雅可比行列式.doc

11.2 .函數(shù)行列式教學(xué)目的 掌握函數(shù)行列式教學(xué)要求(1)掌握函數(shù)行列式(2) 能用函數(shù)行列式解決一些簡(jiǎn)單的問題一、函數(shù)行列式由到R的映射（或變換）就是n元函數(shù)，即 ，或 由到的映射（或變換）就是n個(gè)n元函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)組，即 ，或表為，設(shè)它們對(duì)每個(gè)自變量都存在偏導(dǎo)數(shù)，行列式 （2）稱為函數(shù)組在點(diǎn)的雅可比行列式，也稱為函數(shù)行列式，表為.例：求下列函數(shù)組（變換）的函數(shù)行列式：1.極坐標(biāo)變換 2.柱面坐標(biāo)變換 .3.球面坐標(biāo)變換 二、函數(shù)行列式的性質(zhì)為了簡(jiǎn)單起見，僅就n=2的情形加以討論，所有結(jié)果對(duì)任意自然數(shù)n都是正確的.已知一元函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，與它類似的有：定理1.若函數(shù)組有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則.證明：由復(fù)合函數(shù)的微分法則，有 由行列式的乘法，有.若一元函數(shù)在點(diǎn)某鄰域具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且.由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性，在點(diǎn)某鄰域保持同一符號(hào)，因而在函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，它存在反函數(shù)，且 和它類似的有：定理2.若函數(shù)組有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則存在有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組，且 證明：11.1.定理3的推論已給出存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)組的證明.下面證明（3）式成立.在定理1中，令，有，即 ，.三、函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)一元函數(shù)是到的映射.取定一點(diǎn)，它的象是.當(dāng)自變量x在點(diǎn)有改變量，相應(yīng)y在有改變量.線段的長(zhǎng)與線段的長(zhǎng)之比稱為映射f在到的平均伸縮系數(shù)，若當(dāng)時(shí)平均伸縮系數(shù)存在極限，即，則稱是映射 f在點(diǎn)的伸縮系數(shù).由此可見，一元函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值有新的幾何意義：它是映射f在點(diǎn)的伸縮系數(shù).同樣，到的變換也有類似的幾何意義.定理3 .若函數(shù)組在開區(qū)域G存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，有.函數(shù)組將xy平面上開區(qū)域G變換稱uv平面上的開區(qū)域.點(diǎn)變