直和分解(2009數(shù)學(xué)競(jìng)賽講稿).pdf

線性空間的直和分解 V f門大 數(shù) f 5 m 1 15 線性空間的直和分解 V f門大 數(shù) f 5 m 2 15 8錄 1 5 m 義9例子 2 5變換 與 與 5 m 3 變換與 5 m 4Jordan標(biāo)準(zhǔn) 與 5 m f 5 m 3 15 線性空間的直和分解的定 及 f 5 m 理 V1 V2 有 維 5 mV 子 m KV V1 V2 d于 1 V V1 V2且V1 V2 0 2 dimV dimV1 dimV2且V1 V2 0 3 V1 V2 基n成V 基 4 意 V 有 1 2 1 V1 2 V2 且表 唯一 f 5 m 4 15 線性空間的直和分解的定 及 f 5 m 理 V1 V2 有 維 5 mV 子 m KV V1 V2 d于 1 V V1 V2且V1 V2 0 2 dimV dimV1 dimV2且V1 V2 0 3 V1 V2 基n成V 基 4 意 V 有 1 2 1 V1 2 V2 且表 唯一 f 5 m 4 15 線性空間直和分解的 f 例1 1 V A Kn n tr A 0 U In Kn n K y 1 U V Kn n 子 m 2 Kn n V U 例1 2 V 域K n維 量 m V1與V2 別 K 齊g 5 程組x1 x2 xn與x1 x2 xn 0 m 求y V V1 V2 f 5 m 5 15 線性空間直和分解的 f 例1 1 V A Kn n tr A 0 U In Kn n K y 1 U V Kn n 子 m 2 Kn n V U 例1 2 V 域K n維 量 m V1與V2 別 K 齊g 5 程組x1 x2 xn與x1 x2 xn 0 m 求y V V1 V2 f 5 m 5 15 線性空間直和分解的 f 例1 3 A V 5變換 y A eV V1 V2 KV A V1 A V2 例1 4 V 域K 有 維 5 m V1為其 子 m XJ 3唯一 子 mV2 V V1 V2 KV1 V f 5 m 6 15 線性空間直和分解的 f 例1 3 A V 5變換 y A eV V1 V2 KV A V1 A V2 例1 4 V 域K 有 維 5 m V1為其 子 m XJ 3唯一 子 mV2 V V1 V2 KV1 V f 5 m 6 15 線性空間直和分解的 f 例1 5 V1 V2 5 mV 子 m且V V1 L V2 i 1 2 義 i V Vi a1 a2 7 ai 投影映 1 V1 V a17 a1 0 2 V2 V a27 0 a2 嵌 映 K i i i 1 2 5映 且 足 j i ij 1 1 2 2 1V d V Im 1 1 Im 2 2 f 5 m 7 15 線性空間直和分解的 f 例1 6 A1 A2 As n維 5 mV s個(gè)不同 5變換 且 足 1 A2 i Ai 1 i s 2 AiAj 0 1 i 6 j s 3 KerA1 KerA2 KerAs 0 求y V ImA1 ImA2 ImAs f 5 m 8 15 V 有 維 5 m A V 5變換 K dim ImA dim KerA dim V 注 一般 未必有V ImA KerA f 5 m 9 15 V 有 維 5 m A V 5變換 K dim ImA dim KerA dim V 注 一般 未必有V ImA KerA f 5 m 9 15 線性C 的像 核 線性空間的直和分解 2 1 A n維 5 mV 5變換 y V ImA KerA d于 1 KerA ImA 0 2 dim ImA dim ImA2 3 dim KerA dim KerA2 4 ImA ImA2 5 KerA KerA2 f 5 m 10 15 線性C 的像 核 線性空間的直和分解 2 2 V n維 5 m A V 5變換且r A n y V ImA KerA 0 mA 根 2 3 A n維 5 mV 5變換 y 3t V ImAt KerAt f 5 m 11 15 線性C 的像 核 線性空間的直和分解 2 2 V n維 5 m A V 5變換且r A n y V ImA KerA 0 mA 根 2 3 A n維 5 mV 5變換 y 3t V ImAt KerAt f 5 m 11 15 等C 線性空間的直和分解 K3 1 KV ImA KerA 其 ImA Ker idV A KerA Im idV A 題3 2 V 有 維 5 m且V V1 V2 K 3唯一 V 5變換A V1 ImA V2 KerA f 5 m 12 15 等C 線性空間的直和分解 K3 1 KV ImA KerA 其 ImA Ker idV A KerA Im idV A 題3 2 V 有 維 5 m且V V1 V2 K 3唯一 V 5變換A V1 ImA V2 KerA f 5 m 12 15 JordanIO型 線性空間的直和分解 K V 域K 有 維 5 m A V 5變換 f1 x f2 x K x 且 f1 x f2 x 1 ef x f1 x f2 x K Kerf A Kerf1 A Kerf2 A 1 n 理 A C n維 5 mV 5變換 mA 1 l1 2 l2 s ls 其 1 2 s A 部互異特 KV Ker A 1idV l1 Ker A 2idV l2 Ker A sidV ls f 5 m 13 15 JordanIO型 線性空間的直和分解 K V 域K 有 維 5 m A V 5變換 f1 x f2 x K x 且 f1 x f2 x 1 ef x f1 x f2 x K Kerf A Kerf1 A Kerf2 A 1 n 理 A C n維 5 mV 5變換 mA 1 l1 2 l2 s ls 其 1 2 s A 部互異特 KV Ker A 1idV l1 Ker A 2idV l2 Ker A sidV ls f 5