討論物質(zhì)是否無限可分，我們只是注意到分形和自然對象都具有極多層次的結(jié)構(gòu)，這是分形體最基本特征，自然界中的對象與數(shù)學(xué)中的分形還是不一樣的。如下圖，可以看出分形的精細(xì)結(jié)構(gòu)。1.2.4 分形維數(shù)對于歐幾里得幾何所描述的整形來說，可以由長度、面積、體積來測度。但用這種辦法對分形的層層細(xì)節(jié)做出測定是不可能的。曼德爾布羅特放棄了這些測定而轉(zhuǎn)向了維數(shù)概念。分形的主要幾何特征是關(guān)于它的結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性和復(fù)雜性，主要特征量應(yīng)該是關(guān)于它的不規(guī)則性和復(fù)雜性程度的度量，這可用“維數(shù)”來表征。維數(shù)是幾何形體的一種重要性質(zhì)，有其豐富的內(nèi)涵。整形幾何學(xué)描述的都是有整數(shù)維的對象：點是零維的，線是一維的，面是二維的，體是三維的。我們知道0維是點，一維是線，二維是面，三維是空間。那么，誰能告訴我1.5維是什么? 一條直線段是一維的，由四條這樣的直線段組成的正方形是二維的。六個這樣的正方形組成的正方體是三維的。直線的長度數(shù)值，正方形的面積數(shù)值和立方體的體積數(shù)值都和我們測量的單位有關(guān)。測量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。假設(shè)我們的分辨能力增加了一倍，因此我們把直線段長度單位減小到原單位的一半，直線段長度的計量值就變?yōu)樵瓉淼膬杀?，正方形面積就變?yōu)樵瓉淼乃谋?，體積則變?yōu)樵瓉淼陌吮?。我們有下? log4/log2=2 log8/log2=3這里的二和三不是巧合，這是另一種維數(shù)的定義:測度維的概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。如果某圖形是由把原圖縮小為1/的相似的b個圖形所組成，有：D= D即維數(shù)：D=log/log （其中的為線度的放大倍數(shù)，K為“體積”的放大倍數(shù)）。我們還可以這樣推廣：如果把一個物體的邊長分成n個相等的小線段，結(jié)果可得到與原物形狀相同的m個小物體。把m寫成以n為底的指數(shù)形式：m=nd (或d=1ogm/1ogn)則指數(shù) d=1og m/1og n稱為這個物體的維數(shù)。由于1ogm/1ogn不一定是整數(shù)，因此就會出現(xiàn)維數(shù)為分?jǐn)?shù)的情況。例1 koch曲線,它的維數(shù)是d=1og4/1og31.26。例2 對于Sierpinski墊片，它的維數(shù)是d=1og3/1og21.58。1.3 分形與歐氏幾何的區(qū)別 1 歐氏幾何是規(guī)則的，而分形幾何是不規(guī)則的。也就是說，歐氏幾何一般是逐段光滑的，而分形幾何往往在任何區(qū)間內(nèi)都不具有光滑性。2 歐氏圖形層次是有限的，而分形從數(shù)學(xué)角度講是層次無限的。3 歐氏圖形不會從局部得到整體的信息，而分形圖形強(qiáng)調(diào)這種關(guān)系。4 歐氏圖形越復(fù)雜，背后規(guī)則必定很復(fù)雜。而分形圖形看上去很復(fù)雜，但是背后的規(guī)則往往很簡單。5歐氏幾何學(xué)描述的對象是人類創(chuàng)造的簡單的標(biāo)準(zhǔn)物體。而分形幾何學(xué)描述的對象是大自然創(chuàng)造的復(fù)雜是真實物。6歐氏幾何學(xué)有特征長度，而分形幾何學(xué)無特征長度。7歐氏幾何學(xué)有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)方式，而分形幾何學(xué)用迭代語言表達(dá)。8歐氏幾何學(xué)的維數(shù)是0及整數(shù)（1或2或3），而分形幾何學(xué)一般是分?jǐn)?shù)也可以是正整數(shù)。二、Mandelbrot集與Julia集 分形中的Mandelbrot集與Julia集的圖像是美麗的，如果沒有計算機(jī)，可以說，是不可能展現(xiàn)出分形的美。今天是網(wǎng)絡(luò)時代，信息的發(fā)達(dá)使每個人能夠獲得知識，但對于分形的Mathematica程序?qū)崿F(xiàn)方面是匱乏的，其他語言的實現(xiàn)可以找到，而本文是對分形的Mathematica程序?qū)崿F(xiàn)方面做了一些工作。2.1 用到的函數(shù)其中出現(xiàn)的函數(shù)為Block，Abs ，DensityPlot。它們的作用如下：Blockx, y, , expr specifies that expr is to be evaluated with local values for the symbols x, y, .Absz gives the absolute value of the real or complex number zDensityPlotf, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax makes a density plot of f as a function of x and y?？臻g密度畫圖函數(shù)，畫出f(x,y)在a,b*c,d上的密度圖。2.2 Mandelbrot集熱情的贊賞者常常說：Mandelbrot集是最復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象，即使用無限的時間也不足以觀察它的全貌。那飾以多姿多彩荊棘的圓盤，那彎曲纏繞的螺線和細(xì)絲，那掛著微細(xì)顆粒的鱗莖，那無窮盡的斑駁的色彩，那好像是上帝葡萄藤上的累累果實。Mandelbrot集顯示了分形之美。Mandelbrot集成為了分形、混沌的一種國際標(biāo)志。2.2.1概念介紹Mandelbrot集圖形非常地美麗，但他的生成原理卻十分的簡單。這也許體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單和諧之美。對進(jìn)行這樣的迭代：Zn+1 =Z2n +C , 給定為一個初始的復(fù)數(shù)，而對不同的C，迭代序列Znn=0有界的所有C值構(gòu)成的集合，即MZ0 =C|迭代序列Znn=0有界,則稱MZ0在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Mandelbrot集。2.2.2程序設(shè)計為了更好的編程繪制Mandelbrot集并實現(xiàn)其高階的迭代，先設(shè)如下：1 選定參數(shù)Z=cx+cy*I,xmin=ymin= -1.5, xmax=ymax=1.5,取方程為Zn+1 =Znk+C*Z進(jìn)行迭代。2 Z的模小于2，迭代次數(shù)不超過50。3 對于Z在平面上表示時，設(shè)xx為x的初始迭代坐標(biāo)，yy為y的初始迭代坐標(biāo)坐標(biāo)表示。4 所取的變量范圍為（cx，cy），分別為x與y的范圍，迭代次數(shù)為n。 Mandelbrot集的Mathematica的程序Fx1x_, y_, cx_, cy_, n_ := Blockz, ct = 0, z = x + y*I; While(Absz 2.0) & (ct False, ColorFunction - Hue; （*圖象設(shè)定*）Returnkok 取迭代方程為Z =Z2 +C，變量范圍為x,-1.5,0.5,y, -1.2, 1.2,并畫出區(qū)域x, 0.2, 0.4, y, -0.1, 0.1M1=Ht11,0,2,x,-1.5,0.5,y, -1.2, 1.2, PlotPoints-120, PlotLabel - Mandelbrot1;取迭代方程為Z =Z2 +C，變量范圍為x, 0.2, 0.4, y, -0.1, 0.1，為上圖的局部放大圖。M11 = Ht11, 0, 2, x, 0.2, 0.4, y, -0.1, 0.1, PlotPoints - 120, PlotLabel - x,0.2,0.4,y,-0.1,0.1; 這是Mandelbrot集，右邊為前面的局部放大圖 “ ColorFunction - Hue”為著色函數(shù)，如果沒有ColorFunction - Hue，圖像為黑白的。2.3 Julia集2.3.1概念介紹 Graston Julia（1893-1978），法國數(shù)學(xué)家，1919年研究迭代保角變換ZN+1=ZN2+c，能產(chǎn)生令人眼花繚亂的圖案，由于當(dāng)時沒有計算機(jī)，不能象今天把如此美妙絕倫的圖案奉獻(xiàn)于世界。對進(jìn)行這樣的迭代：Zn+1 =Z2n +C , 給定為一個初始的復(fù)數(shù)，迭代序列 Znn=0可能有界，也可能發(fā)散到無窮。令Jc是使迭代序列Znn=0有界所有構(gòu)成的集合，即Jc= |迭代序列Znn=0有界,則稱Jc在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Julia集。Julia集和Mandelbrot集可以說是一對孿生兄弟。2.3.2程序設(shè)計Julia集圖形的畫法自然和Mandelbrot集的畫法一樣，只是初始條件和邊界條件還有迭代變量稍有不同。Julia集實際上是Mandelbort集的子集，它對應(yīng)于Mandelbort集內(nèi)、集外的每個點，所以Julia集是不計其數(shù)的。Julia集繪制方法和Mandelbort集完全一樣，是用同樣的迭代公式實現(xiàn)。不同的是，Mandelbort集固定為零，變化c，考察迭代計算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果給c點位置著色，從而繪出圖形。而Julia集則是固定c，變化，同樣根據(jù)迭代結(jié)果給點位置著色而繪出圖形。因此根據(jù)不同的c值，可以得到形態(tài)各異的圖形。為了更好的編程繪制Julia集并實現(xiàn)其高階的迭代，先設(shè)如下：(1) 取方程為Zn+1 =Znk+C進(jìn)行迭代。 (2) Z的模小于2，迭代次數(shù)不超過50。(3) 對于Z在平面上表示時，設(shè)xx為x的初始迭代坐標(biāo)，yy為y的初始迭代坐標(biāo)坐標(biāo)表示。所取的變量范圍為（cx，cy），分別為x與y的范圍，迭代次數(shù)為n。Fx2x_,y_,cx_,cy_,n_:=Blockz,ct=0,z=x+y*I; While(Absz 2.0) & (ct False, ColorFunction - Hue; (*著色函數(shù)，如果沒有ColorFunction - Hue，圖像為黑白*)Returnkok取迭代方程為Z =Z2 +C，固定C值為0.27334+0.00742i變量范圍為x,-1,1,y, -1.3, 1.3,并畫出區(qū)域x, 0.4, 0.8, y, -0.3, 0。J1=Ht20.27334, 0.00742,2, x, -1, 1, y, -1.3, 1.3,PlotPoints - 120, PlotLabel - XShowJ1, Graphics Line0.4, -0.3, 0.4, 0, 0.8, 0, 0.8, -0.3, 0.4, -0.3 取迭代方程為Z =Z2 +C，固定C值為0.27334+0.00742i變量范圍為x, 0.4, 0.8, y, -0.3, 0。Ht20.27334, 0.00742, 2, x, 0.4, 0.8, y, -0.3, 0, PlotPoints - 120, PlotLabel - x,0.4,0.8,y,-0.3,0 “ ColorFunction - Hue”為著色函數(shù)，如果沒有ColorFunction - Hue，圖像為黑白的。Ht2cx_,cy_,n_,pu_List,po_List,pl_List中， n為迭代的次數(shù), （cx ，cy）為初始條件中固定c值，pu_List為復(fù)平面上x的范圍，po_List為復(fù)平面上y的范圍。2.4 進(jìn)一步研究MZ0 =C|迭代序列Znn=0有界, Jc= |迭代序列Znn=0有界。對于這兩個集，Mandelbrot 集由Jc 的參數(shù)構(gòu)成，Julia集由MZ0的參數(shù)構(gòu)成。也就是說，Mandelbrot 集與Julia集緊密聯(lián)系著。 根據(jù)c點在Mandelbrot 集中的位置就能夠預(yù)測與之相關(guān)的Julia集的外形及大小，從而可以得迭代的一般情況程序繪出的圖形非常美麗，我們進(jìn)而又思考，如果每次迭代時取的3次,4次,5次,6次（這樣的詳盡命令可在光盤中的2.1，2.2等），會是什么樣圖形呢？會不會畫出的圖形混沌而沒有規(guī)律呢？只要對程序中的n值進(jìn)行賦值就可以了。如果每次迭代時取的1/3次,2/3次,1次,4/3次，5/3次，7/3次會是什么樣圖形呢？會不會畫出的圖形混沌而沒有規(guī)律呢？（這樣的詳盡命令可在光盤中的3.1，3.2等） 在Mandelbrot集的Mathematica的程序中，在Ht1cx_, cy_, n_, pu_List, po_List, pl_List;，對n進(jìn)行不同賦值，可得的迭代的指數(shù)不同Mandelbrot集。對于Julia集，在它的Mathematica的程序中，在Ht2cx_, cy_, n_, pu_List, po_List, pl_List;，對n進(jìn)行不同賦值，（cx ，cy）賦于不同c值，可各式各樣的Julia集。參數(shù)的不同，產(chǎn)生的圖形是不同的，如果要得到更多的圖形，可以進(jìn)行不同的賦值。如命令：M2=Ht11,0,3, x, -1, 1, y, -1.2, 1.2, PlotPoints -120, PlotLabel - Mandelbrot2;M3=Ht11,0,4,x,-1.3,0.9,y,-1.2,1.2,PlotPoints-120, PlotLabel-Mandelbrot3;M4=Ht11,0,5,x,-1,1,y,-1,1,PlotPoints-120,PlotLabel-Mandelbrot4;M5=Ht11,0,6,x,-1,1,y,-1.1,1.1,PlotPoints-120,PlotLabel-Mandelbrot5;J2=Ht2-0.10256, 0.70486, 2, x, -1.5, 1.5, y, -1.5, 1.5,PlotPoints - 120, PlotLabel - Hare J3=Ht20.54496, 0.45559, 3, x, -1.5, 1.5, y, -1.5, 1.5, PlotPoints - 200, PlotLabel - 龍 J4=Ht20.69455, 0.28586, 4, x, -1, 1, y, -1, 1,PlotPoints - 200, PlotLabel - HitlerJ5=Ht20.340652, 0.7033651, 5, x, -1.5, 1.5, y, -1.5, 1.5, PlotPoints - 200, PlotLabel - FlowerJ6=Ht20.73251, -0.414193, 6, x, -1.5, 1.5, y, -1.5, 1.5,PlotPoints - 200, PlotLabel - Start（Julia集的命令是參考了一些書籍中C值的參數(shù)）下面給出這些命令的圖形 所以說Mandelbrot 集是一本可以查閱所有Julia集的詞典從2至6階的Mandelbrot 集與Julia集 （上方為Mandelbrot 集下方為Julia集）21世紀(jì)是信息的時代，計算機(jī)已深深的滲入我們的工作的各個方面，尤其是一些高科技方面，大量的信息處理，更離不開計算機(jī)，本文應(yīng)用了計算機(jī)，并用Mathematica程序展現(xiàn)了一些美麗的分形圖形，這是一種有益的嘗試，希望能夠拋磚引玉，在分形的研究方面起的發(fā)揮一些作用。 【參考文獻(xiàn)】孫博文分形算法與程序設(shè)計北京：科學(xué)出版社 2004李水根，吳紀(jì)桃分形與小波北京：科學(xué)出版社 2002齊東旭分形與其計算機(jī)生成北京：科學(xué)出版社 1994李水根分形北京：高等教育出版