線性代數(shù)課程教案.doc

課 程 教 案 學院 部 應(yīng)用數(shù)學學院 系 所 授課教師 課程名稱 線性代數(shù) 課程學時 32 學時 實驗學時 教材名稱 工程數(shù)學 線性代數(shù) 年年 月月 日日 第 2 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第一章 行列式 1 二階與三階行列式 2 全排列及其逆序數(shù) 3 階行列式的定義n 4 對換 本授課單元教學目標或要求 1 會用對角線法則計算 2 階和 3 階行列式 2 知道階行列式的定義 n 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 基本內(nèi)容 行列式的定義 1 計算排列的逆序數(shù)的方法 設(shè)是這個自然數(shù)的任一排列 并規(guī)定由小到大為標準次序 12n p pp 1 2 n n 先看有多少個比大的數(shù)排在前面 記為 1 p 1 p 1 t 再看有多少個比大的數(shù)排在前面 記為 2 p 2 p 2 t 最后看有多少個比大的數(shù)排在前面 記為 n p n p n t 則此排列的逆序數(shù)為 12n tttt 2 階行列式n 12 12 11121 21222 12 12 1 n n n nt ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 其中為自然數(shù)的一個排列 為這個排列的逆序數(shù) 求和符號 是對所有排列 12n p pp 1 2 n t 求和 12 n p pp 階行列式中所含個數(shù)叫做的元素 位于第 行第列的元素 叫做的元 nD 2 nDij ij aD i j 3 對角線法則 只對 2 階和 3 階行列式適用 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 第 3 頁 共 41 頁 111213 212223112233122331132132 313233 132231122133112332 aaa Daaaa a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a 重點和難點 理解行列式的定義 行列式的定義中應(yīng)注意兩點 1 和式中的任一項是取自中不同行 不同列的個元素的乘積 由排列知識可知 中這樣的DnD 乘積共有項 n 2 和式中的任一項都帶有符號 為排列的逆序數(shù) 即當是偶排列 1 t t 12 n p pp 12n p pp 時 對應(yīng)的項取正號 當是奇排列時 對應(yīng)的項取負號 12n p pp 綜上所述 階行列式恰是中所有不同行 不同列的個元素的乘積的代數(shù)和 其中一nDDn 半帶正號 一半帶負號 例 寫出 4 階行列式中含有的項 1123 a a 解 和 11233244 a a a a 11233442 a a a a 例 試判斷和是否都是 6 階行列式中的項 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 解 下標的逆序數(shù)為 所以 142331425665 a a a a a a 4312650 1220 16 是 6 階行列式中的項 142331425665 a a a a a a 下標的逆序數(shù)為 所以 324314512566 a a a a a a 341526 234156 538 不是 6 階行列式中的項 324314512566 a a a a a a 例 計算行列式 0001 0020 0300 4000 D 解 0 1 2 3 1 1 2 3 424D 本授課單元教學手段與方法 講授與練習相結(jié)合 首先通過二 三 元線性方程組的解的表達式引出二 三 階行列式的定義 然后介紹有關(guān)全 排列及其逆序數(shù)的知識 引出階行列式的定義 n 通過討論對換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系 引導(dǎo)學生了解行列式的三種等價定義 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 1 P 26 1 1 3 2 2 5 6 本授課單元參考資料 含參考書 文獻等 必要時可列出 線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講 同濟第四版 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第一章 行列式 5 行列式的性質(zhì) 6 行列式按行 列 展開 7 克拉默法則 本授課單元教學目標或要求 1 知道階行列式的性質(zhì) n 2 知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì) 3 會利用行列式的性質(zhì)及按行 列 展開計算簡單的階行列式 n 4 知道克拉默法則 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 基本內(nèi)容 1 行列式的性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 D T D 2 互換行列式的兩行 列 行列式變號 3 行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一數(shù) 等于用數(shù)乘此行列式 或者行列式kk 的某一行 列 的各元素有公因子 則可提到行列式記號之外 kk 4 行列式中如果有兩行 列 元素完全相同或成比例 則此行列式為零 5 若行列式的某一列 行 中各元素均為兩項之和 則此行列式等于兩個行列式之和 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行 列 的對應(yīng)元素上去 行 列式的值不變 2 行列式的按行 列 展開 1 把階行列式中元所在的第 行和第列劃去后所成的階行列式稱為元的n i j ij aij1n i j ij a 余子式 記作 記 則稱為元的代數(shù)余子式 ij M 1 i j ijij AM ij A i j ij a 2 階行列式等于它的任一行 列 的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的和 即可以按n 第 行展開 i 1122 1 2 iiiiinin Da Aa Aa Ain 或可以按第列展開 j 1122 1 2 jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn 3 行列式中任一行 列 的元素與另一行 列 的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 1122 0 ijijinjn a Aa Aa Aij 或 1122 0 ijijninj a Aa Aa Aij 3 克拉默法則 含有個未知元的個線性方程的方程組n 12 n x xx n 第 5 頁 共 41 頁 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 當全為零時 稱為齊次線性方程組 否則 稱為非齊次線性方程組 12 n b bb 1 如果方程組的系數(shù)行列式 那么它有唯一解 其中0D 1 2 i i D xin D 是把中第 列元素用方程組的右端的自由項替代后所得到的階行列 1 2 i D in Din 式 2 如果線性方程組無解或有兩個不同的解 那么它的系數(shù)行列式 0D 3 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 那么它只有零解 如果齊次線性方程組有非零0D 解 那么它的系數(shù)行列式必定等于零 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件 1 方程個數(shù)等于未知元個數(shù) 2 系數(shù)行列式不等于 零 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系 它主要 適用于理論推導(dǎo) 4 一些常用的行列式 1 上 下三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積 即 1112111 2222122 1122 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa Da aa aaaa 特別地 對角行列式等于對角線元素的乘積 即 11 22 1122nn nn a a Da aa a 類似地 1 1 2 1 2 12 11 1 1 n n n n nnn n a a Da aa a 2 設(shè) 則 111 1 1 k kkk aa D aa 111 2 1 n nnn bb D bb 第 6 頁 共 41 頁 111 1 12 111111 11 0 k kkk kn nnknnn aa aa DD D ccbb ccbb 3 范德蒙 Vandermonde 行列式 12 222 1212 1 111 12 111 n nnnij n ij nnn n xxx V x xxxxxxx xxx 計算行列式常用方法 1 利用定義 2 利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式 從而算得行 列式的值 重點和難點 行列式的計算 要注重學會利用行列式性質(zhì)及按行 列 展開等基本方法來簡化行列 式的計算 例 課本 P 12 例 7 例 9 例 課本 P 21 例 13 例 課本 P 25 例 16 本授課單元教學手段與方法 講授與練習相結(jié)合 以從行列式的定義為切入口 引導(dǎo)學生探討行列式的各種性質(zhì) 通過大量的例題引導(dǎo)學生掌握 如何利用行列式性質(zhì)及按行 列 展開等基本方法來簡化行列式的計算 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 思考題 問 當線性方程組的系數(shù)行列式為零時 能否用克拉默法則解方程組 為什么 此時方程組的解為 何 答 當線性方程組的系數(shù)行列式為零時 不能否用克拉默法則解方程組 因為此時方程組的解為無 解或有無窮多解 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 5 P 26 4 1 2 3 5 1 2 7 1 2 5 6 P 26 5 4 7 3 6 7 P 28 8 1 9 本授課單元參考資料 含參考書 文獻等 必要時可列出 線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講 同濟第四版 第 7 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第二章矩陣及其運算 1 矩陣 2 矩陣運算 3 逆矩陣 4 矩陣分塊法 本授課單元教學目標或要求 掌握矩陣的定義 矩陣的加減法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 矩陣求逆 矩陣的行列式 分塊矩陣等運算 了解矩陣 多項式運算 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 本章擬分 3 次課完成 第一講 1 矩陣 2 矩陣的運算 第二講 3 逆矩陣 第三講 4 矩陣分塊 法 第一講 1 矩陣 2 矩陣的運算 基本內(nèi)容 1 矩陣 一 矩陣的定義 定義 1 由 M N 個數(shù)組成的行列的數(shù)表 2 1 2 1 njmiaij mn mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 稱為行列矩陣 簡稱 M N 矩陣 為表示它是一個整體 總是加一個括弧 并用大寫黑體字母表mn 示它 記作 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 這 M N 個數(shù)稱為菊陣 A 的元素 簡稱為元 數(shù)位于矩陣 A 的第 行列 稱為矩陣 A 的 I J 元 以 ij aij 數(shù)為 I J 元的矩陣可簡記為或 M N 矩陣 A 也記著 ij a ij a nmij a nm A 元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣 行數(shù)和列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣 階矩陣 A 也記作 nnnn n A 只有一行的矩陣 21n aaaA 稱為行矩陣 又稱為行向量 行矩陣也記作 21n aaaA 第 8 頁 共 41 頁 只有一列的矩陣 n b b b A 2 1 稱為列矩陣 又稱為列向量 兩個矩陣的行數(shù)相等 列數(shù)也相等 稱它們是同型矩陣 如果 A B 是同型矩陣 并且它們的 ij a ij b 對應(yīng)元素相等 即 njmiba ijij 2 1 2 1 那么就稱矩陣 A 與矩陣 B 相等 級作 A B 元素都是零的矩陣稱為零矩陣 記作 O 不同型的零矩陣是不同的 2 矩陣的運算 一 矩陣的加法 定義 2 設(shè)有兩個矩陣 A 和 B 那么矩陣 A 與 B 的和記著 A B 規(guī)定為nm ij a ij b mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算 矩陣加法滿足下列運算規(guī)律 設(shè) A B C 都是矩陣 nm A B B A i A B C A B C ii A 的負矩陣記為 ij a A ij a A A O 規(guī)定矩陣的減法為 A B A B 二 矩陣的數(shù)乘 定義 3 數(shù)與矩陣 A 的乘積記作或 規(guī)定為 A A mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 第 9 頁 共 41 頁 矩陣數(shù)乘滿足下列運算規(guī)律 設(shè) A B 為矩陣 為數(shù) nm 1 AA 2 AAA 3 BABA 重點 難點 矩陣乘矩陣 讓學生充分理解矩陣乘矩陣的定義 特別強調(diào)前面矩陣的列等于后面矩陣 的行的原因 說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率 通過練習提高學生的計算準確率 三 矩陣乘矩陣 定義 4 設(shè) A 是一個矩陣 B 是一個矩陣 那么矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一 ij asm ij bns 個矩陣 C 其中nm ij c 2 1 2 1 1 2211 njmi babababac s k kjiksjisjijiij 把此乘積記為 C AB 且有 sj j j isii b b b aaa 2 1 21 ij s k kjiksjisjiji cbabababa 1 2211 例 4 求矩陣 A 與 2012 1301 431 1102 311 014 B 的乘積 解 C AB 2012 1301 431 1102 311 014 1199 129 例 5求矩陣 A 與 B 21 42 63 42 第 10 頁 共 41 頁 的乘積 AB 與 BA 解 AB 21 42 63 42 168 3216 BA 63 42 21 42 00 00 AB 對于兩個階方陣 A B 若 AB BA 稱方陣 A 與 B 可交換n 從上面等式可以得出結(jié)論 若而也不能得出 X Y 的結(jié)論OA 0 YXA 矩陣的乘法雖不滿足交換律 滿足結(jié)合律和分配律 1 AB C A BC 2 為數(shù) BABAAB 3 A B C AB AC B C A BA CA 對于單位矩陣 E 有 nmnnmnmnmm AEAAAE 即 EA AE A 特殊矩陣 1 單位矩陣 E 100 010 001 2 數(shù)量矩陣 E 00 00 00 3 對角矩陣 nn a a a 00 00 00 22 11 4 三角矩陣 或 nn n n a aa aaa 00 0 0 222 11211 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 可以得到 nnnnn EAAAE 第 11 頁 共 41 頁 表明純量矩陣跟任何矩陣可交換 定義矩陣的冪為 kllklklk AAAAAAAAAA 1121 其中為正整數(shù)k 例 6證明 nn nn n cossin sincos cossin sincos 證 用數(shù)學歸納法 時顯然成立 設(shè) 時成立 即1 nnk kk kk k cossin sincos cossin sincos 當時 有1 kn kk kk k cossin sincos cossin sincos 1 cossin sincos sinsincoscossincoscossin sincoscossinsinsincoscos kkkk kkkk 1cos 1sin 1sin 1cos kk kk 等式得證 四 矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣 叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 記作 T A A 則 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 T A mnnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 A 的轉(zhuǎn)置也是一種運算 滿足 1 AA TT 2 TTT BABA 3 TT AA 4 AB TTT AB 證明 4 設(shè) B 記 有 smij aA nsij b mnij TT nmij dDABcCAB s k kijkji bac 1 而的第 行為 的第列為 因此 T Bi 21siii bbb T Aj T jsj aa 1 s k kijk s k jkkiij baabd 11 2 1 2 1 mjnicd jiij 有 TTT ABAB 例 7已知 第 12 頁 共 41 頁 B 231 102 A 102 324 171 求 T AB 解 因為 AB 231 102 102 324 171 101317 3140 所以 103 1314 170 T AB 若 A 是階方陣 如果滿足 即nAAT 2 1 njiaa jiij 那么 A 稱為對稱矩陣 例 設(shè)列矩陣 X 滿足 E 是階單位陣 證明是對 T n xxx 21 1 XX T n T XXEH2 H 稱矩陣 且EHH T 證 TTT XXEH 2 HXXE XXE T TT 2 2 所以 H 是對稱矩陣 T HH 2 H 2 2 T XXE T XXE4 4 TT XXXX T XXE4 4 TT XXXX T XXE4 T XX4E 五 方陣的行列式 定義 6 由階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式 各元素位置不變 稱為方陣 A 的行列式 記作n 或A Adet 滿足下列運算規(guī)律 A B 為階方陣 為數(shù) An 1 AAT 2 AA n 3 且BAAB BAAB 例 9 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣A ij A nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 稱為 A 的伴隨矩陣 試證 第 13 頁 共 41 頁 EAAAAA 證明 設(shè) 記 則 ij aA ij bAA ijjninjijiij AAaAaAab 2211 故 EAAAAA ijij 類似有 1 EAAAaAAA ijij n k kjki 本授課單元教學手段與方法 講授為主 練習為輔 主要讓學生充分理解矩陣運算的定義 原則 從而掌握矩陣運算 并通過練習 提高學生運算的準確率 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) P53 3 4 1 2 3 4 本授課單元參考資料 含參考書 文獻等 必要時可列出 線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講 同濟第四版 注 1 每單元頁面大小可自行添減 2 一個授課單元為一個教案 3 重點 難點 教學手段與方法 部分要盡量具體 4 授課類型指 理論課 討論課 實驗或?qū)嵙曊n 練習或習題課 第 14 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 第二講 3 逆矩陣 基本內(nèi)容 3 逆矩陣 定義 7 對于階矩陣 A 如果有一個階矩陣 B 使nn EBAAB 則說矩陣 A 是可逆的 并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣 簡稱逆陣 記為 1 A 如果 A 可逆 則 A 的逆陣是唯一的 因為 設(shè) B C 都是 A 的逆陣 則有 B BE B AC BA C EC C 定理 1 若矩陣 A 可逆 則0 A 證 A 可逆 即有 使 故所以 1 AEAA 1 1 1 EAA0 A 定理 2 若 則矩陣 A 可逆 且0 A A A A 1 1 其中為 A 的伴隨矩陣 A 證 由例 9 可知 EAAAAA 所以有 EAA A A A A 11 按照逆矩陣的定義知 A 可逆 且有 A A A 1 1 當時稱 A 為奇異矩陣 否則稱 A 為非奇異矩陣 可逆矩陣就是非奇異矩陣 0 A 推論 若 則 EBAEAB 或 1 AB 證 故 因而存在 有1 EBA0 A 1 A 1111 AEAABABAAEBB 逆陣滿足下列運算 1 若 A 可逆 則也可逆 且 1 AAA 11 第 15 頁 共 41 頁 2 若 A 可逆 數(shù) 則可逆 且0 A 1 1 1 AA 3 若 A B 為同階矩陣且可逆 則 AB 也可逆 且 111 ABAB 證 由推論有 EAAAEAABBAABAB 111111 111 ABAB 4 若 A 可逆 則也可逆 且 T A TT AA 11 證 由推論有 EEAAAA TTTT 11TT AA 11 當時 定義0 A 為正整數(shù) TT AA 11 kk AAEA 10 k 這樣 當 為整數(shù) 有0 A AAAAA 重點 難點 逆矩陣的求法 定理 2 說明通過求伴隨矩陣的方式 讓學生掌握矩陣求逆 并告知學生下一 章里還有更簡單的求逆方法 例 10 求二階矩陣的逆陣 dc ba 解 當時 有bcadA ac bd A0 A bcad A 1 1 ac bd 例 11 求方陣 343 122 321 A 的逆陣 解 知 A 可逆 的余子式2 AA 2 5 4 2 6 6 2 3 2 333231 232221 131211 MMM MMM MMM 得 第 16 頁 共 41 頁 222 563 462 332313 322212 312111 MMM MMM MMM A 所以 111 2 5 3 2 3 231 1 1 A A A 例 12 設(shè) A 343 122 321 13 02 31 35 12 CB 求矩陣 X 使其滿足 CAXB 解 若存在 有 11 BA 1 A 111 CBAAXBB 即 X 11 CBA 111 2 5 3 2 3 231 13 02 31 25 13 20 20 11 25 13 410 410 12 例 13設(shè) P 求 20 01 41 21 PAP n A 解 11 24 2 1 2 1 PP 11221 PPAPPAPPA nn 而 20 01 n n 20 01 20 01 2 2 所以 1 PPA nn 11 24 2 1 20 01 41 21 n 11 24 21 21 2 1 2 1 n n 第 17 頁 共 41 頁 1222 1222 2224 2224 2 1 1122 11 nn nn nn nn 定義 設(shè) m mx axaxaax 2 210 為的次多項式 A 為階矩陣 記xmn m mA aAaAaEaA 2 210 稱為矩陣 A 的次多項式 可證矩陣 A 的兩個多項式和是可交換的 即有 A m A Af AAfAfA A 的多項式可以象數(shù)的多項式一樣相乘或分解因式 例如x 323 2 33 2 2 AAAEAE AAEAEAE 容易證明 1 如果 則 從而 1 PPA 1 PPA kk A m mA aAaAaEa 2 210 112 2 1 1 1 0 PPaPPaPPaEPPa m m 1 PP 2 如果 為對角陣 則 從而 21n diag 21 k n kkk diag m m aaaEa 2 210 m n m m m n aaa 2 1 2 1 10 1 1 1 2 1 n 本授課單元教學手段與方法 講授為主 練習為輔 通過逆矩陣的定義及定理 2 的證明讓學生充分掌握矩陣的求逆運算 并告 知學生在下一章里還可用更簡練的方法計算逆矩陣 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) P54 11 1 3 12 1 2 P55 19 22 第 18 頁 共 41 頁 本授課單元參考資料 含參考書 文獻等 必要時可列出 線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講 同濟第四版 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 第三講 4 矩陣分塊法 基本內(nèi)容 4 矩陣分塊法 對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A 運算時常采用分塊法 使大矩陣的運算化成小矩陣的運算將矩陣 A 用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣 每一個小矩陣稱為 A 的子塊 以子塊為元素的形式上的矩陣稱 為分塊矩陣 例 將矩陣43 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A 可以分塊為 1 2 3 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 分法 1 可記為 2221 1211 AA AA A 其中 2221 1211 11 aa aa A 2423 1413 12 aa aa A 323121 aaA 343322 aaA 分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則類似 滿足 1 設(shè)矩陣 A 與矩陣 B 的行數(shù)相同 列數(shù)相同 采用相同的分塊法 有 srs r AA AA A 1 111 srs r BB BB B 1 111 其中 與的行數(shù)相同 列數(shù)相同 那么 ij A ij B srsrss rr BABA BABA BA 11 111111 2 設(shè) 為數(shù) 那么 srs r AA AA A 1 111 第 19 頁 共 41 頁 srs r AA AA A 1 111 3 設(shè) A 為矩陣 B 為矩陣 分塊成lm nl sts t AA AA A 1 111 trt r BB BB B 1 111 其中的列數(shù)分別等于的行數(shù) 那么 itii AAA 21tjjj BBB 21 AB srs r CC CC 1 111 其中 1 1 1 rjsiBAC t k kjikij 重點 難點 分塊矩陣的乘法運算 對于四階且子塊含有零矩陣 單位陣 對角陣的高階 一般做四塊分且 盡量分出單位陣 零矩陣 例 14設(shè) 0211 1401 1021 0101 1011 0111 0010 0001 BA 求 AB 解 把 A B 分塊成 2221 11 1 0211 1401 1021 0101 1011 0121 0010 0001 BB EB B EA OE A 則 AB EA OE 1 2221 11 BB EB 22121111 11 BABBA EB 而 21111 BBA 11 21 21 01 11 01 11 42 221 BA 11 21 13 33 02 14 所以 1311 3342 1021 0101 AB 4 設(shè) 則 srs r AA AA A 1 111 T sr T r T s T T AA AA A 1 111 第 20 頁 共 41 頁 5 設(shè) A 為階矩陣 若 A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊 其余子塊都為零矩陣 且在對角線n 上的子塊都是方陣 即 s AOO OAO OOA A 2 1 其中都是方陣 稱 A 為分塊對角矩陣 2 1 siAi 分塊對角矩陣的行列式有下列性質(zhì) s AAAA 21 若 則 并有 2 1 sioAi 0 A 1 1 2 1 1 1 s AOO OAO OOA A 例 15設(shè) 求 120 130 005 A 1 A 解 2 1 0 0 120 130 005 A A A 32 11 12 13 5 1 5 1 22 1 11 AAAA 320 110 00 5 1 1 A 對矩陣進行按行分快或按列分塊 矩陣 A 有行 稱為矩陣的個行向量 若第 行記作nm mAmi 21inii T i aaa 則矩陣 A 記為 T m T T A 2 1 矩陣 A 有列 稱為矩陣 A 的個列向量 若第列記作nm nnj mj j j j a a a 2 1 則 21n aaaA 對于矩陣與矩陣的乘積矩陣 AB C 若把行分成塊 把 B smij aA nsij bB nmij c m 第 21 頁 共 41 頁 分成塊 有n AB T m T T 2 1 nm ij n T m T m T m n TTT n TTT n c bbb bbb bbb bbb 21 22212 12111 21 其中 ij c j T i b 21isii aaa s k kjik sj j j ba b b b 1 2 1 以對角陣左乘矩陣時把 A 按行分塊 有 m nm A m nmmA 2 1 T m T T 2 1 T mm T T 22 11 以對角陣右乘矩陣時把 A 按列分塊 有 n nm A nA 21n aaa m 2 1 2211nna aa 例 16設(shè) 證明OAAT OA 證 設(shè) 把 A 的列向量表示為 A 則 nmij aA 21n aaa AAT T T T a a a 2 1 21n aaa n T n T n T n n TTT n TTT aaaaaa aaaaaa aaaaaa 21 22212 12111 因為 所以 OAAT 2 1 0njiaa j T i 特別有 2 1 0njaa j T j 而 j T ja a0 22 2 2 1 2 1 21 mjjj mj j j mjjj aaa a a a aaa 得 2 1 0 21 njaaa mjjj 即 OA 下面用分塊矩陣證明第一章中的克萊姆法則 克萊姆法則 對于個變量 個方程的線性方程組nn 第 22 頁 共 41 頁 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 如果它的系數(shù)行列式 則它有唯一解0 D 2 1 11 2211 njAbAbAb D D D x njnjjjj 證 把方程組寫成向量方程 bAx 這里為階矩陣 因 故存在 nnij aA noDA 1 A bbAAAx 1 表明是方程組的解向量 也是唯一的解向量 bAx 1 由于 所以 即 A A A 1 1 bA D bAx 1 1 nnnnn nn nn nnnnn n n n AbAbAb AbAbAb AbAbAb D b b b AAA AAA AAA D x x x 2211 2222121 1212111 2 1 21 22212 12111 2 1 11 也就是 2 1 11 2211 njD D AbAbAb D x jnjnjjj 本授課單元教學手段與方法 講授為主 練習為輔 通過對高階矩陣特別是可分出部分零矩陣或單位陣的四階矩陣的分塊讓學 生掌握分塊矩陣的加法運算 數(shù)乘運算 矩陣乘矩陣的運算 以及求逆矩陣的運算 并列舉了幾個典型例 子的運算 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) P55 26 P56 29 本授課單元參考資料 含參考書 文獻等 必要時可列出 線性代數(shù)附冊 學習輔導(dǎo)與習題選講 同濟第四版 第 23 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 1 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 3 1 矩陣的初等變換 本授課單元教學目標或要求 熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形 知道矩陣等價的概念 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 1 基本內(nèi)容 定義與記號 初等行變換與行等價 ijiij rr rk rkr AB r AB 初等列變換與列等價 ijiij cc ck ckc AB c AB 初等變換 與等價 AB AB 矩陣的行階梯形 行最簡形 標準形 0 00 r m n E F 2 重點 矩陣的初等變換 對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換 1 交換矩陣的兩行 列 2 以一個非零的常數(shù)乘矩陣的某一行 列 k 3 把矩陣的某一行 列 的倍加到另一行 列 k 3 例題與解題方法 參見 PPT 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 79 1 1 3 P 第 24 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 3 2 初等矩陣 本授課單元教學目標或要求 知道初等矩陣 了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系 掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 1 基本內(nèi)容 初等矩陣 1 定義 單位陣經(jīng)一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣 2 對矩陣作一次初等行 列 變換相當于用對應(yīng)的初等矩陣左 右 乘 AA 3 初等變換及其逆變換與初等矩陣及其逆陣的對應(yīng)可列表如下 初等變換初等矩陣逆變換逆矩陣 ij rr ij cc E i j ij rr ij cc E i j i i rk ck E i k i i rk ck 1 E i k ij ji rkr ckc E ij k ij ji rkr ckc E ijk 4 方陣可逆A r AE 12 li APPP P 為初等矩陣 存在可逆矩陣使 AB P Q BPAQ 5 若則可逆 且特別地 若則可逆 且 r A BE XA 1 XA B r A EE XA 1 XA 2 重點 難點 對矩陣作一系列初等行 列 變換 相當于用可逆矩陣左 右 乘 由此引出用初等變換求逆AA 陣的方法 會用矩陣的初等行變換求矩陣的逆矩陣 會用矩陣的初等行變換求矩陣方程的解 3 例題與解題方法 例 1 設(shè) 1112131414131211 2122232424232221 3132333434333231 4142434444434241 aaaaaaaa aaaaaaaa AB aaaaaaaa aaaaaaaa 第 25 頁 共 41 頁 12 00011000 01000010 00100100 10000001 PP 其中可逆 則等于A 1 B A B C D 1 12 A PP 1 12 PA P 1 12 PP A 1 21 P A P 分析 把矩陣的 1 4 兩列對換 2 3 兩列對換即得到矩陣 根據(jù)初等矩陣的性質(zhì) 有或AB 12 BAPP 那么所以應(yīng)選 C 21 BAP P 111111 211212 BAP PP PAPP A 例 2 設(shè) 4 階矩陣 11002134 01100213 00110021 00010002 BC 且矩陣滿足關(guān)系式試將所給關(guān)系式化簡 并求出矩陣 A 1 TT A EC BCE A 解 由所給的矩陣關(guān)系得即故用初等變 1 T A C EC BE T A CBE 1 T ACB 換法求由于 1 T CB 1000100010001000 2100010001002100 3210001002103010 4321000103214001 1000100010001000 0100210001002100 0010121000101210 0021230100010121 T CBE 故 1 1000 2100 1210 0121 T ACB 其他例題參見 PPT 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 79 3 2 4 1 P 第 26 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 1 5 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 3 3 矩陣的秩 本授課單元教學目標或要求 1 理解矩陣的秩的概念 知道初等變換不改變矩陣的秩的原理 掌握用初等變換求矩陣的秩的 方法 知道矩陣的標準形與秩的關(guān)系 2 知道矩陣秩的基本性質(zhì) 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 1 基本內(nèi)容 矩陣的秩 1 定義 矩陣的階子式 矩陣的秩 k 2 的行階梯形含個非零行的標準形 R ArA r A 0 00 r E F 3 矩陣秩的性質(zhì) 0 min R Am n T R AR A 若則 AB R AR B 若可逆 則 P Q R PAQR A max R A R BR A BR AR B 特別地 當為列向量時 有Bb 1 R AR A bR A R ABR AR B min R ABR A R B 若則0 m nn l AB R AR Bn 2 重點 難點 矩陣秩的概念 矩陣秩的性質(zhì) 利用初等變換求秩 應(yīng)用矩陣的秩解決問題 3 例題與解題方法 例 1 設(shè)三階矩陣為A 11 11 11 x Ax x 試求秩 R A 分析 矩陣含有參數(shù)因此其秩一般隨的變化而變化 討論其秩主要從兩點著手分析 矩陣A xx 秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩 第 27 頁 共 41 頁 解 方法一 直接從矩陣秩的行列式定義出發(fā)討論 由于 2 11 11 2 1 11 x xxx x 故 當且時 1x 2x 0 3 AR A 當時 且1x 0 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AR A 當時 且 這時有二階子式因此2x 0 A 211 121 112 A 21 0 12 2 R A 方法二 利用初等變換求秩 2 111111 1111011 111111 11 011 00 2 1 xxx Axxxx xxxxx x xx xx 因此 當且時 1x 2x 3 R A 當時 1x 1 R A 當時 2x 2 R A 例 2 設(shè)為矩陣A5 4 1231 212 0113 1104 2025 k A 且的秩為 3 求A k 解 方法一 用初等變換 第 28 頁 共 41 頁 12311231 2120560 01130113 11040333 20250443 12311231 01130113 001 15001 15 000120001 000150000 kk A kk 可見 則必有即 3 R A 10 k 1 k 方法二 因為的秩為 3 故其 4 階子式A 1231 212 0 0113 1104 k 解得1 k 例 3 設(shè)為階矩陣的伴隨矩陣 證明 AnA 1 1 0 1 n R An R AR An R An 證明 已知則可逆由知可逆 所以 R An A 0 A AAA E A R An 若則由 1 R An A 0 A 又由矩陣秩的行列式定義 0 AAA E R AR An 1 R AnR A 1 R An 有 矩陣至少有一個階子式不為零 那么矩陣中至少有一個元素非零 所以從而A1n A 1 R A 有 1 R A 若則的任一階子式為零 故 所以 1 R An A1n 0A 0 R A 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 79 9 2 3 P 第 29 頁 共 41 頁 第 30 頁 共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 1 5 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 3 4 線性方程組的解 本授課單元教學目標或要求 1 理解線性方程組無解 有唯一解或有無限多個解的充分必要條件 包括非齊次線性方程組有解 的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件 2 熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法 3 知道矩陣方程有解的充要條件 AXB 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 1 基本內(nèi)容 1 線性方程組的解法 1 基本定理 元線性方程組n Axb 無解的充分必要條件是 R AR A b 有唯一解的充分必要條件是 R AR A bn 有無限多解的充分必要條件是 R AR A bn 2 求解線性方程組的步驟 見教材 2 重要定理 定理 1 線性方程組有解的充分必要條件是Axb R AR A b 定理 2 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是n0 m n Ax R An 把定理 1 推廣到矩陣方程 得 定理 3 矩陣方程有解的充要條件是AXB R AR A B 2 重點 難點 根據(jù)增廣矩陣的行最簡形熟練寫出線性方程組的通解 線性方程組的基本定理 3 例題與解題方法 例 1求方程組的通解 1234 1234 1234 1 2456 2345 xxxx xxxx xxxx 解 對增廣矩陣作初等行變換得 1111111111 2145603234 1234503234 57 102 11111 33 2424 011011 3333 0000000000 A b 第 31 頁 共 41 頁 原方程組化為 134 234 75 2 33 42 33 xxx xxx 取自由未知量得特解為對應(yīng)原方程的齊次方程組為 34 0 xx 0 7 4 0 0 3 3 T 134 234 5 2 3 2 3 xxx xxx 令得基礎(chǔ)解系為 3 4 10 01 x x 故原方程的通解為 12 52 1 0 2 1 0 1 33 TT 01 12212 75 2 33 421 330 01 1 00 xkkkk 其中為任意常數(shù) 12 k k 例 2 設(shè) 123 2 123 123 4 24 xxkx xkxxk xxx 問方程組什么時候有解 什么時候無解 有解時 求出相應(yīng)的解 解 方法一 方程組的系數(shù)行列式 11 11 1 4 112 k Akkk 當即時 方程組有唯一解 且唯一解為 按克萊姆法則 1 4 0Akk 1 4k 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 時 方程組為1k 123 123 123 4 1 24 xxx xxx xxx 此時 第 32 頁 共 41 頁 11141114 11110238 11240005 A b 方程組無解 2 3 R AR A b 時 方程組為4k 123 123 123 44 416 24 xxx xxx xxx 114411441030 1411601140114 112400000000 A b 故方程組有無窮多解 其同解方程組為 通解為 23 R AR A b 13 23 30 4 xx xx 其中為任意常數(shù) 1 2 3 03 41 01 x xxC x C 方法二 直接化增廣矩陣為階梯形 2 114114 110228 1124 1 4 00 4 2 kk A bkkk kk k k 時 有1 4k 2 2 2 100 1141 224 014010 21 22 001001 11 kk kk kkk A b k kk kk 可見方程組有唯一解 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 時 方程組無解1k 2 3 R AR A b 時 4k 11441030 01140114 00000000 A b 故方程組有無窮多解 通解為 23 R AR A b 第 33 頁 共 41 頁 其中為任意常數(shù) 1 2 3 03 41 01 x xxC x C 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) 80 12 2 13 3 P 線性代數(shù) 課程教案 授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié) 授課題目 教學章節(jié)或主題 第四章 向量組的線性相關(guān)性 1 向量組及其線性組合 2 向量組的線性相關(guān)性 本授課單元教學目標或要求 一 了解維向量空間的概念 n 二 掌握線性組合的概念 掌握一向量由一個向量組線性表示的充要條件 三 掌握線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念 能夠利用定義及一些有關(guān)判定定理證明或判定一組向量的線 性關(guān)系 本授課單元教學內(nèi)容 包括基本內(nèi)容 重點 難點 以及引導(dǎo)學生解決重點難點的方法 例題等 一 向量組及其線性組合 定義 定義 定義 3 定理 1 定理 2 定理 3 二 維向量的表示方法 n 三 向量空間 四 向量 向量組與矩陣 五 線性相關(guān)性的概念 定義 4 六 線性相關(guān)性的判定 定理 4 定理 5 向量 可由 不可由 1 2 n線性表示的主要結(jié)論 1 若 k1 1 k2 2 kn n ki為實數(shù) 則說 可由 1 2 n線性表示 命題 可由向量組 1 2 n線性表示 方程組 AX 有解 其中 A 1 2 n 秩 A 秩 A 推論 1 可由 1 2 n線性表示 且表達式是惟一的 方程組 AX 有惟一解 秩 A 秩 A n 1 2 n線性無關(guān) 1 2 n 線性相關(guān) 推論 2 可由 1 2 n線性表示 且表達式是不惟一的 秩 A 秩 A n 2 若對于任何一組數(shù) k1 k2 kn都有 k1 1 k2 2 kn n 則說 不可由 1 2 n線性表示 命題 不可由 1 2 n線性表示 方程組 AX 無解 秩 A 秩 A 其中 A 1 2 n 七 線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用 第 34 頁 共 41 頁 重點 難點 向量 向量組與矩陣之間的聯(lián)系 線性方程組的向量表示 線性組合與線性表示的概念 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念 線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用 重點 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法 定義 兩個定理 難點 本授課單元教學手段與方法 講授 練習 本授課單元思考題 討論題 作業(yè) P108 2