連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型.pdf

第2章 連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 第2章 連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 2 1 控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念 2 1 控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念 控制理論分析 設計控制系統(tǒng)的第一步是建立實際系統(tǒng)的數(shù)學模型 所謂數(shù)學模型就是 根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理 化學等規(guī)律 所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律 特性 輸出與輸入 關系的數(shù)學表達式 數(shù)學模型就是 根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理 化學等規(guī)律 所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律 特性 輸出與輸入 關系的數(shù)學表達式 2 1 1 數(shù)學模型的類型 2 1 1 數(shù)學模型的類型 數(shù)學模型是對系統(tǒng)運動規(guī)律的定量描述 表現(xiàn)為各種形式的數(shù)學表達式 從而具有不同 的類型 下面介紹幾種主要類型 1 靜態(tài)模型與動態(tài)模型靜態(tài)模型與動態(tài)模型 根據(jù)數(shù)學模型的功能不同 數(shù)學模型具有不同的類型 描述系統(tǒng)靜態(tài) 工作狀態(tài)不變或 慢變過程 特性的模型 稱為靜態(tài)數(shù)學模型 靜態(tài)數(shù)學模型一般是以代數(shù)方程代數(shù)方程表示的 數(shù)學 表達式中的變量不依賴于時間變量不依賴于時間 是輸入輸出之間的穩(wěn)態(tài)關系 描述系統(tǒng)動態(tài)或瞬態(tài)特性的模 型 稱為動態(tài)數(shù)學模型 動態(tài)數(shù)學模型中的變量依賴于時間 一般是微分方程微分方程等形式 靜態(tài) 數(shù)學模型可以看成是動態(tài)數(shù)學模型的特殊情況 2 輸入輸出描述模型與內(nèi)部描述模型輸入輸出描述模型與內(nèi)部描述模型 描述系統(tǒng)輸出與輸入之間關系的數(shù)學模型稱為輸入輸出描述模型 如微分方程 傳遞函 數(shù) 頻率特性等數(shù)學模型 而狀態(tài)空間模型描述了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和系統(tǒng)輸入 輸出之間的關 系 所以稱為內(nèi)部描述模型 內(nèi)部描述模型不僅描述了系統(tǒng)輸入輸出之間的關系 而且描述 了系統(tǒng)內(nèi)部信息傳遞關系 所以比輸入輸出模型更深入地揭示了系統(tǒng)的動態(tài)特性 3 連續(xù)時間模型與離散時間模型連續(xù)時間模型與離散時間模型 根據(jù)數(shù)學模型所描述的系統(tǒng)中的信號是否存在離散信號 數(shù)學模型分為連續(xù)時間模型和 離散時間模型 簡稱連續(xù)模型和離散模型 連續(xù)數(shù)學模型有微分方程 傳遞函數(shù) 狀態(tài)空間 表達式等 離散數(shù)學模型有差分方程 Z傳遞函數(shù) 離散狀態(tài)空間表達式等 4 參數(shù)模型與非參數(shù)模型參數(shù)模型與非參數(shù)模型 從描述方式上看 數(shù)學模型分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型兩大類 參數(shù)模型是用數(shù)學表達 式表示的數(shù)學模型 如傳遞函數(shù) 差分方程 狀態(tài)方程等 非參數(shù)模型是直接或間接從物理 系統(tǒng)的試驗分析中得到的響應曲線表示的數(shù)學模型 如脈沖響應 階躍響應 頻率特性曲線 等 數(shù)學模型數(shù)學模型雖然有不同的表示形式 但它們之間可以互相轉(zhuǎn)換可以互相轉(zhuǎn)換 可以由一種形式的模型轉(zhuǎn) 換為另一種形式的模型 例如 一個集中參數(shù)的系統(tǒng) 可以用參數(shù)模型表示 也可以用非參 數(shù)模型表示 可以用輸入輸出模型表示 也可以用狀態(tài)空間模型表示 可以用連續(xù)時間模型 表示 也可以用離散時間模型表示 2 1 2 建立數(shù)學模型的方法 2 1 2 建立數(shù)學模型的方法 建立系統(tǒng)的數(shù)學模型簡稱為建模建模 系統(tǒng)建模有兩大類方法 一類是機理分析建模機理分析建模方法 稱為分析法 另一類是實驗建模方法 通常稱為系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識 機理分析建模方法是通過對系統(tǒng)內(nèi)在機理的分析 運用各種物理 化學等定律 推導 出描述系統(tǒng)的數(shù)學關系式 通常稱為機理模型 采用機理建模必須清楚地了解系統(tǒng)的內(nèi)部結 構 所以 常稱為 白箱 建模方法 機理建模得到的模型展示了系統(tǒng)的內(nèi)在結構與聯(lián)系 較好地描述了系統(tǒng)特性 但是 機理建模方法具有局限性 特別是當系統(tǒng)內(nèi)部過程變化機理 還不很清楚時 很難采用機理建模方法 而且 當系統(tǒng)結構比較復雜時 所得到的機理模型 往往比較復雜 難以滿足實時控制的要求 另一方面 機理建?？偸腔谠S多簡化和假設之 上的 所以 機理模型與實際系統(tǒng)之間存在建模誤差 系統(tǒng)辨識是利用系統(tǒng)輸入 輸出的實驗數(shù)據(jù)或者正常運行數(shù)據(jù) 構造數(shù)學模型的實驗 建模方法 因為系統(tǒng)建模方法只依賴于系統(tǒng)的輸入輸出關系 即使對系統(tǒng)內(nèi)部機理不了解 也可以建立模型 所以常稱為 黑箱 建模方法 由于系統(tǒng)辨識是基于建模對象的實驗數(shù)據(jù) 或者正常運行數(shù)據(jù) 所以 建模對象必須已經(jīng)存在 并能夠進行實驗 而且 辨識得到的模 型只反映系統(tǒng)輸入輸出的特性 不能反映系統(tǒng)的內(nèi)在信息 難以描述系統(tǒng)的本質(zhì) 最有效的建模方法是將機理分析建模方法與系統(tǒng)辨識方法結合機理分析建模方法與系統(tǒng)辨識方法結合起來 事實上 人們在 建模時 對系統(tǒng)不是一點都不了解 只是不能準確地描述系統(tǒng)的定量關系 但了解系統(tǒng)的一 些特性 例如系統(tǒng)的類型 階次等 因此 系統(tǒng)象一只 灰箱 實用的建模方法是盡量利 用人們對物理系統(tǒng)的認識 由機理分析提出模型結構 然后用觀測數(shù)據(jù)估計出模型參數(shù) 這種方法常稱為 灰箱 建模方法 實踐證明這種建模方法是非常有效的 機理分析提出模型結構 然后用觀測數(shù)據(jù)估計出模型參數(shù) 這種方法常稱為 灰箱 建模方法 實踐證明這種建模方法是非常有效的 本章介紹機理建模方法 著重介紹幾種常用的數(shù)學模型 系統(tǒng)辨識建模方法將在第10 章介紹 2 2 狀態(tài)空間模型 2 2 狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型是控制系統(tǒng)的內(nèi)部模型 描述了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) 系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)輸入之間 的關系 深入地揭示了系統(tǒng)的動態(tài)特性 是現(xiàn)代控制理論分析 設計系統(tǒng)的基礎 2 2 1 狀態(tài)與狀態(tài)空間的概念 2 2 1 狀態(tài)與狀態(tài)空間的概念 K Y t F t f M 圖2 1 彈簧 阻尼器系統(tǒng) 為了說明狀態(tài)的概念 首先考察一個熟悉的例子 如圖 2 1 所示彈簧 阻尼器系統(tǒng) 根據(jù)物理學定律可知 在外作用力已知的情況下 如果知道了物體在某一時刻 的位移及速度 就能確定系統(tǒng)未來的動態(tài)響應 如果僅 知道物體的位移或速度 就不能確定系統(tǒng)未來的動態(tài)響 應 另一方面 物體的位移 速度及加速度這三個量顯 然是不獨立的 即可以根據(jù)其中的兩個量確定另外的一 個量 因此這個量對于描述系統(tǒng)的狀態(tài)是多余的 因此 可以選擇物體在某一時刻的位移及速度作為彈簧 阻尼 器系統(tǒng)在某一時刻的狀態(tài) 從上面這個例子可以看出 狀態(tài)對于描述系統(tǒng)特 性應該是充分且必要的 因此 狀態(tài)可以定義如下 狀態(tài)是系統(tǒng)中一些信息的集合 在已知未來外部 輸入的情況下 這些信息對于確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的 狀態(tài)是系統(tǒng)中一些信息的集合 在已知未來外部 輸入的情況下 這些信息對于確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的 上述定義中的必要性意味著這些信息中缺一就不能完全描述系統(tǒng) 充分性意味著再加 入一些信息則多余了 系統(tǒng)在各個時刻的狀態(tài)是變化的 能夠確定系統(tǒng)各個時刻狀態(tài)的具有最少個數(shù)變量的 一組變量稱為狀態(tài)變量狀態(tài)變量 例如 彈簧 阻尼器系統(tǒng)的物體的位移與速度是一組狀態(tài)變量 把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個狀態(tài)變量 2 1 nitxiL 作為一個向量的個分量 這個向量 稱為狀態(tài)向量 記為 即 n tx 2 1 T n txtxtxtx 21 L 例如 彈簧 阻尼器系統(tǒng)的狀態(tài)向量為 ty ty tx Magnitude dB Bode Diagrams 60 40 20 0 20 10 2 10 1 10 0 10 1 200 150 100 50 0 圖2 54 例2 25的伯德圖 例2 26 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 例2 26 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1004 2 5 2000 2 ssss s sHsG 解 1 將傳遞函數(shù)寫成 10 10 2 0 21 2 1 1 5 1 1 50 2 s sss s sHsG 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 10 10 2 0 21 2 1 1 5 1 1 50 2 jjjj j jHjG 則開環(huán)傳遞系數(shù)為 轉(zhuǎn)折頻率為50 K2 1 5 2 10 3 2 繪制對數(shù)坐標 并將各個轉(zhuǎn)折頻率標注在坐標軸上 3 確定低頻段 因為系統(tǒng)是1型系統(tǒng) 50 KdbK3450lg20lg20 所以 可以過1 dbL34 這一點 作一條 20db dec的斜線得到對數(shù)幅頻特性低頻段 如圖2 55所示 實際上 除了上面的確定方法 還有其它的方法 由式 2 122 可見 對于1型系統(tǒng) 當K 時 0 L 因此 低頻段或者它的延長線在K 時與橫軸相交 因此 在K 處作一條 20db dec的斜線 這條斜線上在第一個轉(zhuǎn)折頻率之前的那一部分即為1型系統(tǒng)的低 頻段 在本例中 可以在50 處作一條 20db dec的斜線 這條斜線上在第一個轉(zhuǎn)折頻率之 前的那一部分即為1型系統(tǒng)的低頻段 如圖2 55所示 4 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線 將低頻段延伸到第一個轉(zhuǎn)折頻率2 1 因為第一個轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率 所以 開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線下降20db dec 再延伸到第二個轉(zhuǎn)折頻率5 2 因為是 一階微分環(huán)節(jié) 所以增加20db dec 再延伸到第三個轉(zhuǎn)折頻率10 3 因為是振蕩環(huán)節(jié) 所以減少40db dec 如圖2 55所示 5 繪制相頻特性 繪制各個環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線 然后逐點疊加 6 在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當?shù)男拚?可以達到較為準確的對數(shù)幅頻特性 對于慣性環(huán)節(jié) 在轉(zhuǎn)折頻率處減少3分貝 對于一階微分環(huán)節(jié) 在轉(zhuǎn)折頻率處增加3分貝 對于振蕩環(huán)節(jié) 根據(jù)式 2 112 得轉(zhuǎn)折頻率10 n 處的誤差值為 db8 2 02 1 lg20 2 1 lg20 或者根據(jù)式 2 113 求出最大誤差值為 6 921 2 max n dbL1 8 12 1 lg20 2 max 根據(jù)這兩個值 對漸近線進行修正 如圖2 55中實線所示 Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB Bode Diagrams 100 50 0 50 100 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 300 200 100 0 圖2 55 例2 26的伯德圖 例2 27 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 例2 27 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 22 10 1 0 2 0 1000 sss s sHsG 解 1 將傳遞函數(shù)寫成 22 10 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 20 sss s sHsG 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 22 10 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 20 jjj j jHjG 開環(huán)傳遞系數(shù)為20 K 轉(zhuǎn)折頻率為1 0 1 2 0 2 10 3 2 繪制對數(shù)坐標 并將各個轉(zhuǎn)折頻率標注在坐標軸上 3 確定低頻段 在本例中 因為有2個積分環(huán)節(jié) 系統(tǒng)是2型系統(tǒng) 20 K dbK2620lg20lg20 所 以 過1 dbL26 這一點作一條 40db dec的斜線就得到系統(tǒng)的低頻段 如圖2 56 所示 由式 2 102 可見 在第一個轉(zhuǎn)折頻率之前 2型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性近似為 lg40lg20lg20 2 K K L 所以 2型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的低頻段是斜率為 40db dec的斜線 當K 時 0 L 因此 2型系統(tǒng)的低頻段或者它的延長線在K 時與橫軸相交 因此 可以在橫軸上 K 處作一條 40db dec的斜線 即為2型系統(tǒng)的低頻段 在本例中 47 420 1 因此 可以在橫軸上47 4 處作一條 40db dec的斜線 即為該系統(tǒng)的低頻段 如圖2 56所示 4 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線 將低頻段延伸到第一個轉(zhuǎn)折頻率1 0 1 因為第一個轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率 所以 開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線下降20db dec 延伸到第二個轉(zhuǎn)折頻率2 0 2 因為是 一階微分環(huán)節(jié) 所以增加20db dec 延伸到第三個轉(zhuǎn)折頻率10 3 因為是兩個慣性環(huán)節(jié) 所以減少40db dec 如圖2 56所示 5 繪制相頻特性 繪制各個環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線 然后逐點疊加 6 在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當?shù)男拚?可以達到較為準確的對數(shù)幅頻特性 對于兩個相同的慣性環(huán)節(jié) 則在轉(zhuǎn)折頻率處減少6分貝 如圖2 56中虛線所示 Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB Bode Diagrams 200 100 0 100 200 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 350 300 250 200 150 圖2 56 例2 27的伯德圖 2 7 6 由伯德圖確定傳遞函數(shù) 2 7 6 由伯德圖確定傳遞函數(shù) 1 最小與非最小相位系統(tǒng)的概念 1 最小與非最小相位系統(tǒng)的概念 線性系統(tǒng)可以分為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在右半S平面 上沒有極點和零點 而且不包含滯后環(huán)節(jié) 則稱為最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在右半S平面 上沒有極點和零點 而且不包含滯后環(huán)節(jié) 則稱為最小相位系統(tǒng) 否則 稱為非最小相位 系統(tǒng) 也就是說 只包含比例 積分 微分 慣性 振蕩 一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是 最小相位系統(tǒng) 而包含不穩(wěn)定環(huán)節(jié)或滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)則是非最小相位系統(tǒng) 在伯德圖上 若一個最小相位系統(tǒng)和一個非最小相位系統(tǒng)具有相同的幅頻特性 則最小 相位系統(tǒng)的相角滯后 總是小于非最小相位系統(tǒng)的相角滯后 例如 從不穩(wěn)定典型環(huán)節(jié)的伯 德圖上明顯地看出 它們的相角滯后都大于所對應的穩(wěn)定的典型環(huán)節(jié)的相角滯后 下面討論最小相位系統(tǒng)的一個特征 利用這個特征可以判斷系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng) 設一個最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分子 分母的最高次數(shù)分別是和 則當nm 時 系 統(tǒng)的相頻特性必然趨于 但對應的所有非最小相位系統(tǒng)雖然具有相同的幅頻特 性 o mn90 時 系統(tǒng)的相頻特性不等于 在伯德圖上 當系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性 的高頻段趨于 則為最小相位系統(tǒng) 否則 是非最小相位系統(tǒng) o mn90 o mn90 2 由伯德圖確定傳遞函數(shù) 2 由伯德圖確定傳遞函數(shù) 對于最小相位系統(tǒng) 幅頻特性和相頻特性是單值對應的 因此 根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻 特性就可以寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者頻率特性 對于最小相位系統(tǒng) 幅頻特性和相頻特性是單值對應的 因此 根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻 特性就可以寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者頻率特性 例2 28例2 28 某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖2 57所示 確定該系統(tǒng)的傳遞函 數(shù) 圖2 57 最小相位系統(tǒng)的伯德圖 L 0 10 1 0 4 0 1 20 40 20 40 20 60 4 44db db 解 由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是decdb 20 的直線 所以 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一個積 分環(huán)節(jié) 根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的變化 容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 10 10 1 21 4 0 1 1 1 2 s sss sK sG 由于低頻段的延長線與0線 橫坐標軸 的交點為db10 因此 10 K 由于在轉(zhuǎn)折頻率處對數(shù)幅頻特性和其漸近線的誤差為4 44 由式 2 112 得 db 44 4 2 1 lg20 3 0 所以 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1006 4 0 1 400 01 006 01 5 21 1 10 22 ssss s ssss s sG 例2 29例2 29 某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖2 58所示 確定該系統(tǒng)的傳遞函 數(shù) 圖2 58 最小相位系統(tǒng)的伯德圖 L 0 101 0 2 20 60 20 解 由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是decdb 20 的直線 所以 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有1個積分環(huán) 節(jié) 根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的變化 容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2 2 2 2 51 1 01 2 0 1 1 10 1 1 ss sK ss sK sG 在本例中 沒有給出低頻段的延長線與橫軸的交點頻率 也沒有給出低頻段的延長線在 1 處的值 所以 不能用前面介紹的方法 在本例中 給出了穿越頻率1 因此 可 以由 或者0 1 L1 1 jG確定K 由于在穿越頻率附近 轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率左邊的慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性可以認為是 的斜線 即可以近似為一個積分環(huán)節(jié) 而轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率右邊的慣性環(huán)節(jié)的 幅頻特性可以認為是的水平線 即可以近似為1 一階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié) 振蕩 環(huán)節(jié)等可以進行類似的近似處理 從而簡化計算 decdb 20 db0 在本例中 在穿越頻率1 附近 可以作下列近似 32 22 22 25 5 5 1 1 0 1 KKK 因為在1 開環(huán)對數(shù)幅頻特性為 或者幅值為1 即 db0 1 25 1 3 K 得 25 K 所以 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2 2 51 1 01 25 ss s sG 3 頻率特性的實驗確定法 3 頻率特性的實驗確定法 對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng) 可以根據(jù)實驗得到的頻率特性曲線 確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等參數(shù) 模型 基本方法是采用正弦波發(fā)生器產(chǎn)生頻率可調(diào)的正弦波 作用于被測系統(tǒng) 測量系統(tǒng)穩(wěn) 態(tài)輸出的正弦波的幅值和相角 在盡可能寬的頻率范圍內(nèi)不斷改變輸入正弦波的頻率 可以 測得一組實驗數(shù)據(jù) 然后根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制伯德圖 然后在對數(shù)幅頻特性圖上 用一組斜率 為 decdbn 20 L 2 1 0 n 的直線逼近系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線 作為系統(tǒng)對數(shù)幅頻 特性的漸近線 顯然 所選擇的逼近對數(shù)幅頻特性曲線的直線不是唯一的 事實上 如果選擇的直線的 段數(shù)多 則可以比較精確地逼近 但系統(tǒng)數(shù)學模型的階次較高 反之 如果選擇的直線的段 數(shù)少 則不能精確地逼近 但系統(tǒng)數(shù)學模型的階次低 便于控制系統(tǒng)的分析與設計 所以 應該在滿足建模精度的前提下 選擇較低階的模型 也就是說 選擇的直線段數(shù)盡可能少 假設系統(tǒng)是最小相位的 則根據(jù)所選擇的對數(shù)幅頻特性的漸近線 可以寫出系統(tǒng)的傳遞 函