函數(shù)模型及其應(yīng)用.doc

2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用1幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b (k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)(2)三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較指數(shù)函數(shù)yax (a1)與冪函數(shù)yxn (n0)在區(qū)間(0，)，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn，但由于yax的增長(zhǎng)速度快于yxn的增長(zhǎng)速度，因而總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)有axxn.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax (a1)與冪函數(shù)yxn (n0)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax (a1)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)慢于yxn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xx0時(shí)有l(wèi)ogaxx0時(shí)有axxnlogax.2解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義以上過(guò)程用框圖表示如下：難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題重點(diǎn)解決以下問(wèn)題(1)閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過(guò)分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；(2)建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；(3)求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值，計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用；(4)回答實(shí)際問(wèn)題結(jié)果：將函數(shù)問(wèn)題的結(jié)論還原成實(shí)際問(wèn)題，結(jié)果明確表述出來(lái)1某物體一天中的溫度T(單位：)是時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)t33t60，t0表示中午1200，其后t取正值，則下午3時(shí)的溫度為_答案78解析T(3)33336078()2某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是_萬(wàn)元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500當(dāng)Q300時(shí)，L(Q)的最大值為2 500萬(wàn)元3(課本改編題)某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是_答案ya(1r)x，xN*解析已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為yaara(1r)，2期后本利和為ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和為ya(1r)3，x期后本利和為ya(1r)x，xN*.4(2011東莞一模)某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比據(jù)測(cè)算，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站 ()A5千米處B4千米處C3千米處D2千米處答案A解析由題意得：y1，y2k2x，其中x0，當(dāng)x10時(shí)，代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，可得k120，k2，y1y2x28，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x5時(shí)取等號(hào)，故選A.5某企業(yè)第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長(zhǎng)44%，若每年的平均增長(zhǎng)率相同(設(shè)為x)，則以下結(jié)論正確的是 ()Ax22%Bx22%Cx22%Dx的大小由第一年的產(chǎn)量確定答案B解析設(shè)第一年的產(chǎn)量為a，則a(1x)2a(144%)，x20%.題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型例1某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元) (1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn). 若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？問(wèn)：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？思維啟迪：(1)根據(jù)函數(shù)模型，建立函數(shù)解析式(2)根據(jù)資金分配情況，建立利潤(rùn)解析式解(1)設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資x萬(wàn)元(x0)，所獲利潤(rùn)分別為f(x)、g(x)萬(wàn)元，由題意可設(shè)f(x)k1x，g(x)k2，根據(jù)圖象可解得f(x)0.25x (x0)，g(x)2 (x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，總利潤(rùn)y8.25(萬(wàn)元)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18x)萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y(18x)2，0x18.令t，t0,3，則y(t28t18)(t4)2.當(dāng)t4時(shí)，ymax8.5，此時(shí)x16,18x2.當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8.5萬(wàn)元探究提高(1)在實(shí)際問(wèn)題中，有很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解(2)有些問(wèn)題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決(3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一定要注意定義域 用一根長(zhǎng)為12 m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗)，要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足，則框架的高與寬應(yīng)各為多少？解設(shè)框架的寬度為x m，則其高度為h(62x) m,0x3.設(shè)框架的面積為y m2，則yxhx(62x)2x26x2(x1.5)24.5，當(dāng)x1.5時(shí)，y取最大值4.5，此時(shí)h3.故當(dāng)框架的高度為3 m，寬度為1.5 m時(shí)，框架的面積最大，從而窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足題型二分段函數(shù)模型例2為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償(1)當(dāng)x200,300時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？解(1)當(dāng)x200,300時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則S200xx2400x80 000(x400)2，所以當(dāng)x200,300時(shí)，S0，因此該單位不會(huì)獲利當(dāng)x300時(shí)，S取得最大值5 000，所以國(guó)家每月至少補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為：當(dāng)x120,144)時(shí)，x280x5 040(x120)2240，所以當(dāng)x120時(shí)，取得最小值240.當(dāng)x144,500時(shí)，x2002200200，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x400時(shí)，取得最小值200.因?yàn)?004時(shí)，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過(guò)4噸，即3x4時(shí)，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，yf26.4；當(dāng)x時(shí)，yf0)(1)如果m2，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當(dāng)5時(shí)，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時(shí)t1.所以經(jīng)過(guò)1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則0x1，m2(xx2)，由于xx2，m.因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí)，m的取值范圍是.3函數(shù)建模及函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題試題：(12分)在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息).在甲提供的資料中有：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？審題視角(1)認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系(2)分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段的(3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法規(guī)范解答解設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)，則由題設(shè)得LQ(P14)1003 6002 000，由銷量圖易得Q2分代入式得L4分(1)當(dāng)14P20時(shí)，Lmax450元，此時(shí)P19.5元；當(dāng)202)能較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績(jī)與考試序次關(guān)系，應(yīng)選_作為模擬函數(shù)；若f(1)4，f(3)6，則所選函數(shù)f(x)的解析式為_答案f(x)x39x224x12 (1x12，且xZ)解析(1)因?yàn)閒(x)pqx，f(x)logaxq是單調(diào)函數(shù)，f(x)(x1)(xq)2p中，f(x)3x2(4q2)xq22q，令f(x)0，得xq，x，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，所以應(yīng)選f(x)(x1)(xq)2p為其成績(jī)模擬函數(shù)(2)由f(1)4，f(3)6，得，解得.故f(x)x39x224x12 (1x12，且xZ)7(2010金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻,如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場(chǎng)地的最大面積為_(圍墻的厚度不計(jì))答案2 500 m2解析設(shè)所圍場(chǎng)地的長(zhǎng)為x，則寬為，其中0x0)米，則AN(x2)米，AM，SAMPNANAM.由SAMPN32，得32，又x0，得3x220x120，解得：0x6，即DN長(zhǎng)的取值范圍是(6，)(2)矩形花壇AMPN的面積為y3x1221224，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x2時(shí)，矩形花壇AMPN的面積取得最小值24.故DN的長(zhǎng)為2米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米點(diǎn)評(píng)本題的易錯(cuò)點(diǎn)為：易忽略定義域在求函數(shù)y的最值時(shí)，構(gòu)造不出應(yīng)用基本不等式的形式或不能用導(dǎo)數(shù)處理問(wèn)題8(2011湖北，理17)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v