數(shù)學(xué)分析考試試題.pdf

武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2004 2005 學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A 卷 考試時(shí)間 20050110 120 分鐘 考試形式 閉卷 一 概念題 給出下列概念的定義 每題 3 分 共 9 分 1 數(shù)集 A 的上確界 2 函數(shù)在區(qū)間 a b 一致連續(xù) xf 3 區(qū)間套 二 計(jì)算下列極限 30 分 1 1 sin lim n n n 2 0 0 lim baba nnn n 3 321 1 21 1 1 1 lim n n 提示 可先考慮求和 4 1 sin 2cos1cos1 lim x ox ex x 提示 可先考慮等價(jià)無窮小 5 sin 11 lim 22 0 xx x 6 4 2 0 2 cos lim x ex x x 提示 可先考慮泰勒公式 三 計(jì)算下列函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù) 30 分 1 xxexf x arcsin ln 2 可微 2 xfefy xfx 3 2 2 dx yd eyxe xy 求 4 cos sin 2 2 tty ttx 5 設(shè) 其中二次可導(dǎo) 求 arctan xfy xf 2 2 dx yd 四 求解下列問題 20 分 1 若 01lim 2 baxxx x 求常數(shù) a b 1 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2 求曲線 3 2 xy 在點(diǎn) 1 1 處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積 3 問常數(shù) a b 取何值時(shí) 點(diǎn) 1 3 為曲線的拐點(diǎn) 23 bxaxy 4 求函數(shù) 32 1 xxy 的單調(diào)區(qū)間及其極值 五 11 分 敘述并用區(qū)間套定理證明有限 開 覆蓋定理 六 20 分 設(shè) 證明 0 0 ba 3 2 3 2 3 1 1 0 ba x b x a x 2 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2004 2005 學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 B 卷 考試時(shí)間 20050110 120 分鐘 考試形式 閉卷 一 概念題 給出下列概念的定義 每題 3 分 共 9 分 1 數(shù)集 A 的下確界 2 函數(shù)在點(diǎn)處可微 xf 0 x 3 區(qū)間 a b 的開覆蓋 二 計(jì)算下列極限 30 分 1 x x x x 1 1 lim 2 2 11 11 lim 3 0 x x x 3 122 limnnn n 4 xx xx n sin tan lim 0 提示 可先考慮洛必塔法則 5 xex xx x x 3sin 1 2 1ln 4 lim 2 2 0 提示 可先考慮等價(jià)無窮小 三 計(jì)算下列函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù) 30 分 1 xx tgx xe y x ln 1 sin 2 求 y 2 設(shè) 2 1 5 3 1 2 4 2 4 5 xx xx y 求 提示 可考慮用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 4 x y 3 t t y t t x 1 1 1 求 dx dy 4 xfxfy 22 sinsin 其中 xf可導(dǎo) 求 y 5 若存在 且 x f 2 xfy 求 2 2 dx yd 四 求解下列問題 20 分 1 確定 a 的值使曲線與 2 axy xyln 相切 2 設(shè)在點(diǎn) 2 2 1 2 xbx xax xf2 0 x處可導(dǎo) 求常數(shù) ba 3 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 3 求函數(shù) 5 4 15 4 xxxf的極值 4 求曲線 0 3 2 3 2 3 2 aayx 在點(diǎn) aa 4 2 4 2 處的切線方程 五 11 分 證明不等式 hh h h h arctan 1 0 2 六 20 分 設(shè)函數(shù)是區(qū)間 0 1 上的可微函數(shù) xf0 1 0 ff 當(dāng) 時(shí) 10 證明 存在 1 0 使得1 4 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2004 2005 學(xué)年第二學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A 卷 考試時(shí)間 20050704 120 分鐘 考試形式 閉卷 一 計(jì)算下列不定積分 16 分 1 dx x x xx 2 2 3 1 23 2 dx x x 2 sin cos21 二 求解下列各題 14 分 1 dxx e e 1 ln 2 xx dtt x x sin 1 lim 2 0 2 0 三 討論無窮積分 0 1 1 2 p xx dx p 收斂性 8 分 四 求由曲線及所圍成的平面圖形的面積 8 分 xy 2 1 yx 五 研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 42 1 1 n x x n x 7 分 六 求函數(shù) 02 2 x f xx yxyx xyyx C 0 yxyx D 0 yxyx 10 重極限存在是累次極限存在的 A 充分條件 B 必要條件 C 充分必要條件 D 無關(guān)條件 二 計(jì)算題計(jì)算題 每小題 8 分 共 48 分 1 求 2 計(jì)算 9 1 4 dxxf 2 0 2 12 dxxxf 0 2 22 1 dx xx 3 求極限 4 0 2 0 2 sin lim x dtt x x 4 計(jì)算 1 1 n n x n 的和函數(shù)并求 1 1 n n n 5 求的冪級(jí)數(shù)展開式 6 求 2 x e 22 2 0 0 lim yx yx y x 三 三 10 分 討論 2 2 1 sin2 1 n nn n n x 的斂散性 四 證明題證明題 每小題 6 分 共 12 分 1 設(shè)在 a b 上 Riemann 可積 1x f 2 1 1 ndxxfxf x a nn 證明函數(shù)列在 a b 上一致收斂于 0 xfn 2 設(shè)在 a b 連續(xù) 證明 xf 00 sin 2 sindxxfdxxxf 并求 0 2 cos1 sin dx x xx 7 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2005 2006學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A 卷 考試時(shí)間 20060105 120分鐘 考試形式 閉卷 一 填空題 每小題 3 分 共計(jì) 30 分 1 設(shè)實(shí)數(shù)則其 n 位過剩近似為 210nn aaaax n x 2 設(shè) S 是 R 中的一個(gè)數(shù)集 若實(shí)數(shù) 滿足條件 1 2 則稱 為實(shí)數(shù)集 S 的上確界 記為 3 函數(shù) 1sin 22 2 x y是由函數(shù) 復(fù)合而成 4 極限 1 lim n n n a a 5 極限 x x x x 1 01 1 lim 6 曲線在點(diǎn) 處的法線方程為 3 xy 8 2 7 設(shè)函數(shù) 0 0 1 sin xa x x x xf m 在0 x處可導(dǎo) 則 am 8 設(shè) n n dx yd xy則 1ln 9 函數(shù) 32 1xxy 的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 極大值為 10 設(shè)函數(shù) xf在區(qū)間上具有 n 1 階導(dǎo)數(shù) ba 0 bax 則 xf在處帶 Lagrange 型余項(xiàng)的 n 階 Taylor 公式為 0 x 二 10 分 敘述 Lagrange 中值定理內(nèi)容并證明之 三 求下列極限 每小題 7 分 共計(jì) 21 分 1 求 20 2 1525 14 7592 lim x xx x 8 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2 求 1 tansin lim 3 0 x x e xx 3 求 xx x 22 0 sin 11 lim 四 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù) 每小題7分 共計(jì)21分 1 設(shè) xxe x x xy2 1 2 2 3 求 dx dy 2 設(shè) 2 2 1 1 arctan x x y 求 dx dy 3 設(shè) 求 x exy 23 5 5 dx yd 五 9分 設(shè) 0 ab baDfbaCf 則 ba 使得 a b fafbfln 六 9分 設(shè)0 xa 則 a x axa lnln 9 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2005 2006學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 B 卷 考試時(shí)間 20060105 100分鐘 考試形式 閉卷 一 填空題 每小題 3 分 共 30 分 1 數(shù)列 an 收斂是數(shù)列 an 有界的 條件 2 已知函數(shù)f x 在a 的鄰域U a 有定義 且f x A 則當(dāng) ax lim A 時(shí) f x 在a 連續(xù) 3 若 1 x lim x 1 kx 2 則k 4 設(shè)E x x Q x2 4 則supE inf E 5 0 lim x x x 3sin 2arcsin 6 已知x 0時(shí) 1 cos x與a x2 是等價(jià)無窮小 則a 7 函數(shù)cosx的麥克勞林公式為 余項(xiàng)任寫一個(gè) 8 設(shè)x cos 3 t y sin3 t 則 2 2 dx yd 9 函數(shù)y lnx 在區(qū)間 e 上滿足Lagrange定理?xiàng)l件的中間點(diǎn)c 10 a為可導(dǎo)函數(shù)f x 的極值點(diǎn)的充分條件是f a 二 計(jì)算題 每小題 8 分 共 40 分 1 求極限 n lim 1 2 1 1 1 222 nnnn 2 求極限 0 lim x xx axa sin ln ln 2 3 求函數(shù)y x x sin 的間斷點(diǎn) 并指出其類型 4 求函數(shù) x xey 1 sin 的導(dǎo)數(shù) 5 求a b的值 使函數(shù)f x 在x 0處可導(dǎo) 0 32 0 2 xxx xbax 三 10分 用單調(diào)有界收斂原理證明 數(shù)列 1 n 1 n 收斂 四 10分 若函數(shù)f x 與g x 在 a b 連續(xù) 且f a g a f b g b 10 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 則存在c a b 使f c g c 五 應(yīng)用題 10 分 討論函數(shù)y 的單調(diào)性 極值性 凹凸性等性態(tài) 并描繪出其圖象 2 x xe 11 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2005 2006學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A卷 考試時(shí)間 20060109 100分鐘 考試形式 閉卷 請(qǐng)注意 解答如果寫在其它地方 務(wù)必要注明解答寫在哪里了 請(qǐng)注意 解答如果寫在其它地方 務(wù)必要注明解答寫在哪里了 一 填空 每小題2分 共10分 1 設(shè)平面點(diǎn)集 2 RE 點(diǎn) a為 2 Ra E的聚點(diǎn) 的定義是 2 設(shè) 則 22 yxfu du 3 設(shè)函數(shù) 則函數(shù)u在點(diǎn)處的沿任意方向yzxu 2 1 0 1 A l方向?qū)?數(shù)的最大值為 l u max 4 設(shè)空間曲線 則積分 0 2222 zyx azyx dszyx 222 5 設(shè) 則 0 2222 zazyx ds 二 選擇題 每小題2分 共10分 1 在點(diǎn)處連續(xù)是它在此點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)的 yxfz 00 yx A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 以上都不是 2 dyyxfdx aa x0 A B dyyxfdx a y 00 dxyxfdy ax 00 C D dxyxfdy aa y 0 dyyxfdx aa 00 3 設(shè) 則它在點(diǎn) 1 0 23 3yxxz A 取得極大值 B 不取得極值 C 取得極小值 D 不能確定是否取得極值 4 設(shè)函數(shù) 0 0 0 0 0 22 3 yx yx yx yx yxf 在點(diǎn) 0 0 處 A 不連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)不存在 B 不連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在 C 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)不存在 D 連續(xù) 且偏導(dǎo)數(shù)存在 12 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 5 設(shè)有平面區(qū)域 ayaaxayxD 0 1 ayaxayxD 則 D dxdyyxxy sincos A B 1 sincos2 D dxdyyx 1 2 D dxdyxy C D 0 1 sincos 4 D dxdyyxxy 三 計(jì)算題 每小題7分 共計(jì)14分 1 設(shè) arctan2ln 22 dx dy y x yx求 2 已知0 333 222 111 cba cba cba 求由平面 3333 2222 1111 hzcybxa hzcybxa hzcybxa 所界平行六面體的體積 四 8分 計(jì)算積分計(jì)算積分 五 計(jì)算題 共計(jì)26分 1 6分 求I 其中 L dsyx L是以為頂點(diǎn)的三角形 1 0 0 1 0 0 BAO 2 10分 計(jì)算 其中L為球面 在第一卦限部分的邊界曲線 其方向按曲線依次經(jīng)過xy平面部分 yz平面部分和zx的平面部分 dzyxdyxzdxxy L 222222 1 222 zyx 3 計(jì)算 dxdyzzdxdzzydydzyx 333 其中 是球心在原點(diǎn)半徑為a的球面 的內(nèi)側(cè) 10分 六 12分 分別敘述 1 Green定理 2 Stokes定理的內(nèi)容 七 8分 設(shè)是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 證明 yxvyxu 2 2 2 2 ds n u vd y v y u x v x u vd y u x u v L DD 八 12分 證明曲面在任意一點(diǎn)處的切平面與曲面所圍 成的立體體積是一個(gè)定值 22 1yxz 22 yxz 13 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2005 2006學(xué)年第二學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A 卷 考試時(shí)間 20060625 100分鐘 考試形式 閉卷 一 填空題 每小題2分 共計(jì)20分 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義 若存在可導(dǎo)函數(shù)使得 xf ba xF 則稱是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù) xF xf ba 2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 a b 上是有界函數(shù) xf niT i 2 1 是對(duì)區(qū)間 a b 的任意分 割 則關(guān)于分割T的下和為 xf 3 dx x2 2 2 1 4 2 0 4 sin xdx 5 4 0 2 0 sin3 lim x dttt x x 6 當(dāng) p 時(shí) 廣義積分 1 1 dx x p 收斂 7 級(jí)數(shù) 1 3 1 2 1 n nn 的和s 8 設(shè)函數(shù)是周期 xf 2 T的周期函數(shù) 且在一個(gè)周期上的表達(dá)式為 xf 0 1 0 2 x xx xf xs是的Fourier 級(jí)數(shù)的和函數(shù) 則 xf 2 1 s s 9 曲線 x y 1 所圍成圖形的面積為A 則A的定積分表達(dá)式 為 1 y2 x 10 若已知 1 0 f3 2 f5 2 f 則 1 0 2 dxxf x 二 求解下列積分問題 每小題6分 共計(jì)36分 1 dx x x 2 ln 2 4 0 cos1 1 dx x 3 4 2 2 3 1max dxx 22 2 0 0 lim yx xy yx 5 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 arctan 2 xxf x 14 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 6 求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式 s n x n s n 的收斂域 8分 八 試舉例說明二重極限與二次極限 累次極限 間的關(guān)系 7分 15 武漢科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)分析考試試題 2006 2007學(xué)年第一學(xué)期 數(shù)學(xué)分析 考試試卷 A 卷 考試時(shí)間 20070125 100分鐘 考試形式 閉卷 一 填空題 每小題3分 共計(jì)12分 1 二元函數(shù)在點(diǎn)可微的充分條件是 yxf 00 yx 2 三元函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) zyxf 000 zyx 000 zyxz f 的幾何意義是 3 函數(shù)uxyz 在點(diǎn)處沿A到點(diǎn)的方向 5 1 2 A 9 4 14 BAB 上的方向?qū)?shù)為 4 設(shè)向量函數(shù) 則在點(diǎn)處的散度為 3 23 xyyzxzxF 1 1 1 1 1 1 Fdiv 二 選擇題 每小題3分 共12分 1 在點(diǎn)處連續(xù)是它在此點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù) yxfz 00 yx x z 及 y z 的 A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 以上都不是 2 的兩個(gè)二