參賽作品-高中數(shù)學(xué)必修五3.4基本不等式： .doc

太原市教學(xué)設(shè)計(jì)大賽參賽作品高中數(shù)學(xué)必修五3.4基本不等式：教學(xué)設(shè)計(jì)太原市育英中學(xué)賈夏莉高中數(shù)學(xué)必修五 第三章 不等式3.4基本不等式：第一部分：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)首頁(yè)一、制定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)1課標(biāo)要求與教材分析 基本不等式：這節(jié)內(nèi)容是不等式這一章的核心.對(duì)于解決不等式的證明,求最值以及生活中的優(yōu)化問題都起到工具性作用.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),既拓展了前面函數(shù)章值域與最值的求法,又豐富了后面推理和證明的學(xué)習(xí).在知識(shí)體系中,起到了承上啟下的作用.2學(xué)情分析高中二年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的不等式知識(shí),而且具有較好的邏輯思維能力,因此他們希望能夠自己探索,發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.現(xiàn)在歷經(jīng)課改的學(xué)生不希望停留在接受學(xué)習(xí)的框框內(nèi),他們需要充滿活力與創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的課堂.所以本單元的教學(xué)應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí),利用“三動(dòng)式”教學(xué)模式,師生共同學(xué)習(xí)不等式知識(shí),希望在本章的學(xué)習(xí)中逐漸提高學(xué)生的合作交流能力.二、教學(xué)目標(biāo)不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系,是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.建立不等觀念,處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的.在本章中,學(xué)生將通過具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解決一些實(shí)際問題;能用一元二次不等式組表示平面區(qū)域,并嘗試解決簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題;認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用;體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系.第二部分：課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)首頁(yè)一、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個(gè)基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等;并能利用定理證明有關(guān)不等式和解決一些有關(guān)實(shí)際問題.逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,分析解決問題的能力,形成良好的思維質(zhì)量.學(xué)會(huì)與人合作交流、樂于探究,感受生活中的數(shù)學(xué),體驗(yàn)成功的喜悅,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,形成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)： 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式難點(diǎn)： 基本不等式求最大值和最小值三、教學(xué)方法與手段方法： 講解法、討論法、研究法手段： 多媒體輔助教學(xué)四、使用教材的構(gòu)想建構(gòu)主義理論認(rèn)為：知識(shí)不是被動(dòng)接受的,而是認(rèn)知主體積極主動(dòng)建構(gòu)的.本課的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在這種教學(xué)理念的指導(dǎo)下,讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情境概念教學(xué)探究公式注重反思拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程,體驗(yàn)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)學(xué)就在我們的身邊”,發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和能力,成為積極主動(dòng)的建構(gòu)者.基本不等式：共分兩課時(shí),本課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)試圖依據(jù)新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念,注重課程的發(fā)生和開發(fā)過程,注重師生交往、互動(dòng)、共同發(fā)展的過程,關(guān)注學(xué)生的發(fā)展和情感體驗(yàn),更多的讓學(xué)生體會(huì)自主研究,合作學(xué)習(xí)的樂趣.同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)能力.第三部分：教學(xué)流程一、探究新知1.創(chuàng)設(shè)情景,讓學(xué)生的思維“動(dòng)”起來教師行為:多媒體展示某工廠要建立一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋的水池,其容積為4800m,深為3m.如果池底每1的造價(jià)為150元,池壁每1 的造價(jià)為120元,問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元?教師語(yǔ)言：這是本章引言中的一道實(shí)際應(yīng)用問題,問題的實(shí)質(zhì)是什么?可以抽象成怎樣的數(shù)學(xué)模型?學(xué)生活動(dòng):設(shè)水池底面一邊長(zhǎng)為x m ,另一邊的長(zhǎng)度為m ,又設(shè)水池總造價(jià)為L(zhǎng)元,根據(jù)題意得: L = 150+120(23x+23) = 240000+720(x+) 非二次函數(shù)教師提醒:問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值的問題，怎樣解呢?學(xué)生感到困惑時(shí),教師點(diǎn)題.教師語(yǔ)言:本節(jié)課我們將獲取解決問題的工具.【本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生已有的知識(shí)無法解決的問題,引發(fā)學(xué)生的探究欲望,為新知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).2.概念教學(xué),讓學(xué)生的思維“活”起來教師行為:多媒體展示問題1：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b, a+b與2ab有怎樣的大小關(guān)系?試說明證明的基本思想方法? 學(xué)生活動(dòng):學(xué)生通過閱讀課本，找尋答案證法一: a+b-2ab=(a-b)0. a+b2ab (作差比較)教師提醒:證明體現(xiàn)的是化歸思想.證法二:探究圖形中的不等關(guān)系 將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.結(jié)論：一般的，如果學(xué)生活動(dòng):如果給出a、b，a0且b0，則為算術(shù)平均數(shù)，為幾何平均數(shù)，且.證法一：-=（）2-（）2-2=（-）20教師提醒:證明體現(xiàn)的是化歸思想.證法二：在a2b22ab中，用替換a，替換b，即a+b2 .教師提醒:證明體現(xiàn)的是換元思想.問題2：你能對(duì)a2b22ab及做怎樣的幾何解釋？師生活動(dòng):幾何解析一（如圖1）用面積比較.如圖是邊長(zhǎng)為a的正方形，且ab0，當(dāng)a=b時(shí)，顯然a2b2=2ab；當(dāng)ab時(shí)，有a2+b2ab.即a2b22ab 幾何解析二（如圖2）在圖中，AB為直徑，令A(yù)C=a，BC=b則DD=2DC=（DC2=ACBC=ab） 弦|DD|直徑AB 即2a+b （即半徑長(zhǎng)于半弦） （圖1） (圖2)【本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過已有知識(shí)，解決問題，感受成就感，同時(shí)更急切的想了解上述問題與引例的關(guān)系.激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步求知的欲望.3.探究公式，讓學(xué)生的思維“跳”起來教師行為:教師給出兩個(gè)不等式（教師板書）（1）重要不等式：如果a、bR,那么a+b2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）（2）基本不等式：如果a、b都是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）這一定理又可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).問題3：學(xué)生觀察公式有哪些發(fā)現(xiàn)？（小組討論，代表發(fā)言）學(xué)生活動(dòng):學(xué)生想法各不相同學(xué)生甲：注意兩式都在a=b時(shí)“=”成立.學(xué)生乙：兩不等式成立條件不同，a+b2ab成立條件是a、b都是實(shí)數(shù)；成立條件是a、b都是正數(shù).學(xué)生丙：如果把看作正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab可看作正數(shù)a、b的等比中項(xiàng).那么定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).教師提醒：（1）不等式的變式:a+b2,ab()很有用. （2）分析不等式結(jié)構(gòu):左式為和結(jié)構(gòu)，右式為積結(jié)構(gòu)，該不等式表明兩正數(shù)和與積之間的大小關(guān)系，故也有人稱該定理為和積不等式.運(yùn)用該不等式可作和積之間不等變換.【本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，深入探究問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)自主探究，合作學(xué)習(xí)的樂趣.4注重反思，讓學(xué)生的思維“深”下去教師行為:板書例題例：已知x、y都是正數(shù)，求證： （1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x + y有最小值2.（2）如果和x + y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值為S.教師分析：本題關(guān)鍵在于確定已知與未知之間的關(guān)系，（1）中x + y與已知條件中定值P有怎樣的關(guān)系？（2）中的xy與已知條件中定值S有怎樣的關(guān)系？能利用這一關(guān)系解決相應(yīng)問題嗎？學(xué)生活動(dòng)：解：x、y都為正數(shù)， （1）積為定值即xy=P，則 x + y2當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取“=”，因此當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值為2.（2）和為定值即x + y=S，則， xy當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取“=”，因此當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值為S.師生提醒:上述結(jié)論是我們用基本不等式求最值的依據(jù)，可概括如下 ：“和為定值積最大，積為定值和最小”.“一正，二定，三相等”三個(gè)條件缺一不可.【本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖】這道例題點(diǎn)明了利用均值定理求最值的依據(jù)，同時(shí)也是學(xué)生們做題易忽略的地點(diǎn)，教師應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)說明.拓展應(yīng)用，讓學(xué)生的思維得以“升華”教師行為:多媒體展示本節(jié)例2教師分析：該問題可以看做求240000+720(x+)的取值范圍問題，注意x與均為正且積為常數(shù)，利用基本不等式可確定其范圍.學(xué)生板演：L = 150+120(23x+23) = 240000+720(x+) 240000+7202 =240000+720240 =297600當(dāng)且反當(dāng) x= 即x=40時(shí)，答：當(dāng)水池底面邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池最低造價(jià)為297600元.【本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖】本例的解決不僅與引例呼應(yīng)，而且完成了定理的拓展應(yīng)用.由兩名學(xué)生板演，即可滿足學(xué)生獲得新知的心理需求，又可進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)此類題目求解過程的規(guī)范性要求.二、課時(shí)小結(jié)教師語(yǔ)言:通過本節(jié)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？學(xué)生活動(dòng):學(xué)生甲: 學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理（1）重要不等式：如果a、bR,那么a+b2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）（2）基本不等式：如果a、b都是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）學(xué)生乙:在定理的證明過程中了解了兩類重要的數(shù)學(xué)思想化歸思想和換元思想.學(xué)生丙:基本不等式是求最值的又一種方法.該法的應(yīng)用要點(diǎn)是：“一正，二定，三相等”.忽略哪一點(diǎn)都可能導(dǎo)致解題出錯(cuò).三、當(dāng)堂訓(xùn)練與達(dá)標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)問題1.已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.問題2.求證：.問題3.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（ab）（bc）（ca）abc1、解：x、y都是正數(shù)，.，即.2、解：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2.2（a 2b2）（ab）2.不等式兩邊同除以4，得，即.3、證明a、b、c都是正數(shù)，ab20, bc20, c+a20.（ab）（bc）（ca）222abc,即（ab）（bc）（ca）abc.第四部分：課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)尾頁(yè)一、板書設(shè)計(jì) 3.4基本不等式：.重要不等式：a、b 注：1.幾何意義 引例： a+b2ab（當(dāng)且僅當(dāng) 2.三個(gè)條件 a=b時(shí)取“=”號(hào)） 例： 證明: 圖1 .基本不等式: a、b是 （1） 正數(shù), 圖2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)) （2） 證明: 二、作業(yè)設(shè)計(jì)1.用籬笆圍一個(gè)面積為100 m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬分別為x m、y m，則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2(x+y) m.由，可得x+y2， 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10.答：這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各都為 m時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是 m.2.一段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬分別為x m、y m.則2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.由，可得xy81. 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)成立.答：因此這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬各都為m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是m2.三、教學(xué)后記本課的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情境概念教學(xué)探究公式注重反思拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程,體驗(yàn)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,學(xué)生課堂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣很高,教學(xué)目標(biāo)在不知不覺中已經(jīng)達(dá)成。通過本節(jié)教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)一定要貼近學(xué)生的實(shí)際情況,過高的要求只會(huì)打擊他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.因此在教學(xué)的組織和例題的選取上一定要分層考慮，讓所有的學(xué)生在我們的課堂中都有所收獲。從當(dāng)堂訓(xùn)練題目的完成中，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)基本不等式證題掌握還不到位.因此還需要在作業(yè)中強(qiáng)化基本不等式解題要點(diǎn)“一正，二定，三相等”.只有融洽的課堂氣氛才能帶來良好的教學(xué)效果，作為數(shù)學(xué)老師我們一定要努力從培養(yǎng)學(xué)生對(duì)