三維旋轉(zhuǎn)矩陣的計(jì)算.doc

三維旋轉(zhuǎn)矩陣的計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個(gè)向量的時(shí)候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，它可以把右手坐標(biāo)系改變成左手坐標(biāo)系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合。在三維空間中，旋轉(zhuǎn)變換是最基本的變換類(lèi)型之一，有多種描述方式，如Euler角、旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)軸/旋轉(zhuǎn)角度、四元數(shù)等。本文將介紹各種描述方式以及它們之間的轉(zhuǎn)換。1.旋轉(zhuǎn)矩陣用一個(gè)3階正交矩陣來(lái)表示旋轉(zhuǎn)變換，是一種最常用的表示方法。容易證明，3階正交陣的自由度為3。注意，它的行列式必須等于1，當(dāng)?shù)扔?1的時(shí)候相當(dāng)于還做了一個(gè)鏡像變換。2.Euler角根據(jù)Euler定理，在三維空間中，任意一種旋轉(zhuǎn)變換都可以歸結(jié)為若干個(gè)沿著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的組合，組合的個(gè)數(shù)不超過(guò)三個(gè)并且兩個(gè)相鄰的旋轉(zhuǎn)必須沿著不同的坐標(biāo)軸。因此，可以用三個(gè)沿著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)表示一個(gè)變換，稱(chēng)為Euler角。旋轉(zhuǎn)變換是不可交換的，根據(jù)旋轉(zhuǎn)順序的不同，有12種表示方式，分別為：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由選擇其中的一種。對(duì)于同一個(gè)變換，旋轉(zhuǎn)順序不同，Euler角也不同，在指定Euler角時(shí)應(yīng)當(dāng)首先約定旋轉(zhuǎn)順序。2.1Euler角轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矩陣不妨設(shè)先繞Z軸旋轉(zhuǎn)，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)，即旋轉(zhuǎn)順序?yàn)閄YZ，旋轉(zhuǎn)矩陣3.旋轉(zhuǎn)軸/旋轉(zhuǎn)角度用旋轉(zhuǎn)軸的方向向量n和旋轉(zhuǎn)角度來(lái)表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)，其中0表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。3.1旋轉(zhuǎn)軸/旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)v是任意一個(gè)向量，定義如下圖所示這樣，我們建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。設(shè)u為v繞軸旋轉(zhuǎn)后得到的向量，則有R即為旋轉(zhuǎn)矩陣。進(jìn)一步可表示為4.單位四元數(shù)(Unitquaternions)四元數(shù)由Hamilton于1843年提出，實(shí)際上是在四維向量集合上定義了通常的向量加法和新的乘法運(yùn)算，從而形成了一個(gè)環(huán)。q稱(chēng)為單位四元數(shù)，如果|q|=1。一個(gè)單位四元數(shù)可以表示三維旋轉(zhuǎn)。用單位四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)可以保持一個(gè)光滑移動(dòng)的相機(jī)的軌跡，適合動(dòng)畫(huà)生成。4.1旋轉(zhuǎn)軸/旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)化為單位四元數(shù)根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸n和旋轉(zhuǎn)角度，得到單位四元數(shù)q4.2單位四元數(shù)轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)軸/旋轉(zhuǎn)角度4.3單位四元數(shù)轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矩陣4.4四元數(shù)的性質(zhì)定義四元數(shù)的逆、乘法和除法，如下所示根據(jù)該性質(zhì)，我們可以對(duì)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換q