三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其應(yīng)用.doc

三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其應(yīng)用一基礎(chǔ)知識(shí)三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)：性質(zhì)1：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等；反之亦然。性質(zhì)2：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則BIC = 90 +A/2,類似地還有兩式。性質(zhì)3：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r,令p = (a+b+c) /2 , 則S ABC = p r ; ；AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; abcr = pAIBICI .性質(zhì)4：三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD（D在ABC的外接圓上）上的點(diǎn)，且DI = DB，則I為ABC的內(nèi)心。性質(zhì)5：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC = a, AC = b, AB = c, A的平分線交BC于K ，交ABC的外接圓于D，則性質(zhì)6：過ABC內(nèi)心I任作一直線，分別交AB、AC于P及Q兩點(diǎn)，則或性質(zhì)7：設(shè)ABC的內(nèi)心為I，ABC內(nèi)一點(diǎn)P在BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F，當(dāng)P與I重合時(shí)，和式的值最小。性質(zhì)8：設(shè)I1為ABC的內(nèi)心，R為ABC的外接圓的半徑，則二、綜合應(yīng)用：例1如圖，D是ABC的內(nèi)心，E是ABD的內(nèi)心，F(xiàn)是BDE的內(nèi)心。若BDE的度數(shù)為整數(shù)，求BFE的最小度數(shù)。例2如圖，設(shè)點(diǎn)M是ABC的BC邊的中點(diǎn)，I是其內(nèi)心，AH是BC邊上的高，E為直線IM與AH的交點(diǎn)。求證：AE等于切圓半徑r.例3如圖，設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，APB-ACB = APC-ABC .又設(shè)D、E分別是APB及APC的內(nèi)心，證明：AP、BD、CE交于一點(diǎn)。（第33屆IMO第2題）例4如圖，設(shè)三角形的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為R、r, 其外心、內(nèi)心分別為O、I，若IO = d, 則d2 = R2 2Rr. 例5如圖，設(shè)ABC的外接圓O的半徑為R，內(nèi)心為I，B = 60 , AC, A的外角平分線交圓O于E，證明：IO = AE；2RIO+IA+IC(1+)R.例6如圖，在ABC中，有一個(gè)圓O內(nèi)切于ABC的外接圓O，并且與AB、AC分別相切于P、Q。求證：線段PQ的中點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心。例7ABC的A的平分線與ABC的外接圓交于D，I是ABC的內(nèi)心，M是邊BC的中點(diǎn)，P是I關(guān)于M的對稱點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)P在圓內(nèi)），延長DP與外接圓交于點(diǎn)N。試證：在AN、BN、CN三條線段中，必有一條線段中另兩條線段之和。例8如圖，在ABC中，O是外心，I是內(nèi)心，C = 30 , 邊AC上的點(diǎn)D與邊BC上的點(diǎn)E，使AD = BE = AG，求證：OIDE，OI = DE。例9如圖，在ABC中，AB = 4 ，AC = 6，BC = 5，；A的平分線AD交ABC的外接圓于K。O、I分別為ABC的外心、內(nèi)心。求證：OIAK。例10如圖，在直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，連結(jié)ABD的內(nèi)心與ACD的內(nèi)心的直線，分別與AB邊交于K，與AC邊交于L，ABC與AKL的面積分別記為S與T，求證：S2T. 例11如圖，在ABC中，ABAC, ADBC , D為垂足，過RtABD的內(nèi)心O1和RtACD的內(nèi)心O2的直線交AB于K，交AC于L ，若AK = AL ，則BAC = 90 .強(qiáng)化訓(xùn)練1已知圓O1與圓O2于點(diǎn)C，延長O1A交圓O2于點(diǎn)C，延長O2A交圓O1于點(diǎn)D，求證：A是BCD的內(nèi)心。2在RtABC中，C = 90 , CD是斜邊上的高，O1 、O2分別是ACD和BCD的內(nèi)心，求證：AO2C =BO1C.3設(shè)ABC的內(nèi)切圓I與AB、AC邊分別切于點(diǎn)E、F，射線BI、CI分別交EF于點(diǎn)M、N。試證：四邊形AMIN與IBC的面積相等。4設(shè)I為ABC的內(nèi)心，CI的延長線分別交邊AB及外接圓于D、K，求證： ；5在梯形A