動態(tài)法測量楊氏模量.doc

南昌大學大學物理實驗報告學生姓名:_ 學號:_ 專業(yè)班級:_實驗時間:_時_分 第_周 星期:_ 座位號:_動態(tài)法測量楊氏模量一.實驗目的 1、理解動態(tài)法測量楊氏模量的基本原理。 2、掌握動態(tài)法測量楊氏模量的基本方法，熟悉信號源和示波器的使用。二實驗原理 如圖1所示，長度L遠遠大于直徑d（Ld）的一細長棒，作微小橫振動（彎曲振動）時滿足的動力學方程（橫振動方程）為棒的軸線沿x方向， （1） y L 0 x x 圖 1式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏模量，單位為Pa或N/m;為材料密度，S為截面面積，J為某一截面的轉動慣量，J=。橫振動方程的邊界條件為：棒的兩端（x=0，L）是自由端，端點既不受正應力也不受切向力。用分離變量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有 （2）由于等式兩邊分別是兩個變量x和t的函數(shù)，所以只有當?shù)仁絻蛇叾嫉扔趦蛇叾嫉扔谕粋€常數(shù)時等式才成立，假設此常數(shù)為,則可得到下列兩個方程 (3) (4)如果棒中每點都作簡諧振動，則上述兩方程的通解分別為（5）于是可以得出 y（x，t）=（） （6）式中 (7)式中（7）稱為頻率公式，適用于不同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點（或支撐點）在試樣的節(jié)點，則根據(jù)邊界條件得到 cosKLchKL=1 （8）采用數(shù)值法可以得出本征值K和棒長L應滿足如下關系： KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137， （9）其中第一根=0對應試樣靜止狀態(tài)；第二根記為=4.730，所對應的試樣振動頻率稱為基振頻率（基頻）或者稱為固有頻率，此時的振動狀態(tài)如圖2所示，第三根=7.853所對應的振動狀態(tài)如圖3所示，稱為一次諧波。由此可知，試樣在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置分別距端面0.224L和0.776L。將基頻對應的K1值代入頻率公式，可得到楊氏模量為 E （10） 圖2 圖3如果試樣為圓棒（dL），則，所以式（10）可改寫為 （11）同樣，對于矩形棒試樣則有 （12）式中，m為棒的質(zhì)量，f為基頻振動的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度。如果，圓棒試樣不能滿足dL時，式（11）應乘以一個修正系數(shù)，T1，即 T1 （13）式（13）中的修正系數(shù)T1可以根據(jù)徑長比d/L的泊松比有徑長比與修正系數(shù)的對應關系徑長比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.010修正系數(shù)T11.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0381.055由式（10）（12）可知，對于圓棒或矩形棒試樣只要測出固有頻率就可以計算試樣的動態(tài)楊氏模量，所以整個實驗的主要任務就是測量試樣的基頻振動的固有頻率。本實驗只能測出試樣的共振頻率，物體固有頻率f固和共振頻率f共是相關的兩個不同概念，二者之間的關系為 (14)式（14）中Q為試樣的機械品質(zhì)因數(shù)。一般Q值遠大于50，共振頻率和固有頻率相比只偏低0.005%，兩者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。 試樣在做基頻振動時，存在兩個節(jié)點，分別在0.2241和0.7761處，顯然節(jié)點是不振動的，實驗時支撐點不能放在節(jié)點處，而本實驗又同時要求在試樣兩端自由的條件下，檢測出共振頻率。顯然這兩條矛盾的。支撐點離節(jié)點越遠，可以檢測到的共振信號就越強，但試樣受外力越大，這樣產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。圖4為兩端自由桿基頻彎曲振動波形。 0.224L 0.776L 圖4 為了消除誤差，可采用內(nèi)插法測量法測出換能器支撐點在節(jié)點時，式樣的共振頻率，具體測量法是改變支撐點的位置，逐步測出試樣的共振頻率f，設試樣端面離支撐點的距離為x，以x/l為橫坐標，共振頻率f為縱坐標，用orgin耦合一下數(shù)據(jù)，求出最低點。三、實驗儀器和裝置電源，銅棒，螺旋測微計，游標卡尺，天平，示波器，信號發(fā)生器，換能器。 圖5四、實驗步驟1，用螺旋測微計測量試樣的直徑。2，游標卡尺測量試樣的長度。3，用天平測量棒的質(zhì)量。4，支撐法測量步驟：（1） 安裝試樣棒。將棒放在支撐架上，保持棒橫向水平，換能器到試樣棒端點的距離相同。（2） 連接測量儀器。動態(tài)彈性模量測定儀激振信號輸出端接激振器的輸入端，拾振信號的輸入端接拾振器的輸出端，拾振信號的輸出端接示波器Y通道。將示波器X通道接激振信號的輸出端，用李薩如圖形測量。（3） 開機調(diào)試。開啟儀器電源，調(diào)節(jié)示波器處于正常工作狀態(tài)，信號發(fā)生器的頻率置于5kHz擋，連續(xù)調(diào)節(jié)輸出頻率，此時激發(fā)換能器應發(fā)出聲響。輕敲桌面，示波器Y軸信號大小立即變動并與敲擊強度有關，說明該裝置已處于工作狀態(tài)。，說明該裝置已處于工作狀態(tài)。，說明該裝置已處于工作狀態(tài)。（4） 檢頻與測量。由低到高調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的輸出頻率，正確找出試樣棒的基頻共振狀態(tài)，從頻率計上讀出共振頻率。（5） 測量基頻共振頻率。在兩節(jié)點位置兩側各取幾個測試點，各點間隔5mm左右，從外向內(nèi)依次同時移動兩個支撐點的位置，每次移動5mm，測出不同位置處基頻共振頻率。5，根據(jù)公式（13）計算楊氏模量。五，數(shù)據(jù)處理實驗數(shù)據(jù)如下距離x/mm5.00010.00015.00020.00025.00030.00035.00040.00045.000x/l0.0280.0560.0840.1120.1400.1690.1970.2250.253頻率f/Hz763.364761.658759.191756.413754.493753.001752.802節(jié)點附近751.992棒長L=178mm，棒直徑D=8mm，棒質(zhì)量m=75g，T1 =0.04耦合的曲線如圖最低點x/l=0.02243 f=751.778Hz利用公式T1 =pa六、思考題1、如何盡快找到試樣基頻共振頻率?答：測試前根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量，通過公式式估算出共振頻率的數(shù)值