高考復(fù)習(xí)：參數(shù)問題.doc

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：參數(shù)問題一、 專題概述：什么是參數(shù)數(shù)學(xué)中的常量和變量相互依存，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化而參數(shù)（也叫參變量）是介于常量和變量之間的具有中間性質(zhì)的量，它的本質(zhì)是變量，但又可視為常數(shù)，正是由于參數(shù)的這種兩重性和靈活性，在分析和解決問題的過程中，引進參數(shù)就能表現(xiàn)出較大的能動作用和活力，“引參求變”是一種重要的思維策略，是解決各類數(shù)學(xué)問題的有力武器 參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)的數(shù)學(xué)問題中，比如：代數(shù)中、函數(shù)的解析式，數(shù)列的通項公式；含參數(shù)的方程或不等式；解析幾何中含參數(shù)的曲線方程和曲線的參數(shù)方程等等 參數(shù)是數(shù)學(xué)中的活潑“元素”，特別是一個數(shù)學(xué)問題中條件與結(jié)論涉及的因素較多，轉(zhuǎn)換過程較長時，參數(shù)的設(shè)定和處理的作用尤為突出，合理選用參數(shù)，并處理好參數(shù)與常數(shù)及變數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，在某些問題的求解過程中起到了十分關(guān)鍵的作用 二、 例題分析 1待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是指利用已知條件確定一個解析式或某一數(shù)學(xué)表達(dá)式中的待定參數(shù)的值，從而得到預(yù)期結(jié)果的方法 待定系數(shù)法是解決數(shù)學(xué)問題時常用的數(shù)學(xué)方法之一要判斷一個數(shù)學(xué)問題能否使用待定系數(shù)法求解，關(guān)鍵是要看所求數(shù)學(xué)問題的結(jié)果是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就可以使用待定系數(shù)法求解 （1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式或數(shù)列的通項公式 例1 ，當(dāng)x (-2,6)時，f(x)0當(dāng) 時，f(x)0 求a、b及f(x) 解 當(dāng)a=0時，顯然不符合題設(shè)條件，故a0，于是可由題設(shè)條件畫出f(x)的草圖如圖所示 由圖知，x=-2和x=6是方程 的兩根，a0時，f(x)有最小值2，并且x0時，f(x)的遞增區(qū)間 求函數(shù)f(x)的解析式 解 f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x) 即 ，從而求得c=0 a0,b0,當(dāng)x0時， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取等號 即當(dāng) 時，f(x)取最小值 ，得a=b2 x0時，f(x)的遞增區(qū)間是 ，故 時，f(x)取得最小值 ，故a=4，從而b=2 注：本題給出函數(shù)f(x)的表達(dá)形式，欲求f(x)的解析式，就是利用待定系數(shù)法，根據(jù)題設(shè)條件求出a、b、c的值， 例3已知數(shù)列an的通項 ，是否存在等差數(shù)列bn，使 ，對一切自然數(shù)n都成立，并說明理由 分析 題目給出的條件是等式，等差數(shù)列bn具有確定的形式，可設(shè)bn=a1+(n-1)d或bn=pn+q，這兩者是等價的，可利用待定系數(shù)法，根據(jù)題設(shè)條件看參數(shù)a1,d或p,q的值是否存在 解法一：假設(shè)存在等差數(shù)列bn，使對一切自然數(shù)n都成立 設(shè) （p,q為待定系數(shù)），則 令n=1，得p+q=4 令n=2，得5p+3q=18 由聯(lián)立，解得p=3,q=1故bn=3n+1，但這樣得到的bn只是必要條件，也就是還必須證明其充分性，需用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切自然數(shù)n，等式： 成立 （證明略） 解法二：可設(shè) ，請同學(xué)們自行完成 （2）用待定系數(shù)法求曲線方程 含參數(shù)的曲線方程中，參數(shù)值確定，方程隨之確定，這就為求曲線方程提供了一種有效方法待定系數(shù)法，這是平面解析幾何的重要內(nèi)容 例4已知拋物線的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5；若將拋物線向上移3個單位，則在x軸上截得的線段為原拋物線在x軸上截得線段的一半；若將拋物線向左平移1個單位，則拋物線過原點，求拋物線的方程 解 根據(jù)題設(shè)可設(shè)所求的拋物線方程為： 其中h,a,k為待定系數(shù)，因此，必須建立關(guān)于h,a,k的三個獨立等式 由頂點到原點的距離為5，知 由拋物線(*)向上平移3個單位后的方程為： 令y=0，得方程： ，設(shè)其二根為x1,x2，則在x軸上截得線段長為：在原拋物線(*)中，令y=0，得 設(shè)其二根式為x3,x4，則在x軸上截得的線段長為： 依題意有： 又由拋物線(*)向左平移1個單位后的方程： 過原點，得 由聯(lián)立，解方程組得： 故所求拋物線方程為： 例5若雙曲線C滿足下列三個條件： C的實軸在y軸上； 漸近線方程為： ； 當(dāng)A(5,2)到此雙曲線上動點P的最小距離為3 求雙曲線C的方程 解 由 故所求雙曲線的中心為（0，2），又實軸在y軸上，故設(shè)雙曲線方程 為 (*) 由漸近線的斜率知： 即b=2a 故所求方程(*)化簡為： 設(shè)雙曲線上點P(x,y)到點A(5,2)的距離為d，則 = 時，d2最小值5+a2 依題意有：5+a2=9，a2=4 故所求雙曲線C的方程為： 說明 引入含參數(shù)的曲線方程，用以表示具有某種共同性質(zhì)的曲線系，再利用題設(shè)條件確定參數(shù)的值，從而求得曲線的方程，這種待定系數(shù)法，體現(xiàn)了引參求變，變中求定的思維策略 2含參數(shù)的方程與不等式 例6設(shè)a R，且a0，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)解關(guān)于z的方程： 解 由原方程可得 ，可知z為實數(shù)或純虛數(shù) 若z R，則 ，由原方程化為 由于a 0，判別式=4+4a0恒成立 解得 故 若z為純虛數(shù)，設(shè) ，原方程化為 判斷式 =4(1-a)，當(dāng) 時， 此時， 當(dāng)a0時，0，方程無實根，原方程無解， 綜上，當(dāng) 時，原方程的解是 ；當(dāng)a0時，原方程的解是 例7 已知aR，解不等式 解 若a=0，則不等式等價于兩個不等式組： （） （） 當(dāng)a0時（） 解集為 （） 綜上：當(dāng)a0時，解集為 ； 當(dāng)a=0時，解集為； 當(dāng)a0時，解集為 說明 通過這一組含參數(shù)的方程與不等式的問題的分析研究可以看出，方程或不等式的解集與各項系數(shù)之間有著相互確定的密切關(guān)系，引入?yún)?shù)的思想方法，可深化對這種關(guān)系的認(rèn)識提高相互轉(zhuǎn)化的能力 3含參數(shù)的曲線方程與曲線的參數(shù)方程 （1）含參數(shù)的曲線方程的應(yīng)用 例8已知函數(shù) （m為參數(shù)） 求證（）不論m取何值，此拋物線的頂點總在同一直線L上，（）任意一條平行于L且與拋物線相交的直線被各拋物線截得的線段長都相等 解 將解析式變形為： 可知拋物線的頂點坐標(biāo)是 即頂點軌跡的參數(shù)方程是 消去參數(shù)m，得 ，說明不論m取何值，頂點均在直線L：上 （）設(shè)平行于L的直線L的方程為y=x+b，代入拋物線方程，得 當(dāng) ，即 時，直線L與拋物線有兩個交點A和B = 與m無關(guān) 說明直線L被各拋物線截得的線段長都相等 （2）曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用 例9點P(x,y)在橢圓 上移動時，求函數(shù) 的最大值 解析 顯然，要設(shè)法將二元函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值問題，因此選用該橢圓的參數(shù)方程 由于 代入函數(shù)解析式中， 于是 = = 令 于是 當(dāng) 即 時，u有最大值 時，u的最大值為 三、解題訓(xùn)練函數(shù) 在一個周期內(nèi)，當(dāng) 時，y有最大值1，當(dāng) 時，y有最小值3，求函數(shù)解析式 2已知二次函數(shù)，滿足，求f(-2)的取值范圍 3是否存在常數(shù)a,b,c使得等式 對于一切自然數(shù)n都成立？并證明 4已知 ，試求a的取值范圍，使 5已知關(guān)于x的二次函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍 6已知兩點P(-2,2)，Q(0,2)以及直線Ly=x，設(shè)弦長為 的線段AB在直線L上移動，求直線PA和QB的交點M的軌跡方程 7已知兩定點A(-1,0)、