(絕密試題)彈性力學(xué)與有限元分析試題及其答案.pdf

1 2012 年度彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案 絕密試題 2012 年度彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案 絕密試題 一 填空題一 填空題 1 彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用 邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力 形變和位移 2 在彈性力學(xué)中規(guī)定 線應(yīng)變以伸長時(shí)為正 縮短時(shí)為負(fù) 與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相 適應(yīng) 3 在彈性力學(xué)中規(guī)定 切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正 變大時(shí)為負(fù) 與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī) 定相適應(yīng) 4 物體受外力以后 其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力 它的集度稱為應(yīng)力 與物體的形變和材料強(qiáng) 度直接有關(guān)的 是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量 也就是正應(yīng)力 和切應(yīng)力 應(yīng)力及其分量的量綱是 L 1MT 2 5 彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性 完全彈性 均勻性 各向同性 6 平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 7 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量100 x MPa 50 y MPa 5010 xy MPa 則主應(yīng)力 1 150MPa 2 0MPa 1 6135 8 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量 200 x MPa 0 y MPa 400 xy MPa 則主應(yīng)力 1 512 MPa 2 312 MPa 1 37 57 9 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量 2000 x MPa 1000 y MPa 400 xy MPa 則主應(yīng)力 1 1052 MPa 2 2052 MPa 1 82 32 10 在彈性力學(xué)里分析問題 要考慮靜力學(xué) 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件 分別建立三 套方程 11 表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程 12 邊界條件表示邊界上位移與約束 或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式 分為位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件 13 按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法 14 有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu) 然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解 其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分 15 每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分 一部分是由本單元的形變引起的 另一部 分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的 16 每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分 一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān) 的 是各點(diǎn)不相同的 即所謂變量應(yīng)變 另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的 是各點(diǎn)相 同的 即所謂常量應(yīng)變 17 為了能從有限單元法得出正確的解答 位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量 應(yīng)變 還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性 18 為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù) 必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù) 為 2 了使得相鄰單元的位移保持連續(xù) 就不僅要使它們在公共結(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí) 也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移 19 在有限單元法中 單元的形函數(shù) Ni在 i 結(jié)點(diǎn) Ni 1 在其他結(jié)點(diǎn) Ni 0 及 Ni 1 20 為了提高有限單元法分析的精度 一般可以采用兩種方法 一是將單元的尺寸減小 以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況 二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式 使位移 和應(yīng)力的精度提高 二 判斷題二 判斷題 請?jiān)谡_命題后的括號內(nèi)打 在錯(cuò)誤命題后的括號內(nèi)打 1 連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿 不留下任何空隙 2 均勻性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿 不留下任何空隙 3 連續(xù)性假定是指整個(gè)物體是由同一材料組成的 4 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的物理方程是完全相同的 5 如果某一問題中 0 zyzxz 只存在平面應(yīng)力分量 x y xy 且它們不沿 z 方向變化 僅為 x y 的函數(shù) 此問題是平面應(yīng)力問題 6 如果某一問題中 0 zyzxz 只存在平面應(yīng)變分量 x y xy 且它們不沿 z 方向變化 僅為 x y 的函數(shù) 此問題是平面應(yīng)變問題 7 表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程 8 表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程 9 當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí) 位移分量卻不能完全確定 10 當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí) 形變分量即完全確定 11 按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用位移法和應(yīng)力法 12 按應(yīng)力求解平面問題 最后可以歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù) 13 在有限單元法中 結(jié)點(diǎn)力是指單元對結(jié)點(diǎn)的作用力 14 在有限單元法中 結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對單元的作用力 15 在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變 三 簡答題三 簡答題 1 簡述材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究對象 研究方法方面的異同點(diǎn) 在研究對象方面 材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件 也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度 的構(gòu)件 而彈性力學(xué)除了對桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步的 較精確的分析外 還對非桿狀結(jié)構(gòu) 例如板和殼 以及擋土墻 堤壩 地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)加以研究 在研究方法方面 材料力學(xué)研究桿狀構(gòu)件 除了從靜力學(xué) 幾何學(xué) 物理學(xué)三方面 進(jìn)行分析以外 大都引用了一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定 這就大簡化了 數(shù)學(xué)推演 但是 得出的解答往往是近似的 彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件 一般都不必引用 3 那些假定 因而得出的結(jié)果就比較精確 并且可以用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答 2 簡述彈性力學(xué)的研究方法 答答 在彈性體區(qū)域內(nèi)部 考慮靜力學(xué) 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件 分別建立三套方程 即根據(jù)微分體的平衡條件 建立平衡微分方程 根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何 關(guān)系 建立幾何方程 根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系 建立物理方程 此外 在彈性 體的邊界上還要建立邊界條件 在給定面力的邊界上 根據(jù)邊界上微分體的平衡條件 建立應(yīng)力邊界條件 在給定約束的邊界上 根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件 求解彈性力學(xué)問題 即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程 幾何方程 物理方程求解應(yīng)力 分量 形變分量和位移分量 3 彈性力學(xué)中應(yīng)力如何表示 正負(fù)如何規(guī)定 答答 彈性力學(xué)中正應(yīng)力用 表示 并加上一個(gè)下標(biāo)字母 表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面與作 用方向 切應(yīng)力用 表示 并加上兩個(gè)下標(biāo)字母 前一個(gè)字母表明作用面垂直于哪一個(gè) 坐標(biāo)軸 后一個(gè)字母表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸 并規(guī)定作用在正面上的應(yīng)力以沿 坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù) 相反 作用在負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方 向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)樨?fù) 4 簡述平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別 答答 平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板 只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變 化的面力 同時(shí) 體力也平行于板面并且不沿厚度變化 對應(yīng)的應(yīng)力分量只有 x y xy 而平面應(yīng)變問題是指很長的柱形體 在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變 化的面力 同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長度變化 對應(yīng)的位移分量只有 u 和 v 5 簡述圣維南原理 如果把物體的一小部分邊界上的面力 變換為分布不同但靜力等效的面力 主矢 量相同 對于同一點(diǎn)的主矩也相同 那么 近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變 但是遠(yuǎn) 處所受的影響可以不計(jì) 6 簡述按應(yīng)力求解平面問題時(shí)的逆解法 答答 所謂逆解法 就是先設(shè)定各種形式的 滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù) 并由應(yīng)力分量與 應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量 然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀 看 這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力 從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的 問題 7 以三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例 簡述有限單元法求解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟 1 取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量 2 應(yīng)用插值公式 由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù) 3 應(yīng)用幾何方程 由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變 4 應(yīng)用物理方程 由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力 5 應(yīng)用虛功方程 由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點(diǎn)力 4 6 應(yīng)用虛功方程 將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置 求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載 7 列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程 組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組 8 為了保證有限單元法解答的收斂性 位移模式應(yīng)滿足哪些條件 答答 為了保證有限單元法解答的收斂性 位移模式應(yīng)滿足下列條件 1 位移模式必須 能反映單元的剛體位移 2 位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變 3 位移模式應(yīng)盡 可能反映位移的連續(xù)性 9 在有限單元法中 為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移 每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分 一部分是由本單元的形變引起的 另一部 分是本單元的形變無關(guān)的 即剛體位移 它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的 甚至在彈性體的某些部位 例如在靠近懸臂梁的自由端處 單元的形變很小 單元的位 移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移 因此 為了正確反映單元的位移形 態(tài) 位移模式必須能反映該單元的剛體位移 10 在有限單元法中 為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變 答答 每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分 一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān) 的 是各點(diǎn)不相同的 即所謂變量應(yīng)變 另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的 是各點(diǎn)相同的 即所謂常量應(yīng)變 而且 當(dāng)單元的尺寸較小時(shí) 單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等 也就是單 元的應(yīng)變趨于均勻 因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分 因此 為了正確反映單元的 形變狀態(tài) 位移模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變 11 在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中 能否選取如下的位移模式并說明理由 1 yxyxu 3 2 21 2 654 yxyxv 2 2 32 2 1 yxyxyxu 2 65 2 4 yxyxyxv 答答 1 不能采用 因?yàn)槲灰颇Ｊ經(jīng)]有反映全部的剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng) 對坐標(biāo) x y 不對等 在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足 2 不能采用 因?yàn)?位移模式?jīng)]有反映剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng) 在單元邊界上 的連續(xù)性條件也不滿足 四 分析計(jì)算題四 分析計(jì)算題 1 試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件 并考慮下列平面問題的 應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在 1 ByAx x DyCx y FyEx xy 2 22 yxA x 22 yxB y Cxy xy 其中 A B C D E F 為常數(shù) 解解 應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件 1 在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程 5 0 0 xy yx xyy yx x 2 在區(qū)域內(nèi)的相容方程 0 2 2 2 2 yx yx 3 在邊界上的應(yīng)力 邊界條件 sflm sfml y s xyy x s yxx 4 對于多連體的位移單值條件 1 此組應(yīng)力分量滿足相容方程 為了滿足平衡微分方程 必須 A F D E 此 外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件 2 為了滿足相容方程 其系數(shù)必須滿足 A B 0 為了滿足平衡微分方程 其系 數(shù)必須滿足 A B C 2 上兩式是矛盾的 因此 此組應(yīng)力分量不可能存在 2 已知應(yīng)力分量 3 1 2 xCQxy x 2 22 3 xyC y yxCyC xy 2 3 3 2 體力不計(jì) Q 為 常數(shù) 試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù) C1 C2 C3 解解 將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程 0 0 xy yx xyy yx x 得 023 033 32 2 3 2 2 2 1 2 xyCxyC xCyCxCQy 即 023 033 32 2 2 2 31 xyCC yCQxCC 由 x y 的任意性 得 023 03 03 32 2 31 CC CQ CC 由此解得 6 1 Q C 3 2 Q C 2 3 Q C 3 已知應(yīng)力分量q x q y 0 xy 判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和 相容方程 解解 將已知應(yīng)力分量q x q y 0 xy 代入平衡微分方程 6 0 0 Y xy X yx xyy yx x 可知 已知應(yīng)力分量q x q y 0 xy 一般不滿足平衡微分方程 只有體力忽略 不計(jì)時(shí)才滿足 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 將已知應(yīng)力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知滿足相容方程 按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 1 1 將已知應(yīng)力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知滿足相容方程 4 試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件 并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否 可能存在 1 Axy x 3 By y 2 DyC xy 2 2 Ay x yBx y 2 Cxy xy 3 0 x 0 y Cxy xy 其中 A B C D 為常數(shù) 解解 應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件 即 yxxy xyy x 2 2 2 2 2 將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程 可知 1 相容 2 CByA 22 1 分 這組應(yīng)力分量若存在 則須滿足 B 0 2A C 3 0 C 這組應(yīng)力分量若存在 則須滿足 C 0 則0 x 0 y 0 xy 1 分 5 證明應(yīng)力函數(shù) 2 by 能滿足相容方程 并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解 決什么問題 體力不計(jì) 0 b l 2l 2 h 2 h 2 x O 7 解解 將應(yīng)力函數(shù) 2 by 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所給應(yīng)力函數(shù) 2 by 能滿足相容方程 由于不計(jì)體力 對應(yīng)的應(yīng)力分量為 b y x 2 2 2 0 2 2 x y 0 2 yx xy 對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系 當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí) 根據(jù)邊界條件 上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為 上邊 2 h y 0 l 1 m 0 2 h y xyx f 0 2 h y yy f 下邊 2 h y 0 l 1 m 0 2 hy xyx f 0 2 hy yy f 左邊 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 右邊 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 可見 上下兩邊沒有面力 而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力 2b 因此 應(yīng)力函數(shù) 2 by 能解決矩形板在 x 方向受均布拉力 b 0 和均布壓力 b 0 的問題 6 證明應(yīng)力函數(shù)axy 能滿足相容方程 并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解 決什么問題 體力不計(jì) 0 a l 2l 2 h 2 h 2 y x O 8 O x y b q g 解解 將應(yīng)力函數(shù)axy 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所給應(yīng)力函數(shù)axy 能滿足相容方程 由于不計(jì)體力 對應(yīng)的應(yīng)力分量為 0 2 2 y x 0 2 2 x y a yx xy 2 對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系 當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí) 根據(jù)邊界條件 上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為 上邊 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 h y yy f 下邊 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 hy yy f 左邊 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 右邊 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 可見 在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力 a 而在上下兩邊分別受有向右 和向左的均布面力 a 因此 應(yīng)力函數(shù) axy 能解決矩形板受均布剪力的問題 7 如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱 密度為 在一邊側(cè)面上受均布剪力 試求應(yīng)力分 量 解解 根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況 可以假定縱向纖維互不擠壓 即設(shè)0 x 由此可知 0 2 2 y x 將上式對 y 積分兩次 可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 21 xfyxfyx 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得 0 4 2 4 4 1 4 dx xfd dx xfd y 9 這是 y 的線性方程 但相容方程要求它有無數(shù)多的解 全柱內(nèi)的 y 值都應(yīng)該滿足它 可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零 即 0 4 1 4 dx xfd 0 4 2 4 dx xfd 這兩個(gè)方程要求 ICxBxAxxf 23 1 KJxExDxxf 23 2 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后 便得 2323 ExDxCxBxAxy 對應(yīng)應(yīng)力分量為 0 2 2 y x gyEDxBAxy x y 26 26 2 2 CBxAx yx xy 23 2 2 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定 左邊 0 x 1 l 0 m 沿 y 方向無面力 所以有 0 0 C xxy 右邊 bx 1 l 0 m 沿 y 方向的面力為 q 所以有 qBbAb bxxy 23 2 上邊 0 y 0 l 1 m 沒有水平面力 這就要求 xy 在這部分邊界上合成的主 矢量和主矩均為零 即 0 0 0 dx y b xy 將 xy 的表達(dá)式代入 并考慮到 C 0 則有 0 23 23 0 23 0 2 BbAbBxAxdxBxAx b b 而00 0 0 dx y b xy 自然滿足 又由于在這部分邊界上沒有垂直面力 這就要求 y 在這部 分邊界上合成的主矢量和主矩均為零 即 0 0 0 dx y b y 0 0 0 xdx y b y 將 y 的表達(dá)式代入 則有 02323 26 2 0 2 0 EbDbExDxdxEDx b b 10 022 26 23 0 23 0 EbDbExDxxdxEDx b b 由此可得 2 b q A b q B 0 C 0 D 0 E 應(yīng)力分量為 0 x gy b x b y q y 312 23b x b x q xy 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處 y 0 的邊界條件 但按照圣維南原理 在稍遠(yuǎn) 離 y 0 處這一結(jié)果應(yīng)是適用的 8 證明 如果體力分量雖然不是常量 但卻是有勢的力 即體力分量可以表示為 x V fx y V fy 其中 V 是勢函數(shù) 則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程 證明證明 在體力為有勢力的情況下 按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí) 應(yīng)力分量 x y xy 應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程 0 0 y V xy x V yx xyy yx x 1 分 還應(yīng)滿足相容方程 y f x f yx y x yx 1 2 2 2 2 對于平面應(yīng)力問題 y f x f yx y x yx 1 1 2 2 2 2 對于平面應(yīng)變問題 并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件 1 分 對于多連體 有時(shí)還必須考慮位移單值條件 首先考察平衡微分方程 將其改寫為 0 0 x V y y V x xy y yx x 這是一個(gè)齊次微分方程組 為了求得通解 將其中第一個(gè)方程改寫為 yxx y V x 11 根據(jù)微分方程理論 一定存在某一函數(shù) A x y 使得 y A V x x A yx 同樣 將第二個(gè)方程改寫為 yxy x V y 1 分 可見也一定存在某一函數(shù) B x y 使得 x B V y y B yx 由此得 y B x A 因而又一定存在某一函數(shù) yx 使得 y A x B 代入以上各式 得應(yīng)力分量 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程 應(yīng)力函數(shù) yx 必須滿足一定的方程 將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 簡寫為 V 24 1 將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 簡寫為 12 V 24 1 21 9 如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用 而梁的密度為 試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求 解 解解 純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為 3223 dycxyybxax 相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為 dycxxf y xx 62 2 2 gybyaxyf x yy 26 2 2 cybx yx xy 22 2 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的 現(xiàn)在來考察 如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù) 是否能滿足應(yīng)力邊界條件 上邊 0 y 0 l 1 m 沒有水平面力 所以有 02 0 bx yxy 對上端面的任意 x 值都應(yīng)成立 可見 0 b 同時(shí) 該邊界上沒有豎直面力 所以有 06 0 ax yy 對上端面的任意 x 值都應(yīng)成立 可見 0 a 因此 應(yīng)力分量可以簡化為 dycx x 62 gy y cy xy 2 斜面 tanxy sin 2 cos l coscos m 沒有面力 所以有 0 0 tan tan xy xyy xy yxx lm ml 由第一個(gè)方程 得 0sintan6sin4costan2sintan62 dxcxcxdxcx O x y g 13 對斜面的任意 x 值都應(yīng)成立 這就要求 0tan64 dc 由第二個(gè)方程 得 0sinsintan2costansintan2 gxcxgxcx 對斜面的任意 x 值都應(yīng)成立 這就要求 0tan2 gc 1 分 由此解得 cot 2 1 gc 1 分 2 cot 3 1 gd 從而應(yīng)力分量為 2 cot2cotgygx x gy y cotgy xy 設(shè)三角形懸臂梁的長為 l 高為 h 則 l h tan 根據(jù)力的平衡 固定端對梁的約束 反力沿 x 方向的分量為 0 沿 y 方向的分量為glh 2 1 因此 所求 x 在這部分邊界上 合成的主矢應(yīng)為零 xy 應(yīng)當(dāng)合成為反力glh 2 1 0cotcotcot2cot 22 0 2 0 ghglhdygygldy h lx h x glhghdygydy hh lx xy 2 1 cot 2 1 cot 2 00 可見 所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件 10 設(shè)有楔形體如圖所示 左面鉛直 右面與鉛直面成角 下端作為無限長 承受重 力及液體壓力 楔形體的密度為 1 液體的密度為 2 試求應(yīng)力分量 解解 采用半逆解法 首先應(yīng)用量綱分析方法來