高等數(shù)學(xué)背景下的函數(shù)與不等式高考試題分析.pdfVIP

第2 9 卷第6 期 2 0 0 9 年1 2 月 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào) J o u r n a lo fH u a n g g a n gN o r m a lU n i v e r s i t y V o I 2 9N o 6 D e c 2 0 0 9 高等數(shù)學(xué)背景下的函數(shù)與不等式高考試題分析 李明生 武漢體育學(xué)院文化課教研室 湖北武漢4 3 0 0 7 9 摘要以高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識(shí)為背景 從連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 嚴(yán)格凸函數(shù)的性 質(zhì) 詹森不等式三個(gè)方面對(duì)近幾年來(lái)全國(guó)及各省 市部分高考題 特別是高考?jí)狠S題中的函數(shù) 與不等式綜合題進(jìn)行了分析和解答 關(guān)鍵詞 函數(shù) 不等式 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 中圖分類(lèi)號(hào)G 6 3 3 6 6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1 0 0 3 8 0 7 8 2 0 0 9 0 6 0 2 1 0 4 C o l l e g eE n t r a n c eE x a m i n a t i o na n a l y s i so ff u n c t i o n a n di n e q u a l i t y 研t ha d v a n c e dm a t h e m a c t i c e s L IM i n g s h e n g D e p a r t m e n to f T r a i n i n g W u h o nI n s t i t u t eo fP h y s i c a lE d u c a t i o n W u h a n 4 3 0 0 7 9 H u b e i C h i n a A b s t r a c tW i t hr e l a t e dk n o w l e d g eo fa d v a n c e dm a t h e m a c t i c s w ea p p l yt h ep r o p e r t i e so fc o n t i n u o u sf u n c t i o n i nc l o s e di n t e r v a la n dr i g o r o u sc o n v e xf u n c t i o n a n dJ e n s e n Si n e q u a l i t yt oa n a l y s ea n ds o l v es o m e t e s tc l u e s f i o n so ft h eC o l l e g eE n t r a n c eE x a m i n a t i o ni nr e c e n ty e a r s e s p e c i a l l yt h ec o m p o s i t i v eq u e s t i o n so ff u n c t i o na n d i n e q u a l i t y K e yw o r d sf u n c t i o n i n e q u M i t y d e r i v a t i v e m o n o t o n e 隨著高考制度改革的不斷深化 全國(guó)以及各省 市自主命題的高考試題不斷有所創(chuàng)新 這種創(chuàng)新一 方面體現(xiàn)在更加重視對(duì)學(xué)生能力的考查 另一方面體現(xiàn)在更加注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的考查 它的一個(gè)體現(xiàn)就是高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)了以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的題目 近幾年來(lái) 以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為 背景的函數(shù)與不等式綜合題在高考中頻繁出現(xiàn) 并且常常充當(dāng)了壓軸題的角色 此類(lèi)試題有以下特點(diǎn) 在知識(shí)上以函數(shù)和不等式為載體研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 在方法上重點(diǎn)考查求一階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)數(shù) 判斷 函數(shù)的單調(diào)性 放縮法等方法和數(shù)形結(jié)合的思想 由于本文出現(xiàn)的定理在各版本的高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分 析中都可以查到 所以定理的證明過(guò)程略去 僅使用其結(jié)論 對(duì)于本文中不屬于以高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知 識(shí)為背景的試題的子問(wèn)題僅給出結(jié)果不寫(xiě)出解答過(guò)程 1 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 定理1 有界性定理 若函數(shù)以名 在閉區(qū)間 上連續(xù) 則八戈 在閉區(qū)間 上必有界 例1 2 0 0 7 年安慶高考模擬題 1 1設(shè)函數(shù)八茗 在閉區(qū)間J f 上連續(xù) j 常數(shù)M 對(duì)V x 滿(mǎn)足I f x l 肘 那么稱(chēng)以石 是 上的有界函數(shù) 已知八茗 啊一一似 求使J f x I l 在戈 o 上恒成 收稿日期 2 0 0 9 4 2 4 2 2 作者簡(jiǎn)介 李明生 男 湖北武漢人 講師 理學(xué)碩士 從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 2 2 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)第2 9 卷 立的a 的取值范圍 解廠(chǎng) 茁 魯一n 因?yàn)閒 戈 在菇E 0 上連續(xù) 且f 0 一口 l i m 7 戈 x 1 4 l i m 蘭一a l 一口 所以在戈E 0 必有界 1 x l 尸 菇 j 吾 因?yàn)槭?0 所以尸 菇 0 從而八茗 在區(qū)間 0 上是增函 名 1 x l 數(shù) 從而一a 0 氣石 1 一口 又因?yàn)檑喔?I l 一l 八菇 l 在石 0 上恒成立 所以一l 一口且l 一口 l 求得 0 n 1 本題是以高等數(shù)學(xué)中連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界定理為背景 結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等 式求解 它要求學(xué)生有較強(qiáng)的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力 定理2 根的存在性定理 如果函數(shù)八戈 在閉區(qū)間 口 b 上連續(xù) 且 口 八b 0 當(dāng)m l 時(shí) 方程廠(chǎng) 茹 O 在 e 一一m e 抽一 I 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 解 I 當(dāng)m l 時(shí) 菇 t 0 過(guò)程略 由條件m 1 知e 1 l e 擁 則e 一一 i t l 一 i t l 時(shí) 八1 一m 1 一m 一 踟 1 一m m 1 一m 0 貝 八1 一m 八e 一 一 m 2 2 一3 m 3 1 一3 m 3 c 3 一1 c 一1 3 l 3 m o 又八石 在閉區(qū)間 1 一m e 2 m r n 上連續(xù)且單調(diào)遞增 所以八茗 在開(kāi)區(qū)間 1 一m e 2 m m 內(nèi)存在唯一的 石2 使得八菇2 O 綜上所述 當(dāng)m l 時(shí) 方程八髫 0 在 e 一一m e 抽一m 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 解答本題第 問(wèn)的解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了 其實(shí)質(zhì)就是應(yīng)用根的存在性定理 考查學(xué)生理解題意的 能力 利用已知條件是順利解題的關(guān)鍵 2 嚴(yán)格凸函數(shù)的性質(zhì) 定義 3 1 設(shè)函數(shù)設(shè)八髫 定義在區(qū)間 上 若對(duì)任意菇 菇2 J 及任意的0 A l 都有八A 茁 1 一A 戈 抓茗 1 一A z 則稱(chēng)八名 是 上的嚴(yán)格上凸函數(shù) 定理3 如果取A 了1 總有以生善 掣 那么稱(chēng) 石 在區(qū)間 上的圖象是嚴(yán)格上凸的 例3 2 0 0 5 年湖北高考題 y 2 一l 0 9 2 并 c o s 2 x 這四個(gè)函數(shù)中 當(dāng)0 戈l 菇2 叢 掣恒成立的函數(shù)個(gè)數(shù)是 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 第6 期李明生 高等數(shù)學(xué)背景下的函數(shù)與不等式高考試題分析 2 3 A OB 1C 2D 3 解由不等式廠(chǎng) 魚(yú)竽 叢魚(yú)掣可知 函數(shù)以菇 在開(kāi)區(qū)間 o 1 內(nèi)的的圖象是嚴(yán)格上凸的 符合條件的函數(shù)只有Y l 0 9 2 x 故選B 本題雖然沒(méi)有點(diǎn)出所給的定義是嚴(yán)格上凸函數(shù) 但考察的是嚴(yán)格上凸函數(shù)的定義 它利用定義來(lái)理 解圖形 考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想 定理4 設(shè)函數(shù)八戈 在 口 b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù) 如果尸 菇 0 那么八茗 在 口 b 上的圖象是嚴(yán)格下凸的 反之如果尸 菇 0 討論Y 八戈 的單調(diào)性 若對(duì)任意茗 0 1 恒有八戈 1 求口的取值范圍 解 I 當(dāng)0 2 時(shí) 廠(chǎng) 茗 在 一 一 孚 1 9 孕a 2 1 u 1 內(nèi)為增函數(shù) 在 一 2 生蘭 內(nèi)為減函數(shù) 過(guò)程略 由題意可知 對(duì)任意菇 0 1 恒有以石 l 即 出一 l 餓一 粵 兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)I n 得一似 I n 鷥對(duì)任意石E o 1 恒成立 令g 石 一仳 9 2 戈 l I l 等 則 g 2 0 南 躬 菇 一志 l 一茗tl 一菇J 因?yàn)閷?duì)任意石 0 1 g 2 菇 O 且g 2 菇 9 2 石 知 g 髫 的圖象總在g 菇 的圖象的上方 所以g 彳 的圖象不在直線(xiàn)方程Y 一 h 下方 則一積 一2 戈對(duì)任意茗 O 1 恒成立 解得口 2 本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性 左端點(diǎn)求右極限的知識(shí) 在此基礎(chǔ)上結(jié)合嚴(yán)格上 凸函數(shù)圖象的特性 根據(jù)求使不等式成立的條件 巧思妙解求出的取值范圍 3 詹森 J e n s e n 不等式 定理5 若八戈 是 口 b 上的下凸函數(shù) 尸 戈 o 則對(duì)任意氣E a b A 0 i l 2 n 莖A f l 有以羞A i 夏A 八X i 例5 2 0 0 5 年全國(guó)高考題 I 設(shè)函數(shù)八z x l o g 戈 1 一菇 l 0 9 2 1 一z 0 石 1 求廠(chǎng) 菇 的最 小值 設(shè)正數(shù)P l P 2 P 3 P 2 滿(mǎn)足P 1 P 2 尸3 P 2 1 證明P l l 0 9 2 P I P 2 l 0 9 2 P 2 P 3 l 0 9 2 P 3 P 2 l 0 9 2 P 2 一 1 解 I 構(gòu)造函數(shù)g 茗 x l o g z 那么g 1 一戈 1 一戈 l o g 1 一算 其中0 算 0 所以g 髫 在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)的圖象是嚴(yán)格下凸的 由J e n s e n 不等式有g(shù) 半 g 石 g 1 一戈 即 g 戈 g 1 一龍 2 9 2 了1l 9 2 下1 一1 所以廠(chǎng) 菇 一1 即八菇 的最小值是一1 由J e n s e n 不等式可知 g 塵生筆單 丟 g P g P 2 g P 2 將P I P 2 P 3 P 2 1 代人上式左邊得 g 者 者 g P 1 g P 2 g P 2 所以g P 1 g P 2 g P 2 2 g 9 1 1 2 n 1 9 2 石1 一n 即P ll 0 9 2 P l P 2 l 0 9 2 p 2 P 3 l 0 9 2 P 3 P 2 l 0 9 2 P 2 一 I 本題是當(dāng)年全國(guó)高考理科卷壓軸題 考察了考生巧構(gòu)函數(shù) 利用求導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)圖象的凸 性 運(yùn)用J e n s e n 不等式 可使解答過(guò)程簡(jiǎn)潔流暢 參考文獻(xiàn) 1 劉先德 毛光壽 高等數(shù)學(xué)背景下的高考函數(shù)問(wèn)題 J 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2 0 0 7 5 1 6 一1 8 2 劉種 以高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景的試題例析 J 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2 0 0 6 6 3 5 3 7 3 張喜堂 數(shù)學(xué)分析 M 武漢 華中師范大學(xué)出版社 2 0 0 0 4 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第六版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 8 張所濱 咕 吣 崎 p 吣 p p q 竄p p p 崎 p 哂 斗 o q j 產(chǎn)崎 譬 q p q p 嚕 q 喵p 吣 o 心p 9 4 上接第1 1 頁(yè) 表3 方差分析 參考文獻(xiàn) 1 蔣仲蓀 蔣慶 醫(yī)學(xué)科研設(shè)計(jì)及s P s s 軟件應(yīng)用 第l 版 M 杭州 浙江大學(xué)出版社 2 0 0 5 1 0 0 1 0 9 2 馬斌榮 S P S Sf o rW i n d o w sV e r 1 1 5 在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用 第3 版 M 北京 科學(xué)出版社 2 0 0 4 1 6 4 1 7 2 3 侯華玲 現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué) S P S S 應(yīng)用 第1 版 M 北京 中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社 2 0 0 2 1 5 3 1 6 9 4 王樂(lè)三 等 S P S S 在醫(yī)學(xué)科研中的應(yīng)用 第l 版 M 北京 化學(xué)工業(yè)出版社 2 0 0 2 1 3 2 1 4 3 張所濱 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 高等數(shù)學(xué)背景下的函數(shù)與不等式高考試題分析高等數(shù)學(xué)背景下的函數(shù)與不等式高考試題分析 作者 李明生 作者單位 武漢體育學(xué)院 文化課教研室 湖北 武漢 430079 刊名 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào) 英文刊名 JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY 年 卷 期 2009 29 6 引用次數(shù) 0次 參考文獻(xiàn) 4條 參考文獻(xiàn) 4條 1 劉先德 毛光壽 高等數(shù)學(xué)背景下的高考函數(shù)問(wèn)題 J 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2007 5 16 18 2 劉 羽中 以高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景的試題例析 J 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2006 6 35 37 3 張喜堂 數(shù)學(xué)分析 M 武漢 華中師范大學(xué)出版社 2000 4 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第六版 M 北京 高等教育出版社 2008 相似文獻(xiàn) 10條 相似文獻(xiàn) 10條 1 期刊論文 李世杰 LI Shi jie 一個(gè) 母 函數(shù)不等式的高維推廣 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版 2005 19 1 將一個(gè)重要的 母 函數(shù)不等式作了高維推廣 并由它得到了m維空間的一系列不同類(lèi)型的函數(shù)不等式 它們是算術(shù) 幾何平均值不等式 柯西不等式等 的聯(lián)合推廣 2 學(xué)位論文 梅韜 關(guān)于鞅的 型不等式 2001 該文系統(tǒng)地研究了與兩個(gè) 函數(shù) 有關(guān)的不等式 包括 鞅的極大函數(shù) 不等式 雙 均方與條件均方函數(shù)不等式 雙 鞅變換不等式 極大函數(shù)雙凹 不等式 反向雙 極大函數(shù)不等式 以及函數(shù)空間的雙 奇異積分不等式等 該文利用這些不等式深入地研究了幾種Orlicz鞅空間 L H S之間的關(guān)系 揭示了這些鞅不等式成立與 函數(shù)自身幾種特殊性質(zhì)這間的等價(jià)性 經(jīng)典鞅論中的某些算子 例如極大算子 均方算 子等在指標(biāo)p的一定范圍 1 p 內(nèi)具有良好的L性質(zhì) 但在極端情形下 例如 p 1 p 時(shí) 呈現(xiàn)了奇異性 該文詳細(xì)研究了這類(lèi)奇異狀況 有關(guān)結(jié)果推 廣了經(jīng)典的鞅不等式 如Doob極大函數(shù)不等式 Burkholder Davis Gundy均方函數(shù)不等式 Lenglart不等式等 解決了在這些鞅不等式在 函數(shù)數(shù)量指標(biāo) 取極端值時(shí)遇到的困難 并且得到了這些經(jīng)典鞅不等工成立的充分必要條件 同時(shí)該文給出了 函數(shù)幾何性質(zhì) 嚴(yán)格凸 嚴(yán)格凹 限制增長(zhǎng)性等的鞅刻劃 以及Orlicz空間L可分性與自反性的鞅刻劃 3 期刊論文 陳穎樹(shù) 俞元洪 CEHN Ying shu YU Yuan hong 二次可微函數(shù)的Ostrowski型不等式 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn) 識(shí)2005 35 12 研究了一類(lèi)二次可微函數(shù) 利用二階導(dǎo)數(shù)的上界和下界 給出了二次可微函數(shù)的Ostrowski型不等式 同時(shí)也推廣了經(jīng)典的中點(diǎn)不等式和梯形不等式 4 期刊論文 蒙詩(shī)德 劉偉民 張正杰 MENG Shide LIU Weiming ZHANG Zhengjie 求解Sobolev和Caffarelli不等式 的達(dá)到函數(shù) 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版 2009 43 3 在偏微分方程解的存在性研究過(guò)程中 一些特殊不等式的使用具有重要作用 而這些特殊不等式的達(dá)到函數(shù)是否存在又具有重要意義 要想得到這些特 殊不等式的達(dá)到函數(shù)的解析式是一件非常困難的事情 應(yīng)用球?qū)ΨQ(chēng)原理及常微分方程求解的方法得到了Sobolev不等式和Caffarellie不等式的達(dá)到函數(shù)的 一般解析式 5 學(xué)位論文 王五生 積分不等式的若干推廣 2007 盡管多數(shù)微分方程無(wú)法求出精確解 但是人們可以利用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊记蓪?duì)解的模進(jìn)行估計(jì) 這樣的估計(jì)可以證實(shí)解的存在性 唯一性 有界性 穩(wěn)定性和不變流形等定性性質(zhì) 這樣的不等式就足所謂的積分不等式 自從兩位數(shù)學(xué)家Gronwall和IlBellman提出具有劃時(shí)代意義的不等式以來(lái) Gronwall Bellman積分不等式及其離散形式存不斷地得到推廣 歐陽(yáng)亮在1957年為了研究二階微分方程解的有界性 給出了左邊足未知函數(shù)平 方的積分不等式 這個(gè)不等式推廣了Gronwall Bellman的積分不等式 De fermos在1979年為了建立熱力學(xué)第二定律與穩(wěn)定性之間的聯(lián)系 進(jìn)一步把歐 陽(yáng)亮的不等式推廣成被積函數(shù)是未知函數(shù)的一次項(xiàng)與二次項(xiàng)的和的積分不等式 Pachpatte推廣了Defermos的積分不等式的離散化形式 推廣后的和差分 不等式右邊的和號(hào)內(nèi)包含兩項(xiàng) 一項(xiàng)是未知函數(shù)的一次項(xiàng) 另一個(gè)是包含未知函數(shù)與一個(gè)非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的項(xiàng) 本文第二章進(jìn)一步把Pathpatte的 和差分不等式推廣成帶有時(shí)滯的和差分不等式 其中和號(hào)內(nèi)是多項(xiàng)的和 和號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)包含未知函數(shù)與一個(gè)不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 我們給 出了不等式中未知函數(shù)的估計(jì) 并把所得結(jié)果用于研究時(shí)滯差分方程初值問(wèn)題解的有界性與唯一性 另一方面 Bihari在1956年把Gronwall Bellman積分不等式中右邊被積函數(shù)中的未知函數(shù)推廣成未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù) Lipovan在2000年又把Bihari的積分不等式中的積分的上下 限從自變量推廣成可求導(dǎo)增函數(shù) 從而使積分不等式含有時(shí)滯 Agarwal等人在2005年又把Lipovan的積分不等式進(jìn)一步推廣成Gronwall類(lèi)時(shí)滯積分不等 式 其中積分號(hào)外的常數(shù)項(xiàng)推廣成函數(shù)項(xiàng) 把兩個(gè)積分項(xiàng)推廣成多個(gè)積分項(xiàng) Cheung在2006年把Pachpatte的一元積分不等式和Lipovan的二元積分不等 式推廣成二元時(shí)滯積分不等式 這個(gè)不等式的左邊是未知甬?dāng)?shù)的冪函數(shù) 右邊是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)與兩個(gè)積分項(xiàng)的和 其中一個(gè)積分項(xiàng)的被積函數(shù)含有未知函 數(shù)的冪函數(shù) 另一個(gè)積分項(xiàng)的被積函數(shù)含有未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 本文第三章第一節(jié)在Cheung和Agarwal等人結(jié)果的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)具有 時(shí)滯的Gronwall類(lèi)二元積分不等式 與Cheung的不等式比較這個(gè)不等式把積分號(hào)外的常數(shù)項(xiàng)推廣成二元函數(shù)項(xiàng) 把二個(gè)積分項(xiàng)推廣成多個(gè)積分項(xiàng) 且不 要求被積函數(shù)中與未知函數(shù)進(jìn)行復(fù)合的函數(shù)具有單調(diào)性 為了克服沒(méi)有單調(diào)性帶來(lái)的困難 我們采用了單調(diào)化技巧 由已知函數(shù)構(gòu)造出強(qiáng)單調(diào)函數(shù)序列 即 每個(gè)函數(shù)單調(diào) 且列中后一個(gè)函數(shù)與前一個(gè)函數(shù)的比也足單調(diào)函數(shù) 為了說(shuō)明未知函數(shù)估計(jì)的有效區(qū)域 必須確定在不同情況下給出的多個(gè)區(qū)域 之間的包含關(guān)系 我們利用比較不同區(qū)域的邊界條件得出了它們的包含關(guān)系 我們給出不等式中了未知函數(shù)模的估計(jì) 并把所得結(jié)果用于研究偏微分方 程邊值問(wèn)題解的有界性 唯一性與連續(xù)依賴(lài)性 用我們的結(jié)果可以估計(jì)Cheung Nonlinear Anal 2006 64 2112 2128 的積分不等式中未知函數(shù)的 模 也可以估計(jì)Agarwal等人 Appl Math Comput 2005 165 599 612 的積分不等式中未知函數(shù)的模 Pachpatte在2002年建立了含四重積分的二 元積分不等式 不等式中未知函數(shù)都足一次的 本文在第三章第二節(jié)推廣了Pachpatte的結(jié)果 把Pachpatte的不等式右邊的未知函數(shù)的一次項(xiàng)推廣成非 遞減函數(shù)與未知函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 給出了未知函數(shù)模的估計(jì) 把所得結(jié)果用來(lái)討論積分微分方程解的唯一性與有界性 本文在第四章第一節(jié)把 J Math Anal Appl 2006 319 708 724 中的不等式推廣成一個(gè)新的和差分不等式 這個(gè)不等式和號(hào)外是一個(gè)非常數(shù)項(xiàng) 和號(hào)內(nèi)包括未知函數(shù) 與不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 我們給出了未知函數(shù)模的估計(jì) 并用我們的結(jié)果討論了偏差分方程邊界值問(wèn)題解的有界性 唯一性和連續(xù)依賴(lài)性 第四章第二節(jié)把Pachpatte的關(guān)于未知函數(shù)是線(xiàn)性的和差分不等式推廣成關(guān)于未知函數(shù)足非線(xiàn)性的一個(gè)具有四重和的和差分不等式 并用所得結(jié)果討論 了一類(lèi)具有雙重和的差分方程解的有界性與唯一性 在動(dòng)力系統(tǒng)中不變曲線(xiàn)起著重要作用 人們通過(guò)把一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)限制存不變曲線(xiàn)上 可以把 該系統(tǒng)簡(jiǎn)化成低微動(dòng)力系統(tǒng) 在1997年Ng等人研究了具有逐段常數(shù)變量的二階微分方程的不變曲線(xiàn) 司建國(guó)等人在200